Отношения между понятиями

1. Если объемы понятий «a» и «b» не пересекаются, т.е. Ø, то говорят, что понятия «a» и «b» – несовместимы.

2. Если объемы понятий «a» и «b» пересекаются, т.е. Ø, то говорят, что понятия «a» и «b» – совместимы.

3. Если объем понятия «а» является собственным подмножеством объема понятия «b», т.е. , то говорят, что

- понятие «а» является видовым по отношению к понятию «b», а понятие «b» – родовым по отношению к понятию «а»;

- понятие «а» уже, чем понятие «b», а понятие «b» шире, чем понятие «а»;

- понятие «а» есть частный случай понятия «b», а понятие «b» – обобщение понятия «а».

4. Если объем понятия «а» равен объему понятия «b», то говорят, что понятия «а» и «b» тождественны.

Пример: Пусть понятие «а» - трапеция; «b» - хорда; «с» - прямоугольная трапеция; «d» - отрезок, соединяющий две точки окружности.

Так как Ø и Ø, Ø, Ø, то понятия «а» и «b», а также «а» и «d», «b» и «с», «с» и «d» - несовместимы.

Так как B=D, то понятия «b» и «d» - тождественны.

Так как Ø, то понятия «а» и «с» совместимы.

Так как , то понятия «с» и «а» находятся в отношении рода и вида: «с» - видовое понятие (частный случай) понятия «а», а понятие «а» - родовое понятие (обобщение понятия «с»).

Способы определения понятий

При изучении понятий в любой науке им дают определения. Определить понятие – это значит указать, по каким признакам (существенным свойствам) можно выделить тот или иной объект из множества других.

Определение: Определение – это логический прием, с помощью которого указываются существенные свойства понятия, достаточные для его распознавания, или устанавливается значение термина.

Например, понятие «а» - параллелограмм. Его содержание представлено существенными свойствами:

- быть четырехугольником;

- противоположные стороны попарно параллельны;

- противоположные стороны попарно равны;

- противоположные углы равны;

- сумма всех углов равна 360;

- диагонали в точке пересечения делятся пополам;

- диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника;

и другие.

Однако, для того, чтобы из множества геометрических фигур выделить параллелограмм, достаточно найти фигуру, которая является четырехугольником и противоположные стороны которой параллельны. Отсюда определение параллелограмма: параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Существуют явные и неявные определения.

Явные определения имеют форму равенства, совпадения понятий. Например, рассмотрим определения:

1. Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Пусть понятие «а» - квадрат, понятие «b» - прямоугольник, у которого все стороны равны. Тогда получаем: «а» есть «b» или «а» = «b».

2. Биссектриса угла – это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Здесь понятие «а» - биссектриса угла, понятие «b» - луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам. Тогда получаем: «а» есть «b» или «а» = «b».

Неявные определения не имеют формы совпадения двух понятий. К ним относятся, так называемые, контекстуальные и остенсивные определения (очень распространенные в начальной школе).

Контекстуальные определения – это определения, в которых содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации, раскрывающей смысл вводимого понятия.

Например, в начальных классах вводится понятие уравнения и его решения через отрывок текста (контекст): пусть дано равенство 3 + х = 9 и даны числа: 2, 7, 6. Х – это неизвестное число, которое надо найти. Какое из данных чисел нужно подставить вместо х, чтобы равенство было верным? Это число 6. Отсюда следует, что уравнение – это равенство, содержащее неизвестную, которую надо найти. А решить уравнение – это значит найти такое значение неизвестного х, при котором равенство будет верным.

Остенсивное определение – это определение понятия через демонстрацию объектов, которые этим термином обозначают.

Так вводят в начальной школе понятия: ломаная, кривая, прямая, равенство, неравенство и др.

Это равенства Это неравенства

Заметим, что контекстуальные и остенсивные определения не являются достаточно строгими, позволяющими точно выделить объект из его окружения.

В явных определения, как уже было отмечено, отождествляются два понятия. Одно из них называют определяемым, а другое определяющим. Через определяющее понятие раскрывается смысл определяемого понятия. Например, рассмотрим определение: квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Здесь «квадрат» - это определяемое понятие (понятие, которому дают определение).

«Прямоугольник, у которого все стороны равны» - определяющее понятие (понятие, через которое дают определение другому понятию).

Определяющее понятие включает в себя в данном случае два свойства:

-быть прямоугольником;

- иметь все равные стороны.

Первое свойство указывает на то, к какому множеству объектов принадлежит определяемое понятие, а второе свойство указывает на то, чем оно от них отличается. Таким образом, квадрат – это прямоугольник, но не всякий, а такой, у которого все стороны равны.

«Прямоугольник» – это родовое понятие по отношению к понятию «квадрат», а свойство «иметь все равные стороны» - это видовое отличие.

Тогда схематично определение будет выглядеть следующим образом:

Определяемое Родовое Видовое

= +

понятие понятие отличие

Определяющее понятие

Определение понятий по данной схеме называется определением через род и видовое отличие.

Если обозначить через «а» определяемое понятие, через «b» - родовое к нему понятие, а через - видовое отличие, то объем понятия «а» будут составлять те объекты родового понятия «b», которые обладают свойством : .

Определения, которые указывают на то, как возникает объект, или как его можно создать, называются генетическими (от слова «генезис» - происхождение). Так вводятся в курсе начальной школы понятия доли, дроби и др.

Определения, которые задаются с помощью формулы, называются рекурентными или индуктивными. Например, таковыми являются определения арифметической и геометрической прогрессии.