заочникам / диф ур / Lectures - 3

y' 0 2C					2	3C				3	2
y '' C			2	4e2 x				cos 3x 6e2 x sin 3x 6e2 x sin 3x 9e2 x cos 3x
C	3	4e2 x sin 3x 6e2 x cos 3x 6e2 x cos 3x 9e2 x sin 3x
y'' 0 5C						2		12C				3		3
								2C2 3C3									2				: C2	5		,C3			16
Решим систему														12C				3
																						13					39
								5C					2				3
C 1 C								8
1				2			13
Решение задачи Коши:														y	8				5		e2 x cos 3x				16	e2 x sin 3x .
														13				13						39

Случай 3: характеристическое уравнение имеет кратные действительные

корни. Пусть действительный корень

0 имеет

кратность

k,

тогда

многочлен

n a

n 1

n 1 ... a a

0

можно

представить

в

виде

1

0 k P x , при этом число 0

не будет являться корнем многочлена

P x . Можно показать,

что функции

e 0 x , xe 0 x ,..., xk 1e 0 x являются

решениями

уравнения

y n a

n 1

y n 1 ... a y' a

0

y 0 .

Таким

1

образом, каждому корню кратности k в фундаментальной системе решений соответствуют ровно k линейно независимых функций и общее количество таких функций совпадает с порядком дифференциального уравнения.

Пример: Найти общее решение уравнения								yV	12y IV 36y''' 0
Решение:	Характеристическое уравнение							5	124 363 0 имеет
корни 1	2 3 0, 4					5 6 , фундаментальная система решений
состоит	из		функций		1, x, x2 , e6 x , xe6 x			и общее решение имеет вид
y C C		2	x C	x2	C	e6 x C	xe6 x .
1			3		4	5

Случай 4: характеристическое уравнение имеет кратные комплексные корни.

В этом случае, если кратность комплексного корня a ib равна k, то ему соответствуют комплексные решения e a ib x , xe a ib x ,..., xk 1e a ib x .

43

Воспользовавшись формулой Эйлера и теоремой о свойствах решений линейного однородного уравнения, получим, что функции

eax cos bx, xe ax cos bx, ..., xk 1eax cos bx eax sin bx, xe ax sin bx,..., xk 1eax sin bx

входят в фундаментальную систему решений дифференциального уравнения.

Пример: найти общее решение уравнения y IV			2y'' y 0
Решение: Характеристическое		уравнение	4 22	1 2	1 2 0
имеет корни	1 2 i, 3	4 i ,	т.е. уравнение имеет пару
двукратных	комплексно	сопряженных	корней	i .	Значит,

фундаментальная система состоит из функций cos x, x cos x,sin x, x sin x и общее решение имеет вид

y C1 cos x C2 x cos x C3 sin x C4 x sin x .

Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)

Рассмотрим

линейное

неоднородное

уравнение

y n a

n 1

y n 1

... a y'

a

0

y f x

и пусть

y , y

2

,...y

n

-

1

1

фундаментальная

система

решений

однородного

уравнения

y n a

n 1

y n 1

... a y'

a

0

y 0 .

Будем

искать

решение

1

y C1 x y1 C2 x y2

... Cn x yn ,

неоднородного уравнения в виде

где C1 x ,C2 x ,...,Cn x

-

некоторые

неизвестные

функции.

Эти

функции подчиняются лишь одному условию, получающемуся при
подстановке	функции	y C1 x y1 C2 x y2 ... Cn x yn	в

неоднородное дифференциальное уравнение. Для определения функций C1 ,C2 ,...,Cn необходимо придумать еще n -1 условие.

Рассмотрим производные функции y C1 y1 C2 y2 ... Cn yn :

y' C1 y1' C2 y2' ... Cn yn' C1' y1 C2' y2 ... Cn' yn .

Пусть C '

y C

'

y

2

... C

'

y

n

0

(первое условие), тогда

1

1

2

n

y' C y'

C

2

y'

... C

n

y'

и

1

1

2

n

y'' C y''

C

2

y

''

... C

n

y

''

C

' y'

C ' y'

... C ' y' .

1 1

2

n

1 1

2 2

n n

44

Пусть

C '

y'

C '

y'

... C '

y

'

0 (второе

условие),

тогда

1

1

2

2

n

n

y''

C y'' C

2

y

''

... C

n

y'' .

Вычислив

третью производную,

1

1

2

n

получаем третье условие:

C

'

y''

C '

y'' ... C '

y'' 0 и т.д.

Последнее

1

1

2

2

n

n

условие

получим

после

вычисления

y n 1 :

C '

y n 2

C '

y

n 2

... C ' y

n 2

0.

Теперь

подставляем

функцию

1

1

2

2

n

n

y C1 y1 C2 y2

... Cn yn

и

ее

производные

y'

C y' C

2

y'

... C

n

y'

,

y''

C y'' C

2

y'' ... C

n

y'' и т. д. в

1 1

2

n

1 1

2

n

уравнение y n a

n 1

y n 1 ... a

y' a

0

y f x . Получим:

1

C '

y n 1

C '

y

n 1 ... C

'

y n 1

f (x) (последнее условие).

1

1

2

2

n

n

Для определения функций C1 ,C2 ,...,Cn

получили

систему

линейных

алгебраических уравнений

С '

y C

'

y

2

... C '

y

n

0

1

1

2

n

C '

y '

C

'

y

'

... C '

y

'

0

1

1

2

2

n

n

.....................................

C '

y n 2 C '

y n 2 ... C '

y n 2

0

1

1

2

2

n

n

C '

y n 1 C ' y

n 1 ... C '

y n 1 f (x)

1

1

2

2

n

n

Определитель системы есть определитель Вронского функций y1 , y2 ,...yn ,

составляющих фундаментальную систему решений дифференциального уравнения, поэтому он не равен нулю и система имеет единственное решение.

Пример: Найти общее решение уравнения y'' y cos 1 x .

Решение: для нахождения фундаментальной системы решений составим и

решим	характеристическое		уравнение:		2 1 0 ,		i .
Фундаментальная система решений				состоит	из функций sin x, cos x .
Общее	решение	дифференциального уравнения				ищем	в виде
y C1 (x)sin x C2 (x) cos x .
		C ' (x) sin x C ' (x) cos x 0
		1		2
	C ' (x) cos x C '			(x) sin x cos 1		x
		1	2

решим систему по правилу Крамера:

45

sin x

cos x

sin 2

x cos 2 x 1

cos x

sin x

1

cos x

0 1 1, 2

sin x

0

x

tgx

0

cos 1

x sin x

cos x

cos 1

C '

(x)

1

1,C '

(x)

2

tgx

1

2

C1 (x) C1' (x)dx dx x C1 , где C1 - произвольная постоянная,

C2 (x) C2' (x)dx tgxdx ln(cos x) C2

y C1 (x)sin x C2 (x) cos x x C1 sin x ln(cos x) C2 cos x

Неоднородные уравнения с правой частью специального вида

Если порядок дифференциального уравнения достаточно велик, то метод вариации произвольных постоянных становится громоздким. При этом вычисление интегралов на завершающем этапе метода также может оказаться достаточно трудоемким. Однако, если правая часть дифференциального уравнения представляет собой многочлен, показательную или тригонометрическую функцию, то независимо от вида левой части уравнения, можно найти его решение без использования интегралов. Рассмотрим два случая.

Случай		1:	Дифференциальное				уравнение		имеет	вид
y n a	n 1	y n 1 ... a y'		a	0	y P (x)eax , где		P (x) - некоторый
			1			m		m
многочлен		степени	m (в	частности,			многочлен	может	быть	просто

постоянной), a - некоторое действительное число (в частности, может быть

a 0 ).

Ищем	решение неоднородного уравнения в виде					y xk Q (x) eax , где
							m
Qm (x)	- многочлен с неопределенными коэффициентами, той же степени,
что и	Pm (x) , k		- кратность	числа a как	корня		характеристического
уравнения		(в частности, если		a не является корнем характеристического
уравнения,		то k 0 ). Значения неопределенных коэффициентов находим
после	подстановки		функции	y xk Q (x) eax			в дифференциальное
				m
уравнение.		Затем находим общее решение			y0	однородного уравнения

46

y y0 y

y n an 1 y n 1 ... a1 y' a0 y 0 . По теореме об общем решении неоднородного уравнения получаем, что функция является общим решением исходного неоднородного уравнения.

Пример: Найти общее решение уравнения y''

6y' 5y xe x

Решение:

Найдем

общее

решение

однородного

уравнения

y''

6y'

5y 0 :

корни

характеристического

уравнения

равны

1,

2

5. Общее решение -

y С ex C

e5x .

1

1

2

В

данном

случае

Pm (x) x

-

многочлен первой степени, поэтому

Qm (x) Ax B

-

некоторый

многочлен

первой

степени

с

неопределенными коэффициентами.

Число

a 1 является однократным

корнем

характеристического

уравнения,

поэтому

k 1

и y x Ax B ex Ax 2 Bx ex

y ' 2Ax B ex Ax 2 Bx

ex Ax 2 2Ax Bx B ex

y '' Ax 2

2Ax Bx B ex 2Ax 2A B ex

Подставим y, y ' , y ''

в дифференциальное уравнение:

Ax 2 2Ax Bx B e x 2Ax 2A B e x

6 Ax 2 2Ax Bx B e x 5 Ax 2 Bx e x xe x

Сократим полученное равенство на e x , приведем подобные

8Ax

2A 4B x

и

приравняем

коэффициенты

при

равных

переменной x

8A 1

A

1

; B

1

степенях

:

,

значит,

,

2A 4B

0

8

16

x2

x

y

e x

и

общее

решение

имеет

вид:

8

16

x2

x

y y

0

y C e x

C

2

e5 x

e x .

1

8

16

Случай

2:

Дифференциальное

уравнение

имеет

вид

y n a

n 1

y n 1 ... a y' a

0

y eax P (x) cos bx P (x)sin bx ,

1

1

2

где

P (x), P (x)

-

некоторые

многочлены,

a, b

-

некоторые

1

2

47

действительные числа. Решение неоднородного уравнения ищем в виде
xk eax Q (x) cos bx Q (x)sin bx , где		Q (x),Q (x) - многочлены с
1	2	1	2

неопределенными коэффициентами, степень каждого из которых равна

наибольшей из степеней многочленов		P1 (x), P2 (x) , k -		кратность числа
a ib как корня характеристического многочлена.
Пример: Найти общее решение уравнения y'' 5y' 6y sin x
Решение: Корни характеристического уравнения равны				1 2, 2 3.
Общее решение однородного уравнения имеет вид y C e2 x C					e3x .
			1	2
В заданном уравнении	P1 (x) 0 ,	P2 (x) 1	- многочлены		нулевой
степени, a 0,b 1,	число	a ib i	не является		корнем
характеристического уравнения, поэтому k 0 и			y Acos x B sin x .
y ' Asin x B cos x ,	y '' Acos x B sin x .			Подставляем

функцию y Acos x B sin x и ее производные в уравнение:

Acos x Bsin x 5 Asin x B cos x 6 Acos x Bsin x sin x

приведем подобные:

5A 5B cos x 5A 5B sin x sin x

приравняем отдельно коэффициенты при синусе и при косинусе:

					1			1
5A 5B 0		A B					, y			cos x sin x
	,
5A 5B 1					10			10
Общее решение:		y y		y C e2 x C							e3x		1	cos x sin x .
			0
							1			2		10

Контрольные вопросы:

1.Что называется характеристическим уравнением? Как находится общее решение линейного однородного дифференциального уравнения, если корни характеристического уравнения действительны и различны?

2.Как находится общее решение линейного однородного дифференциального уравнения, если корни характеристического уравнения различны, но среди них не все действительные? Как находится общее решение линейного однородного дифференциального уравнения, если среди корней характеристического уравнения есть кратные?

3.В чем заключается метод вариации произвольных постоянных?

4.Как находится частное решение линейного неоднородного дифференциального

уравнения, если	его правая часть имеет вид	P (x)eax	или
		m
eax P (x) cos bx P (x)sin bx ?
1	2

48

Задачи для самостоятельного решения.

1. Показать, что если число				является k-кратным корнем характеристического уравнения,
соответствующего				дифференциальному			уравнению
y(n) a	n 1	y(n 1)	... a y' a		0	y 0 , то функции	e 0 x , xe 0 x ,..., xk 1e 0 x
				1

являются решениями этого дифференциального уравнения.

2. Доказать, что если характеристическое уравнение имеет кратные комплексные корни и

если кратность	комплексного	корня a ib	равна k, то ему в фундаментальной
системе	решений	соответствуют	комплексные	функции
e a ib x , xe a ib x ,..., xk 1e a ib x .

Лекция 6(40) Системы дифференциальных уравнений

Нормальные системы дифференциальных уравнений

Рассмотрим

дифференциальное

уравнение

F x, y , y ,..., y , y' ,..., y'

,..., y m1

,..., y mn

0 ,

содержащее

1

2

n

1

n

1

n

независимую

переменную

x ,

неизвестные

функции

y1 , y2 ,..., yn одной

независимой переменной x

и их

производные до некоторых порядков

m , m ,...m .

Обозначим:

y z

i0

,

y' z

,

…. y mi 1 z

,

1 2

n

i

i

i1

i

i,mi 1

i 1,2,...n . Эти равенства можно записать по-другому:

y z

, z'

z

, z'

z

…. z'

z

1

.

i

i0

i0

i1

i1

i 2

i,mi 2

i,mi

Тогда,

поскольку

y mi z

'

1

то

уравнение

F x, y , y ,..., y , y' ,..., y'

i

i,mi

,..., y m1

,..., y mn

0

запишется в виде

1

2

n

1

n

1

n

0

F x, z , z

20

,..., z

n0

, z

,..., z

n1

,..., z'

,..., z'

. В новом уравнении

10

11

1,m1 1

n,mn 1

нет производных порядка выше первого.

Рассмотрим теперь произвольную систему дифференциальных уравнений, в которой количество уравнений совпадает с количеством неизвестных.

F

x, y , y

2

,...y

n

, y'

, y'

,..., y'

,..., y m1 ,..., y

mn 0

1

1

1

2

n

1

1

F

x, y , y

2

,...y

n

, y'

, y'

,..., y'

,..., y m1 ,..., y

mn 0

2

1

1

2

n

1

n

...................................................

F x, y , y

2

,..., y

n

, y'

, y

'

,..., y

'

,..., y

m1 ,..., y mn 0

n

1

1

2

n

1

n

49

Каждое из уравнений системы преобразуем по указанному выше методу:

F

x, z

, z

20

,..., z

n0

, z ,..., z

n1

,..., z '

,..., z '

0

и добавим в

i

10

11

1,m1 1

n,mn 1

систему

условия

z'

z

,

z'

z

…. z'

z

i,mi 1

,

i 1,2,...n .

i0

i1

i1

i 2

i,mi 2

Получим систему, в которой снова количество уравнений совпадает с количеством неизвестных и при этом в системе нет уравнений, содержащих производные порядков выше первого.

Замечание: любая система дифференциальных уравнений может быть сведена к равносильной ей системе, не содержащей производных порядков выше первого.

Пример: Привести систему дифференциальных уравнений

	у ''	5 y '''	2 y '		1 0
	1'''	2	''	3		x	0
y1		y2 y3		e
y		3y '	y	''' x 0
	1	2		3

к виду, не содержащему производных порядка выше первого.

Решение: Полагаем					y z			, y'		z			' z				, y'' z'			z	, y''' z'		,
					1	10			1		10					11		1	11	12	1	12
y	z	20	, y'	z'	z	, y''			z		'	z		22		, y''' z'
2			2	20		21		2			21						2		22
y	z		, y'	z'	z	, y''			z'			z			, y'''			z'
3	30		3	30	31		3			31			32				3		32

Перепишем систему, добавив дополнительно шесть уравнений:

z ' z , z'			z			,	z'	z , z'									z			22	,	z'	z , z'		z
10	11	11	12				20					21		21								30	31	31	32
			z	12			5z '				2z			31		1 0
								22
					'		z20 z32 e											x	0
			z12
			z				3z					z '			x 0
					10				21			32
								z1'			0	z11
								z1'			1 z12
								z '				z
										20			21
								z		'		z	22
										21
								z		'		z31
										30
								z		'		z32
										31

50

Определение: Системой дифференциальных уравнений порядка n будем называть систему вида

F		x, y ,..., y	n		, y '	,..., y '		0
	1	1			1		n	0
	F	x, y ,..., y		n	, y	'	..., y '
	2	1			1		n
...................................
F		x, y ,..., y	n		, y '	,..., y '		0
	n	1			1		n

Определение: Нормальной системой дифференциальных уравнений порядка n будем называть систему вида

y '			f x, y ,..., y		n
1			1
y	'		f x, y ,...y	n
	2		1
.............................
y	'		f x, y ,...y	n
	n		1

Определение: Множество функций y10 , y20 ,..., yn0 называется решением

системы дифференциальных уравнений, если оно обращает все уравнения системы в тождества

y1' y2

Пример: Решить систему .

y2' y1

Решение: Из первого уравнения системы следует, что y2' y1'' . Подставим

это во

второе уравнение

системы:

y''

y .

Получили

линейное

1

1

дифференциальное

уравнение

y'' y

0

, общим

решением

которого

1

1

является

функция

y1 C1 sin x C2 cos x . Из

первого

уравнения

системы получаем:

y

2

y'

C cos x C

2

sin x . Система решена.

1

1

Замечание: Решая в примере систему второго порядка, получили общее решение, зависящее от двух произвольных постоянных. Как правило, общее решение системы порядка n зависит от n произвольных постоянных.

Для системы дифференциальных уравнений может быть поставлена задача Коши: найти решение системы

51

F		x, y ,..., y	n		, y '	,..., y '		0
	1	1			1		n	0
	F	x, y ,..., y		n	, y	'	..., y '
	2	1			1		n	,
...................................
F		x, y ,..., y	n		, y '	,..., y '		0
	n	1			1		n

удовлетворяющее условиям y1 x0 y10 , y2 x0 y20 ,...yn x0 yn0 , где x0 , y10 , y20 ,..., yn0 - заданные числа.

Замечание: обычно при решении задачи Коши для системы дифференциальных уравнений поступают так же как и при решении задачи Коши для одного дифференциального уравнения: сначала находят общее решение, затем, пользуясь начальными условиями, определяют значения произвольных постоянных.

Пример: Решить задачу Коши:

	y '		y		y1 0 2, y2 0 3.
		1		2 ,
	y2'		y1
Решение: Общее решение системы было найдено ранее:
y1 C1 sin x C2 cos x , y2 C1 cos x C2 sin x .
Подставим условие		y1 0 2			в равенство y1 C1 sin x C2 cos x , а
условие	y2 0 3	в равенство y2 C1 cos x C2 sin x :
		C sin 0 C					cos 0 2
			1			2
		C1 cos 0 C2 sin 0 3
значит,	C1 3,C2	2 и решением задачи Коши являются функции
				y1	3sin x 2cos x
				y2	3cos x 2sin x

Геометрическая интерпретация: рассмотрим систему третьего порядка
F1	t, x, y, z 0
F	t, x, y, z 0 ,
2
F	t, x, y, z 0
3

52