Индуктивные умозаключения

Определение: Индуктивное умозаключение, результатом которого является общий вывод о всем множестве предметов на основании знания свойств лишь некоторых из них, называют неполной индукцией.

Например, из того, что ; ; ; можно сделать вывод, что произведение двух однозначных чисел есть число четное, что, конечно же, неверно. Знание о четырех произведениях однозначных чисел распространили на все произведения. Это пример рассуждения неполной индукцией.

Из того, что ; ; ; ; можно сделать вывод, что любое число, десятичная запись которого оканчивается 5 или 0, делится на 5. Этот вывод верен, хотя он получен также в ходе рассуждения неполной индукцией и нуждается в более строгом доказательстве.

Выводы, полученные в ходе неполной индукции, носят характер догадки, гипотезы и нуждаются в проверке: их нужно либо доказывать, либо опровергать.

Определение: Индуктивное умозаключение, результатом которого является общий вывод о всем множестве предметов на основании знания свойств всех предметов данного множества, называют полной индукцией.

Раздел IV. Соответствия

Лекции № 16 - 18. СООТВЕТСТВИЯ И ОТНОШЕНИЯ.

Контрольные вопросы:

1. Соответствия между элементами двух множеств. Основные понятия, при­меры.

2. Способы задания соответствий.

3. Типы соответствий, операции над соответствиями.

4. Отображения. Виды отображений. Равномощные множества.

5. Отношения на множестве, их свойства.

6. Отношения эквивалентности, их связь с разбиением множества на классы.

7.Отношения порядка. Упорядоченные множества.

8.Отношения в начальном курсе математики.

Литература: (1) гл. I, § 10 пп.44-46; (2) гл. II, § 8, с. 166-170; § 10, с. 188-190, 198-201; (3) гл. I, § 2, пп. 9,10; 11-13; (4) гл. III, с. 103-114; (5) гл. III, §§ 3.1- 3.6.

Между элементами множеств могут устанавливаться различные связи. Так, например, пусть даны множества: X – множество домов г. Брянска; Y – множество улиц в г. Брянске. Тогда между элементами этих множеств очевидна связь: дом x находится на улице y. В результате установления таких связей образуются пары элементов (x; y). Причем, пары будут образовываться только в том случае, если между элементами x и y существует данная связь. В этом случае говорят о соответствии между множествами X и Y. Таким образом, при установлении соответствия между множествами речь всякий раз идет о трех множествах: X , Y, и некотором множестве пар (x; y), между компонентами которых установлено соответствие.

Определение: Бинарным соответствием между элементами множеств Х и Y назовём упорядоченную тройку множеств <X, Y, G_R>,где G_R XY.

(индекс R даёт имя этому соответствию: R = <X,Y,G_R>).

Соответствия, как правило, обозначаются большими буквами латинского алфавита. Заметим, что в дальнейшем слово бинарное будем опускать, так как будем говорить только о таких соответствиях.

Если R- это соответствие между элементами множеств X и Y, то есть R = <X,Y,G_R>, где G_R XY, то множество X называется областью отправления соответствия R, а множество Y – областью прибытия.

В рассмотренном нами примере: область отправления – X - множество домов г.Брянска . Область прибытия-Y - множество улиц г. Брянска.

Множество образовавшихся при этом пар (x; y), где , образуют множество G_R, которое называют графиком соответствия R.

Определение: Графиком соответствия R = <X,Y,G_R>, где G_R XY, называется множество пар (x; y), где , компоненты которых вступили в данное соответствие: G_R=}.

Пример 1: Пусть X = {2; 3; 5}, а Y = {4; 9}. Установим между элементами этих множеств соответствие R: «x – делитель y». Тогда область отправления соответствия R: X = {2; 3; 5}; область прибытия: Y = {4; 9} и график соответствия:

G_R = = .

Пусть пара (x,y)G_R, где G_К XY.

В этом случае говорят, что элемент х из множества Х вступил в соответствие R с элементом y из множества Y. Последнeе предложение будем обозначать R(x,y) или хRy. Таким образом, .

Если хRy (т.е. элемент х вступил в соответствие с элементом y ), то в этом случае так же говорят: у из множества Y - образ элемента х из множества Х, а элемент х из множества Х - прообраз элемента у из множества Y.

Определение: Областью определения соответствия R = <X,Y,G_R>, где G_R XY,

назовём множество всех первых компонент пар графика этого соответствия.

Обозначается область определения: Д_R. Тогда Д_R = ..

Определение: Областью значений соответствия R = где , называется множество всех вторых компонент пар графика этого соответствия. Обозначается множество значений соответствия: Е_R . Тогда Е_R = .

В предыдущем примере: Д_R = {2; 3}, Е_R = {4; 9}.