заочникам / диф ур / Lectures - 3

Систему можно решать методом, рассмотренным во втором семестре, но в данном случае можно поступить проще. Первое и третье уравнения системы

равносильны и из любого из них следует, что C3 C1 . Подставим C1

вместо C3 во второе и четвертое уравнения системы:

С1 3С2 3С4 03С2 С1 3С4 0

Снова в системе первое уравнение равносильно второму (одно из другого

получается умножением на -1), значит,				С					1	С		3С		и
							4						2
									3	1
y e2 x C x C		, z e2 x	C x		1	С 3С						.
	2										2
1			1	3				1

Неоднородные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим неоднородную систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

y

'

a

y

a

y

... a

y

f

'1

11 1

12

2

1n

n

1

y

2

a21 y1

a22 y2

... a2n yn

f 2

...................................

y

'

a

y

a

n2

y

2

... a

nn

y

n

f

n

n

n1 1

и допустим, что найдено общее решение С1Y1 С2Y2

... СnYn

однородной системы

y '

a

y

a

y

... a

y

'1

11

1

12

2

1n

n

y

2

a21 y1

a22 y2

... a2n yn

,где

...................................

y

'

a

n1

y

a

n2

y

2

... a

nn

y

n

n

1

y

y

y

11

21

n1

y12

y

22

yn2

-

Y

...

,Y

...

,...,Y

...

1

2

n

y1n

y2n

ynn

63

фундаментальная система решений.
Будем	искать	решение	неоднородной	системы в виде
				С1 x ,С2 x ,...,Сn x -
Y С1	x Y1 С2	x Y2 ... Сn x Yn , где

некоторые неизвестные функции (метод вариации произвольных

постоянных).

Векторное равенство Y

С1 x Y1 С2 x Y2 ...

Сn x Yn равносильно

системе равенств

y1 C1

x y11 C2

x y21

... Cn

x yn1

y2

C1

x y12

C2

x y22

... Cn

x yn2

…………………………………………………

yn

C1

x y1n

C2

x y2n

... Cn

x ynn

Подставив эти функции в неоднородную систему дифференциальных

y11

y

21

yn1

уравнений, с учетом того, что

y12

y

22

yn2

являются

Y1

...

,Y2

...

,...,Yn

...

y1n

y2n

ynn

решениями однородной системы дифференциальных уравнений, для

определения

производных

функций С1 x ,С2

x ,...,Сn x

получим

систему линейных алгебраических уравнений

C

'

x y

C '

x y

21

... C '

x y

n1

f

1

x

1

11

2

n

C '

x y

C '

x y

22

... C '

x y

n2

f

2

x

1

12

2

n

...............................................

C '

x y

C '

x y

2n

... C '

x y

nn

f

n

x

1

1n

2

n

Решив эту систему, например, по правилу Крамера или методом Гаусса,

получим	аналитические		выражения для					производных	функций
С1 x ,С2	x ,...,Сn x . Взяв затем интегралы от найденных производных,
получим	сами	функции	С	x ,С		x ,...,С		x , подставив	которые в
			1		2		n

равенство Y С1 x Y1 С2 x Y2 ... Сn x Yn , найдем общее решение

неоднородной системы дифференциальных уравнений.

64

Пример: Найти общее решение системы

y '

5y 4z 1

z '

4 y 5z x

y '

5y 4z

Решение: Общее решение однородной системы

было

z '

4 y 5z

найдено ранее:

y 4C ex 4C

e9 x , z 4C ex

4C

e9 x . Здесь

1

2

1

2

y 4e x ,

y

21

4e9 x ,

y 4e x и y

22

4e9 x .

11

12

Составим систему для определения функций C ' x ,C ' x :

1

2

4C '

x e x 4C '

x e9 x 1

1

2

4C '

x e x 4C '

x e9 x x

1

2

Решим эту систему по правилу Крамера:

						4e x					4e9 x					32e10x ,
				4e x							4e9 x
									4e9 x					4e9 x 4xe9 x 4e9 x x 1
	1				1
						x			4e9 x
											1		4xe x 4e x 4e x 1 x
	2					4e x
						4e x					x
											C1' x 1						4e9 x x 1												1			x 1 e x ,
																					32e10x						8
											C '		x 2							4e x 1 x								1			1 x e 9 x
											2									32e10x							8
Функции С1 x ,С2 x найдем интегрированием по частям:
C		x					1			x 1 e x dx								1	x 1 e x											e x dx
																	8
1				8
			1	x 1 e x									1		e x C
		8										8					1
		x							1		1 x e 9 x dx										1		1		1 x e 9 x								1
C2																																			e	9 x dx
									8												8		9										9

65

		1	1	x e 9 x	1			1	8
						e 9 x C2			e 9 x		x .
		72			648			72		9

Запишем общее решение системы:

	y				1		e x x		2 C1		4e x
					8
		4	x			85		4C e x 4C			e9 x
	9				81			1		2

	1	e 9 x
	72

			1				1
z				e x x 2 C		4e x		e 9 x
				1
			8				72

	8
		x		C	4e9 x
					2
9

8							4e	9 x
		x		C
					2
9

95 x 7781 4C1e x 4C2 e9 x

Контрольные вопросы:

1.Что называется характеристическим уравнением системы линейных дифференциальных уравнений? Как находится общее решение однородной системы, если характеристическое уравнение имеет только действительные различные корни?

2.Как находится общее решение однородной системы, если характеристическое уравнение имеет различные, но не обязательно действительные корни?

3.Как находится общее решение однородной системы, если у характеристического уравнения есть кратные корни?

4.Как находится общее решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений?

Задачи для самостоятельного решения:

1.Доказать, что при решении системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в случае различных корней характеристического уравнения в качестве чисел

1 , 2 ,..., n можно брать алгебраические дополнения первой строки матриц A i .

2.Доказать, что при решении системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в случае различных корней характеристического уравнения в качестве чисел

1 , 2 ,..., n можно брать алгебраические дополнения любой строки матриц A i .

Лекция 8(42) Основы теории рядов

Определение ряда и его свойства

Определение:	Пусть	задана последовательность чисел a1 , a2 ,..., an ...
Составленная	из	этих	чисел	бесконечная	сумма

66

a1 a2 ... an ... an называется бесконечным рядом, а числа
n 1
a1 , a2 ,..., an ... называются элементами ряда.
Определение: Элементы последовательности A1 a1 , A2 a1	a2 , …,
An a1 a2 ... an … называются частичными суммами ряда an .
	n 1
Определение: Если последовательность A1 , A2 ,..., An ... имеет	конечный

предел, то этот предел называется суммой ряда, а сам ряд называется сходящимся. Если последовательность не имеет предела или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся.

Замечание: Следующий простой пример показывает, что с бесконечными суммами нельзя обращаться как с конечными:

1 1 1 1 1 1																		...			1 1 1 1 1 1																												...	0 0 0 ...												0
1 1 1 1 1 1																		...			1 1 1 1 1 ...																									1 0 0 ...													1.
Примеры: 1) Геометрическая прогрессия a																																								n	a q n 1										,	q 1 .
																																														1
Число q называется знаменателем прогрессии, сумма первых																																																								n элементов
																																																		a	1 q n
прогрессии может быть вычислена по формуле Sn																																																		1									.
																																																			1	q
							1,									lim q n 0																							lim							a			1 q n							a
Если			q									то																	,		lim S															1													1			и ряд
																																					n
																n															n									n									1 q					1 q
сходится.
Если		q				1, то не существует конечного предела lim Sn																																														и ряд расходится.
2) Рассмотрим ряд с элементами an																																						1				:						n
																																			n2
																																							n
											a					1		, a							1		, a							1		, a								1			,...
																					2									3									4
											1					2								6									12								20
Поскольку											1								1					1					, то
										n	2	n							n					n 1
			1							1			1							1					1						1										1								1										1
An																																	....																			1
																				3											4																	n 1									n 1
			1 2										2												3																n

67

			1
lim An	lim 1				1 . Ряд сходится.
n	n		n 1

3) Рассмотрим ряд 1 n . Его частичные суммы поочередно принимают

n 1

значения -1 и 0. Такая последовательность не имеет предела. Ряд расходится.

4) Рассмотрим ряды a a a a ... и	n 1 2 3 ... Сумма
n 1	n 1

первого ряда при a 0 равна (знак суммы зависит от знака числа a ), сумма второго ряда равна .

Определение: если в ряде a1 a2 ... an		... an отбросить
		n 1
первые k слагаемых, то получится новый ряд
ak 1 ... an ...	an ,

n k 1

называемый k -тым остатком ряда an .

n 1

Теорема (об остатках ряда)

1) Если ряд an сходится, то сходится и любой из его остатков

n 1
2) Если сходится какой-либо остаток an ряда an , то сходится и ряд
		n k 1	n 1
an
n 1
Доказательство:	1) Пусть ряд	an сходится и его сумма равна			A , т.е.
		n 1
существует конечный предел частичных сумм			lim An	A . Рассмотрим
			n
k -тый остаток	ряда ak 1	... an ...	an .	Пусть	n k .

n k 1

Рассмотрим частичную сумму An' остатка:

68

ak 1

ak 2 ... an

a1 a2

... ak 1

ak 2

... an

a1

a2 ... ak

An'

An

постоянная

Вычислим предел частичных сумм остатка:

lim A' lim

A

a

a

2

... a

n

lim A

a

a

2

... a

n

n

n

n

n

1

n

n

1

A a1 a2 ...an

Значит, остаток ряда сходится.

2) Пусть

сходится

остаток

an

и

его

сумма

равна A' . При n k

n k 1

рассмотрим частичную сумму ряда

an :

a1

n 1

ak 1 ak 2 ... an

An a1

a2

... an

a2

... ak

lim An a1 a2 ... ak A' . Ряд сходится. Теорема доказана.

n

Теорема (сходимость и линейные операции)

1) Если сходится ряд a1 a2 ... an ... an , то сходится и ряд

			n 1
сa1 сa2 ... сan	... сan , где с - любое действительное число.
	n 1
2) Если сходятся ряды		a1 a2	... an	... an	и

n 1

b1 b2 ... bn ... bn ,

n 1

a1 b1 a2 b2 ... an

суммой рядов an	и bn .
n 1	n 1

Доказательство: 1) Пусть ряд

то	сходится			и	ряд
bn ... an		bn	,	называемый

n 1

an сходится и его сумма равна A .

n 1

69

обозначим An частичную сумму ряда an и An'							частичную сумму ряда
					n 1
сan
n 1
	lim сa1 сa2 ... сan c lim An cA . Ряд
lim An'									сan
n	n				n				n 1
сходится.
2) Обозначим		An	частичную сумму ряда			an	и Bn	частичную сумму
						n 1
ряда bn .		Пусть	ряды an	и	bn сходятся и			их суммы равны
n 1			n 1		n 1
соответственно A и B . Тогда
lim a1	b1	a2	b2 ... an		bn lim a1 a2			... an
n						n
lim b1 b2		... bn A B
n
Ряд сходится. Теорема доказана.
Теорема (необходимый признак сходимости)
Если ряд an сходится, то lim an					0 .
	n 1		n
Доказательство: Пусть сумма ряда an						равна A . Тогда
				n 1
lim an	lim a1 a2 ... an			lim a1		a2 ... an 1 A A 0 .
n	n			n
Теорема доказана.
Замечание: из теоремы следует,				что если		lim an	0 , то ряд расходится.
						n

Как будет показано дальше, обратное утверждение не имеет места:

существуют расходящиеся ряды, у которых lim an 0 .

n

Признаки сходимости положительных рядов

Рассмотрим ряды, все элементы которых положительны. В этом случае обязательно существует конечный или бесконечный предел частичных

70

сумм и расходимость ряда означает, что этот предел существует, но бесконечен.

Пример 1 (гармонический ряд)

																							1														1								1
Пусть дан ряд																											1																					...
																			n 1				n														2					3
Рассмотрим частичные суммы ряда вида
			1								1							1						1											1							1								1								1					1									1
1																																																																			...							...
			2								3							4										5 6 7 8																														9 10											16
Поскольку
	1										1								...													1														1								1		...								1			n					1					1
	n 1
										n 2																			n n 2n 2n																																			2n								2n 2
то,				полагая															n 2 ,												получим																		1					1							1	.		Полагая											n 3 ,				получим
																																														3								4						2
	1			1							1						1						1				; при n 4 :																							1					1				...						1				1			и т. д.
5				6							7						8					2																												9				10											16				2
обозначим частичные суммы ряда																																																			An , тогда, как только что было показано,
	A k							1							1	...								1									k				. Значит, частичные суммы ряда не могут быть
2							2								2							2											2
															k _ раз
ограничены сверху и ряд расходится.
Пример 2 (обобщенный гармонический ряд)
																													1																	1								1
Рассмотрим ряд																																			1																								... Случай											1 рассмотрен в
																													n																		2							3
																							n 1
предыдущем примере.
Пусть 1, тогда																												1										1				и						1						1					...						1				1					1		...			1	.
																											n
																																						n									1							2											k
																																																																					1 2										k

По теореме о пределе и неравенствах для последовательностей получаем

1			1		1		1				1		1
lim				...			lim					...			. То, что последний
k 1			2		k		k 1				2		k

предел равен , было доказано в предыдущем примере. Ряд расходится. Пусть 1. Обозначим 1 ; 0 .

71

		1										1					...									1							1						1				...					1						n				1									1
																																	n							n									n									n									n
	n 1								n 2															n n
						1						1						1						1						1						1						1						1
Значит,																						,																															,
						3							4						2					5					6						7						8						4
		1				1					...						1							1
																										и т. д. Следовательно, для любой
		9			10										16									8
																																																										1
																																																					1
частичной суммы														A2k				справедливо неравенство A2k																												1													2
																																																			2											1
																																																							1
																																																													2

(здесь воспользовались формулой для суммы геометрической прогрессии). Ряд сходится.

1

1

1

1

Пример: Ряды

,

,

сходятся, а ряды

2

5

n 1

n

n 1

n

n 1

n n

n 1

n

1

расходятся.

n 1 3

n

n

Теорема

(признак

сравнения

рядов) Пусть даны

два

положительными

слагаемыми:

an и

bn . Если an

bn ,

n 1

n 1

начиная с некоторого номера n , то из сходимости ряда bn

	n 1
сходимость ряда an	и из расходимости ряда an
n 1	n 1
расходимость ряда bn .
n 1

,

ряда с хотя бы

следует

следует

Доказательство: Пусть неравенство an bn	выполняется при	всех
n N . Рассмотрим N -ые остатки рядов an	и bn . Пусть ряд	bn
n 1	n 1	n 1

72