Лекция 7

7.1Преобразование Лапласа.

Вэтом разделе будем рассматривать функции f (t), определенные для всех значений действительного переменного t (−∞, ∞) и удовлетворяющие следующим условиям:

1) При t < 0 f (t) ≡ 0.

2)При t 0 функция f (t) — кусочно–непрерывная на любом конечном отрезке действительной оси, то есть имеет на таком отрезке конечное число точек разрыва первого рода.

3)При t → ∞ функция f (t) имеет ограниченную степень роста, то есть существуют такие положительные M и a, что для всех t 0

|f (t)| M eat

(7.1)

Точная нижняя грань значений a, для которых справедливо (7.1), называется показателем степени роста функции f (t).

Функция f (t) может быть комплекснозначной функцией действительного переменного t

— f (t) = fr(t) + i fi(t), где fr(t) и fi(t) — действительные функции.

Определение 7.1 Преобразованием Лапласа функции f (t) действительного переменного t называется интегральное преобразование, ставящее в соответствие функции f (t) функцию F (p) комплексного переменного p, определяемую при помощи интеграла

∞
F (p) =	e−ptf (t) dt.	(7.2)

0

Функция F (p), определенная посредством функции f (t) при помощи преобразования (7.2), называется изображением Лапласа функции f (t). Функция f (t) называется оригиналом функции F (p). Связь функций f (t) и F (p) символически обозначим как

f (t) F (p) или F (p) f (t)

(7.3)

Вопрос об области определения функции F (p) решает следующая теорема.

Теорема 7.1 Интеграл (7.2) сходится в области Re p > a, где a — показатель степени роста функции f (t), причем в области Re p x0 > a этот интеграл сходится равномерно.

Считая p = x + i y, при Re p > a получим оценку

			∞			∞		M
	|F (p)| =			e−ptf (t) dt		M	e−xteat dt =		= ∞, x > a,	(7.4)
								x a
			0			0		−

61

что означает сходимость интеграла (7.2). Если x x0 > a, то

|F (p)| M	∞	e−x0teat dt = x0 − a		(7.5)
	0
			M

для всех p из области Re p x0 > a одновременно, что доказывает равномерную сходимость (7.2) по p в указанной области комплексной плоскости P.

Выясним условия аналитичности функции F (p).

Теорема 7.2 Изображение Лапласа (7.2) функции f (t) является аналитической функцией комплексного переменного p в области Re p > a, где a — показатель степени роста функции f (t).

Возьмем значение p, удовлетворяющее условию Re p > a и придадим ему прираще-

ние p, так чтобы p + p не вышло за пределы указанной области. Используя (7.2), получим

∞
F (p + p) − F (p) = 0	(e−pt−
	∞
= − p		e−pt

			∞
p − e−pt)f (t) dt = 0				e−pt(e− pt − 1)f (t) dt =
	(Δp)2	∞			(Δp)3	∞
tf (t) dt +			e−ptt2f (t) dt −				e−ptt3f (t) dt + . . .
	2!				3!

0

0

0

Оценим интегралы, стоящие в правой части последней формулы

∞

e−pttnF (t) dt M

0

∞∞

e−xttneatdt = M e−(x−a)ttn dt =

0	0		∞
				e−τ τ ndτ =	(x − a)n+1 .
	= (x − a)n+1 0
		M			M n!

В последней строке предыдущей формулы произведена замена: τ = (x − a)t — и интеграл n раз берется по частям.

Таким образом, при условиях теоремы

F (p +

p)

−

F (p)

∞

F

(p) =

p→0

=

−

0

e−

tf (t) dt = ∞,

p

lim

pt

что и доказывает ее.

Кроме того, видно, что производные F (p) могут быть получены формальным дифференцированием по p подынтегральной функции в (7.2).

7.2Изображения элементарных функций.

1)Найдем изображение Лапласа единичной функции Хевисайда:

H(t) =	1,	t 0.	(7.6)
	0,	t < 0,

62