Приложение A

Элементарные функции.

A.1 Линейная функция.

Рассмотрим подробнее свойства уже упоминавшейся на стр. 8 линейной функции:

f (z) = w = az + b.

(A.1)

При a = 0 данная функция, как это выяснено, задана на полной комплексной плоскости Z (f (∞) = ∞), однозначна и однолистна. Легко также показать, что она является целой аналитической функцией. Бесконечно удаленная точка z = ∞ есть полюс первого порядка функции (A.1), поскольку f (ζ) = a(1/ζ) + b → ∞ при ζ → 0.

Обратная к (A.1) функция:

	ϕ(w) = z =	w − b	= a1w + b1	(A.2)
		a

обладает теми же свойствами.

Пара функций (A.1) и (A.2) осуществляют конформное преобразование плоскости Z на плоскость W и наоборот.

Пусть w1 = az, тогда |w1| = |a||z| и arg w1 = arg z + arg a, далее w = w1 + b.

Таким образом, видим, что конформное преобразование плоскости Z в плоскость W посредством функции (A.1) сводится к преобразованию подобия (сжатию или растяжению) с коэффициентом |a|, повороту на угол arg a и параллельному переносу на вектор, соответствующий комплексному числу b.

A.2 Обратно-пропорциональная зависимость.

Рассмотрим функцию:

	f (z) = w =	1	,	(A.3)
		z

определенную на полной комплексной плоскости (f (0) = ∞, f (∞) = 0). Данная функция однозначная и однолистная, совпадает с обратной (z = 1/w = ϕ(w)) и является непрерывной и аналитической во всех точках плоскости Z, кроме z = 0, где она имеет полюс первого порядка. Функция (A.3) — это аналитическое продолжение в плоскость Z с действительной оси функции f (x) = 1/x.

87

Для геометрической интерпретации соответствующего конформного преобразования счи-

таем, что		1				1
z = ρeiϕ, тогда w =			e−iϕ, то есть |w| =					и
		ρ				z
arg w = − arg z.				|			|
							Таким образом, конформное преобразование (A.3)
				сводится к зеркальному отражению относительно оси
				OX и инверсии в единичном круге.
							Инверсия в круге радиуса R с центром в точке C —
				это преобразование точки A внутри круга в точку B,
				лежащую на луче CA, такую что AC · BC = R2, и
				наоборот — преобразование точки B в точку A.
							Более общая функция обратно-пропорциональной
				зависимости:
								f (z) =	a	= w	(A.4)
									z
Рис. A.1:				отличается от (A.3) тем, что дополнительно задает
еще преобразование подобия с коэффициентом |a| и поворот на угол arg a подобно рассмот-
ренному в предыдущем пункте для линейной функции.

A.3 Степенная функция.

Рассмотрим функцию:
f (z) = w = zn,	n N.	(A.5)
Представим, что z = reiϕ, а w = ρeiθ , тогда получим:
ρ = rn и	θ = nϕ.	(A.6)

Так что отображение функцией (A.5) сводится к повороту вектора z на угол (n − 1) arg z

ирастяжению его в |z|n−1 раз. Очевидно, что функция (A.5) — однозначная, непрерывная

ианалитическая на всей плоскости Z и является аналитическим продолжением с действительной оси функции f (x) = xn. Бесконечно удаленная точка z = ∞ является полюсом n−го порядка функции (A.5).

Можно заметить, что для однолистности функции (A.5) в некоторой области D плоскости Z необходимо и достаточно, чтобы D не содержала никаких двух точек z1 и z2 таких

	что	2π
	|z1| = |z2|, arg z1 = arg z2 +		k, k = 0, 1, . . . , n − 1,	(A.7)
		n

поскольку такие точки z1 и z2 при отображении (A.5) перейдут в одну и ту же точку w комплексной плоскости W.

Обычно в качестве таких областей D однолистности функции (A.5) берутся секторы

ϕk =	2π	k < ϕ <	2π	(k + 1) = ϕk+1 , k = 0, 1, . . . , n − 1.	(A.8)
	n		n

Каждый такой сектор при отображении (A.5) преобразуется во всю плоскость W за исключением действительной положительной полуоси. Любой луч: arg z = ϕ0 = 2nπ k (k Z) — пере-

ходит в луч: arg w = nϕ0. Все дуги окружностей: |z| = r0 — переходят в дуги окружностей:

|w| = r0n.

88

Рис. A.2:

Следующие рисунки дают графическое представление функции w = z3, на рис. A.3 изображен рельеф значений |w| над плоскостью Z, на рис. A.4 дано контурное представление линий уровня |w| на плоскости Z, соответствующие численные значения проставлены в разрывах окружностей, около радиально исходящих лучей проставлены соответствующие значения arg w.

		8
		6
		4
		2	2
	–2	–1	1
		x–1 y1		2
		–2
		Рис. A.3:					Рис. A.4:
	Перейдем к рассмотрению функции:				√
				w =			(A.9)
					n	z,
обратной по отношению к функции (A.5).						= 0, при неизменности z все значения моду-
	Функция (A.9) n−значна для любого z = z0
ля							2π
	√z одинаковы, а значения аргумента отличаются друг от друга на величину, кратную n .
	n

Возьмем точку z = z0 = 0, на плоскости W ей соответствует n точек: w01, w02, . . . , w0n. Пусть точка z движется в плоскости Z по непрерывной кривой C, не проходящей через начало координат, начиная с z0. Поскольку непрерывны |z| и arg z, то и |w|, и arg w будут непрерывны и соответствующая точка w будет двигаться по непрерывной кривой Γ.

Для определенности на иллюстрации положим n = 3, тогда точке z0 на плоскости W соответствуют три точки: w01, w02 и w03 (Рис. A.5) .

89

Рис. A.5:

Если в качестве C взять замкнутую кривую, не содержащую внутри себя начало координат z = 0, то при полном обходе контура |z| и arg z вернутся к первоначальным значениям |z0|, arg z0, так что и соответствующие величины для w в плоскости W примут свои первоначаль-

ные значения, будь то w01, w02	или w03	. (Контуры обхода Γ1, Γ2 и Γ3).
		˜	, охватывающую точку z = 0, то при полном
Если же в качестве замкнутой кривой взять C

обходе такого контура |z| вернется к первоначальному значению, а к arg z прибавится 2π, что будет соответствовать добавлению к arg w значения 2π/3, то есть из точки w01, например, мы

перейдем в точку w02.
˜	(n−крат-
В исходную точку w01 мы попадем только после трехкратного обхода контура C
ного в общем случае) в плоскости Z.

Таким образом, в любой области D комплексной плоскости Z, не содержащей ни одной

замкнутой кривой, охватывающей точку z = 0, можно выделить n непрерывных и одно-

значных функций, которые принимают разные значения

√

, отличающиеся друг от друга

z

n

2πk

2πk

множителем (cos

+ i sin

), где k = 0,

1, . . . , n −1. Эти n функций называются ветвями

n

n

многозначной функции

√

.

z

n

Каждая такая ветвь осуществляет однолистное отображение области D в плоскость W,

поэтому для нее справедлива теорема о производной обратной функции:

d

√

1

1

√z

(

n

dz

n

) =

d (wn) = nwn−1

= nz .

(A.10)

z

dw

Естественно, значения

√

для функции и ее производной берутся из одной и той же ветви.

z

n

Поэтому каждая такая ветвь является в области D аналитической функцией.

Если же взять область D второго типа, в√которой существует хотя бы один контур, охва-

тывающий точку z = 0, то ветви функции n z не разделяются. Даже выделив в достаточно

√

малой окрестности точки z одну какую-нибудь ветвь функции n z (что возможно сделать

для любой точки z = 0), то, обойдя по контуру вокруг точки z = 0, мы попадем на другую

√

ветвь функции n z.

√

Поэтому в такой области нельзя подобно предыдущему рассматривать функцию n z как совокупность отдельных однозначных аналитических функций.

Точка z = z˜, в любой окрестности которой нельзя отделить ветви многозначной функции друг от друга, называется точкой ветвления этой функции, ветви функции как бы соединяются в этой точке. Точка ветвления функции является ее особой точкой, иначе функцию

90

в некоторой окрестности такой точки можно было бы представить в виде сходящегося сте-

пенного ряда, который однозначен.

√

В случае функции n z точка z = 0 является точкой ветвления.

Считается, что обход по окружности |z| = R при R → ∞ есть обход бесконечно удаленной

√

точки z = ∞. Легко видеть, что при обходе точки z = ∞ одна ветвь функции n z переходит

√

в другую, таким образом, функция n z имеет вторую точку ветвления z = ∞.

Для того, чтобы в области D выделялись ветви многозначной функции, точки ветвления

функции не должны находиться внутри этой области.

√

Для функции w = n z в полной комплексной плоскости Z достаточно соединить точки

ветвления z = 0 и z = ∞ непрерывной кривой с запретом пересекать ее. Такая кривая

называется разрезом, берега разреза будут границами области

D

первого типа.

n

Для функции w = √z обычно проводят разрез по положительной полуоси, тогда ветви

n

функции w =

√

отображают такую область D на секторы плоскости W :

z

2π

2π

k < arg w <

(k + 1), где k = 0, 1, . . . , n − 1. Эти отображения обратны к рассмотренному

n

n

в начале данного пункта отображению с помощью функции w = zn.

n

Построим риманову поверхность функции w = √z

для частного случая n = 3.

Пусть мы имеем три экземпляра области D на

плоскости Z с разрезом вдоль положительной полу-

оси: D1, D2 и D3. Склеим нижний берег разреза обла-

сти D1 с верхним берегом разреза области D2, нижний

берег разреза области D2 — с верхним берегом разре-

за области D3 и нижний берег разреза на D3 — с верх-

ним берегом разреза на D1 (последнее можно проде-

лать только мысленно — показано пунктиром). Три

разных значения корня √3

в точке z условимся отно-

z

сить к трем точкам поверхности Римана, лежащим на

Рис. A.6:

разных листах D1, D2 и D3 над точкой z. Трехкрат-

ный обход точки z = 0, соответствующий однократному обходу точки w = 0 в плоскости W

будет проходить по трем различным листам римановой поверхности. Таким образом, видим,
что пара взаимно-обратных функций w =						√z и z = wn устанавливает взаимно-однозначное
						n
соответствие между построенной нами римановой поверхностью и плоскостью W.
		2
		1.5
		1
		0.5
–8 –6 –4	–5	5	4	6	8
		y
	x
Рис. A.7: График рельефа |z1/3|						Рис. A.8: Линии уровня |z1/3|

Надо четко представлять, что поверхность Римана — это абстрактное понятие. На рис. A.6 все три листа разнесены в пространстве для более наглядной иллюстрации перехода точки

91

через берега разреза с одного листа на другой при обходе контура. Надо понимать, что все

три листа данной поверхности Римана лежат в одной плоскости.

√

В общем случае w = n z соответствующая риманова поверхность состоит из n листов, соединенных аналогично. √

Многозначная на плоскости Z функция w = n z на своей римановой поверхности рассматривается как однозначная аналитическая функция.

В заключение на рис. A.7 – A.8 графически представлено изображение рельефа модуля функции w = z1/3 в виде трехмерного объекта и при помощи линий уровня на плоскости Z.

A.4 Показательная функция.

Определим показательную функцию комплексной переменной z = x + i y как

f (z) = w = ez = ex+i y = ex(cos y + i sin y).

(A.11)

Непосредственным дифференцированием убедимся, что для всех значений z выполняются условия Коши–Римана:

∂	(ex cos y) =	∂	(ex sin y),	∂	(ex cos y) = −	∂	(ex sin y).
∂x		∂y		∂y		∂x

Также видим, что сохраняется формула для производной показательной функции:

f (z) = ∂u∂x + i ∂x∂v = ex cos y + i ex sin y = ex(cos y + i sin y) = ez .

Таким образом, функция w = ez — аналитическая во всей плоскости Z, то есть целая. Как отмечалось выше (стр. 35), функция f (z) = ez — это аналитическое продолжение с действительной оси функции действительной переменной f (x) = ex. Разложение в степенной ряд функции (A.11) было приведено ранее (4.1). Добавим еще, что показательная функция w = ez не имеет нулей в комплексной плоскости Z и имеет существенно особую точку z = ∞.

Убедимся, что в комплексной плоскости сохраняется основное свойство показательной функции:

ez1 ez2 = ez1+z2 ,

поскольку

ez1 ez2 = ex1+i y1 ex2+i y2 = ex1 (cos y1 + i sin y1)ex2 (cos y2 + i sin y2) =

=ex1+x2 (cos y1 cos y2 − sin y1 sin y2 + i (cos y1 sin y2 + sin y1 cos y2)) =

=ex1+x2 (cos(y1 + y2) + i sin(y1 + y2)) = ez1+z2 .

Из (A.11) можно заключить, что функция w = ez — периодическая с периодом 2πi. Пока-

жем это:	поскольку e2πki = cos 2πk + i sin 2πk ≡ 1.
ez+2πki = ez e2πki = ez ,
С другой стороны, пусть ez1 = ez2 , тогда:
ex1 = ex2 , cos y1 = cos y2,	sin y1 = sin y2 = x1 = x2, y1 = y2 + 2πk.
Иначе говоря, выполняется условие:

z1 − z2 = 2πki.

92

Таким образом, чтобы выяснить, как происходит конформное отображение функцией w = ez с плоскости Z на плоскость W, достаточно рассмотреть на плоскости Z бесконечную вдоль действительной оси полосу шириной в 2π.

Выберем полосу: −π < Im z π, в этой полосе отображение w = ez — однолистно. Будем считать, что w = ρei ϕ, тогда из w = ez = exei y видим, что ρ = ex и ϕ = y.

Рис. A.9:

Видим, что любой отрезок x = x0 внутри выбранной нами полосы, параллельный оси OY , отобразится в окружность на плоскости W: ρ = ex0 . Отрезок мнимой оси: x = 0 — отобразится в единичную окружность с центром в начале координат: ρ = 1. Отрезки, параллельные мнимой оси, лежащие правее нее (x > 0), отобразятся в концентрические окружности: ρ = ex, лежащие в плоскости W вне единичной окружности, а с x < 0 — в окружности внутри единичной.

Любая прямая внутри выбранной полосы: Im z = y0 — отобразится в луч: arg w = ϕ = y0. Действительная ось плоскости Z: y = 0 — отобразится в положительную полуось плоскости W: arg w = 0. Прямая: y = π — отобразится в отрицательную полуось плоскости W: arg w = π. Но и нижняя граница полосы: y = −π — тоже отобразится в отрицательную полуось плоскости W. Поэтому вдоль отрицательной полуоси плоскости W проводится разрез и считается, что точки w на верхнем берегу этого разреза являются отображениями точек верхней границы полосы: −π < Im z π, а точки w на нижнем берегу разреза — отображениями точек нижней границы выбранной полосы плоскости Z.

Поскольку на плоскости Z бесконечно много таких полос, как выбранная нами, и каждая из них отобразится функцией w = ez в полную плоскость W с вырезом вдоль отрицательной полуоси, то на всей плоскости Z функция f (z) = w = ez является бесконечнолистной.

Для взаимно-однозначного соответствия между плоскостями Z и W над плоскостью W необходимо построить риманову поверхность из бесконечного числа областей, представляющих собой плоскость W с разрезом вдоль отрицательной действительной полуоси. Верхний берег n-го листа соединяется с нижним берегом разреза (n + 1)-го листа аналогично тому, как это делалось в рассмотренном выше случае степенной функции.

Движению точки w по единичной окружности: |w| = 1 — против часовой стрелки (по часовой стрелке) соответствует движение точки z в положительном (отрицательном) направлении по мнимой оси: Re z = 0. Каждое пересечение разреза в плоскости W влечет за собой переход на соседний лист римановой поверхности (вверх, если точка w = 0 обходится против часовой стрелки, и вниз — в противном случае).

В качестве области однолистности функции f (z) = ez можно взять любую полосу: y0 Im z < y0 + 2π. Все вышеприведенное рассмотрение остается в силе, только разрез в плоскости W придется проводить вдоль луча arg w = y0. Часто выбирается y0 = 0 и, соответственно, проводится разрез вдоль положительной действительной полуоси плоскости W, на

93

4
3
2
1								4
							0
0								y
	–1.5	–1					–4
–2			–0.5 x	0	0.5	1
							1.5

Рис. A.10: График рельефа |ez |.

что следует обращать особое внимание.

A.5 Логарифмическая функция.

Логарифмическая функция определяется как обратная к показательной функции, рассмотренной в предыдущем разделе.

w = ln z, если z = ew.

(A.12)

Пусть w1 = ln z1 , а w2 = ln z2 , отсюда следует z1 = ew1 и z2 = ew2 ; ясно, что z1z2 = ew1+w2 , откуда получается основное свойство логарифмической функции:

ln(z1z2) = ln z1 + ln z2.

(A.13)

Поскольку здесь

(z1z2 = |z|ei arg z

равенство:

z1 и z2	— совершенно произвольны, то можно принять z1 = |z| , а z2 = ei arg z
= z).	По основному свойству логарифмической функции получим общее

ln z = ln |z| + i arg z.

(A.14)

Из бесконечнозначности аргумента комплексного числа следует, что у любого z0 = 0 име-

ется бесчисленное множество логарифмов w0i таких, что Re w0i = ln |z| =	const,
а Im w0i − Im w0j = 2π(i − j) (рис. A.11).	z = 0 ,
Пусть точка z движется из z0 по замкнутой кривой C, не охватывающей точку

возвращаясь вновь в точку z0. При этом |z| и arg z, непрерывно изменяясь, вернутся к своим первоначальным значениям. Поэтому и точка w, являющаяся отображением движущейся точки z на плоскость W, также опишет некоторую замкнутую кривую Γ, возвращаясь в первоначальное положение w0i. Это означает, что мы можем выделить изолированные ветви бесконечнозначной логарифмической функции.

Если точка движется по замкнутому контуру ˜, охватывающему точку = 0, то при z C z

полном его обходе |z| возвращается к первоначальному значению, но arg z получает приращение ±2π в зависимости от направления обхода, и соответствующая точка w попадет в w0i±1 .

Ветви логарифмической функции, таким образом, соединяются в точке z = 0, которая является точкой ветвления так называемого логарифмического типа (бесконечно много ветвей). Как и в случае степенной функции w = z1/n, на полной комплексной плоскости Z имеется также бесконечно удаленная точка ветвления — z = ∞. Для разделения ветвей логарифмической функции в плоскости Z от точки z = 0 до точки z = ∞ проводится разрез, обычно вдоль отрицательной действительной полуоси.

94

Рис. A.11:

Для подчеркивания бесконечнозначности логарифмической функции принято такое обозначение:

Ln z = ln |z| + iArg z = ln r + i(ϕ + 2πk), k Z,

(A.15)

где подразумевается: z = reiϕ и ln r — обычный логарифм действительного числа.

Под w = ln z тогда подразумевают одну из ветвей логарифмической функции, при этом надо указывать, которая ветвь выбрана.

Обычно предполагается, что

	z	dζ
	ln z = 1		,	(A.16)
		ζ

где контур интегрирования не пересекает выбранный разрез в плоскости Z.

Каждая ветвь функции w = Ln z отображает плоскость Z с разрезом по отрицательной действительной полуоси в бесконечную полосу плоскости :

− π + 2πk < Im w < π + 2πk, k Z.

(A.17)

Для взаимно-однозначного соответствия между плоскостями Z и W над плоскостью Z строится бесконечнолистная риманова поверхность совершенно аналогично тому, как то описано в предыдущем разделе.

Каждая ветвь функции w = Ln z является однозначной функцией, поэтому по теореме о дифференцировании обратной функции имеем выражение для производной:

(ln z) =	1	1		1
		=		=		,	(A.18)
	(ew )		ew		z

одно и то же для каждой ветви.

95

Таким образом, каждая ветвь Ln z является аналитической функцией всюду, кроме точки z = 0. На римановой поверхности над плоскостью Z функция Ln z — однозначная аналитическая функция (z = 0).

Ветвь, заданная уравнением(A.16), является непосредственным аналитическим продолжением с действительной оси функции действительного переменного:

x	ξ ,
ln x = 1
	dξ

и обычно называется главной ветвью функции Ln z. Остальные ветви функции Ln z получаются последовательным аналитическим продолжением через стыки соседних листов римановой поверхности над линией разреза в плоскости Z.

Степенной ряд для ветви ln z, определенной уравнением (A.16), приведен ранее (4.6).

4

3

2

1

			2
–2	–1	y 1	2	3	4
	–2
		x

Рис. A.12: График рельефа | ln z|.

Для иллюстрации на рис. A.12 изображен рельеф поверхности | ln z| над плоскостью Z, а на рис. A.13 эта же функция представлена линиями уровня | ln z| и arg(ln z), значения этих величин нанесены рядом с соответствующими линиями.

3pi/8	1.82			pi/4	pi/8
	y
		1
	2.2
				0.6	1.0	1.4
–2	–1		1	2	3	4
		–1		x
					-pi/8
–3pi/8				-pi/4
		–2
Рис. A.13: Линии уровня | ln z| и arg(ln z).
			96

A.6 Степенная функция общего вида.

Расмотрим степенную функцию w = za, где показатель степени a — любое комплексное число. Тогда

w = za = zα+iβ = eaLn z ,	(A.19)
где z = reiϕ, a = α + iβ; r, ϕ, α и β — действительные числа.
Поскольку Ln z = ln r + i(ϕ + 2πk), k Z, то
za = eα ln r−β(ϕ+2πk)ei(α(ϕ+2πk)+β ln r).	(A.20)

Если показатель степени a — комплексное бесконечно много значений для каждого z

число, то есть β = 0, тогда функция w = za имеет = 0, при этом значения

|w| = eα ln r−βϕe−2πkβ

— образуют бесконечную геометрическую прогрессию, а значения

arg w = αϕ + β ln r + 2πkα

— образуют бесконечную арифметическую прогрессию.

Если же показатель степени a — действительное число, то есть β = 0, то

|w| = eα ln r = rα, arg w = αϕ + 2πkα.

Значения аргумента функции образуют арифметическую прогрессию, но если α — рациональное число, то эта прогрессия конечна, и тем самым для всякого z = 0 функция w = za имеет конечное число разных значений. По сути дела имеем уже рассмотренный в разделе A.3 случай.

Для иррациональных значений α арифметическая прогрессия аргументов функции w бесконечна, тем самым функция w = za — бесконечнозначная.

Из сказанного понятно, что точка z = 0 является точкой ветвления функции w = za. Если a — рациональное действительное число, то функция za имеет конечное число ветвей, во всех остальных случаях данная функция имеет бесконечное число ветвей.

Для разделения ветвей данной функции на полной комплексной плоскости Z во всех случаях из точки z = 0 проводится разрез до бесконечно удаленной точки z = ∞.

Для взаимно-однозначного соответствия между плоскостями Z и W над плоскостью Z строится риманова поверхность с конечным числом листов для рационального a и бесконечнолистная — во всех остальных случаях.

Каждая ветвь функции w = za является аналитической функцией (при z = 0) и имеет производную w = aza−1.

A.7 Тригонометрические и гиперболические функции.

Функции w = cos z, w = sin z, w = ch z и sh z определены через степенные ряды (4.2 – 4.5). Легко убедиться, сравнивая эти ряды с рядом для w = ez , что это определение эквива-

лентно следующим:

cos z =	1	eiz + e−iz ,	sin z =	1			eiz − e−iz ,
	2			2i				(A.21)
ch z =	1	ez + e−z ,	sh z =	1		ez − e−z .
	2				2

97

98

= 0 или e2iz = 1, и далее 2zk = 2πk

Также просто устанавливается связь тригонометрических функций с соответствующими гиперболическими:

	cos iz = ch z,	sin iz = i sh z,	(A.22)
	ch iz = cos z,	sh iz = i sin z.

Очевидно, что свойства перечисленных функций прямо следуют из свойств показательной функции.

Все четыре функции — целые, то есть аналитические на всей комплексной плоскости, бесконечно удаленная точка z = ∞ — является существенно особой.

Эти функции представляют собой аналитическое продолжение в комплексную плоскость с действительной оси соответствующих функций действительного переменного: cos x, sin x, ch x и sh x. Аналитически продолжаются на всю комплексную плоскость соотношения (их справедливость можно проверить и непосредственно):

(cos z) = − sin z, (sin z) = cos z, (ch z) = sh z,		(sh z) = ch z,
cos2 z + sin2 z = 1,	ch2 z − sh2 z = 1,
cos(z1 ± z2) = cos z1 cos z2 sin z1 sin z2,	sin(z1 ± z2) = sin z1 cos z2 ± cos z1 sin z2,
ch(z1 ± z2) = ch z1 ch z2 ± sh z1 sh z2,	sh(z1 ± z2) = sh z1 ch z2 ± ch z1 sh z2,
cos 2z = cos2 z − sin2 z,	sin 2z = 2 cos z sin z	и т. п.

Из (A.22) понятно, что рельеф модуля пар функций w = cos z — w = ch z и w = sin z —

π

w = sh z одинаков с точностью до поворота комплексной плоскости Z на угол, равный 2 .

Выясним вопрос о нулях рассматриваемых функций. Показательная функция не имеет нулей ни в одной точке комплексной плоскости. Пусть cos z = 0, тогда eiz + e−iz = 0 или

e2iz =	1. Аргументы двух равных комплексных чисел различаются на число, кратное 2π,
	−arg(e2iz ) = arg(		1) + 2πk, где k — целое, таким образом, для нулей w = cos z имеем
поэтому		−		π
равенство: 2zk = π + 2πk — или zk =					+ πk, где k = 0, ±1, ±2, . . .
				2

Аналогичным образом, из sin z = 0 следует eiz − e−iz

— и окончательно zk = πk, где k = 0, ±1, ±2, . . .

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

–2

–2

1

1

2

y

2

x/Pi

Рис. A.14: Рельеф | cos z|.

Отсюда следует наличие нулей у функции w = ch z: zk = i

π

+ πk , где k = 0, ±1, ±2, . . .,

2

а у функции

w = sh z

нулями являются

z

= iπk

, где

k = 0,

1,

2, . . .

k

± ±

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

–2

2	1	y 1	2
	x/Pi

Рис. A.15: Рельеф | sin z|.

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

–2

2	1	x/Pi 1	2
	x

Рис. A.16: Рельеф | ch z|.

–2

–2

Все четыре функции периодические, у w = cos z и w = sin z период равен 2π, а у функций w = ch z и w = sh z период равен 2πi.

π

Известно также, что cos x = sin x + 2 , отсюда можно заключить, что рельефом модуля всех четырех функций является по сути дела одна и та же поверхность, по-разному располо-

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

	–2	1	x/Pi 1	–2
	2			2
		x

Рис. A.17: Рельеф | sh z|.

99

	π			π
	2		sin z
женная относительно координатных осей поворот на угол, равный		, и/или сдвиг на		2		,
что можно видеть на рис. A.14 – A.17. На рис. A.18 также изображены линии уровня |						|

для его значений, равных 0,3, 0,6, 1, 1,5 и 2, и линии одинаковых значений arg sin z, равных
±	π	, ±	π	3π
	4		2	, ± 4 .
							1.5
						y	1
							0.5
				–4	–2		0	2	4
							–0.5

–1	x
–1.5

Рис. A.18: Линии уровня | sin z| и arg sin z.

Функции комплексного переменного w = tg z, w = ctg z, w = th z и w = cth z вводятся, как и для действительного переменного, соотношениями:

tg z = cossin zz , th z = chsh zz ,

ctg z = cos z ,

	sin z				(A.23)
		ch z
cth z =			.
		sh z

Легко устанавливаются следующие взаимосвязи:

tg iz = i th z, th iz = i tg z,

ctg iz = −i cth z,

(A.24)

cth iz = −i ctg z.

Функции (A.23) имеют нули, совпадающие с нулями функций, стоящих в числителях формул определения. В нулях знаменателя эти функции имеют полюсы первого порядка, таким образом, все четыре функции относятся к классу мероморфных функций. Бесконечно удаленная точка z = ∞ является неизолированной особой для всех четырех функций.

Функции (A.23) представляют собой аналитическое продолжение соответствующих функций действительного переменного и в своей области аналитичности имеют производные:

1

1

1

1

(tg z) =

,

(ctg z) = −

,

(th z) =

,

(cth z)

=

.

cos2 z

sin2 z

ch2 z

sh2 z

Аналитически продолжаются также соотношения, такие, как:

1

1

1 − th2 z =

1

cth2 z

1

tg2 z + 1 =

,

ctg2 z + 1 =

,

,

− 1 =

,

cos2 z

sin2 z

ch2 z

sh2 z

tg(z1 + z2) =

tg z1 + tg z2

,

th(z1 + z2) =

th z1 + th z2

,

1 − tg z1 tg z2

1 + th z1 th z2

ctg(z1 + z2) =

ctg z1 ctg z2 − 1

,

cth(z1 + z2) =

1 + cth z1 cth z2

и т. п.

cth z1 + cth z2

ctg z1 + ctg z2

100

Все рассматриваемые функции — периодические, у w = tg z и w = ctg z период равен π, а у функций w = th z и w = cth z период равен πi.

Понятно, что поверхности модуля для всех четырех функций подобны с точностью до сдвига и поворота комплексной плоскости (но аргументы значений функций в подобных точках этой поверхности различаются). На рис. A.19 в качестве примера изображен рельеф

модуля функции w = tg z.
		4
		3
		2
		1
–2			–1	–2
		1
2	x/Pi		2
		y

Рис. A.19: Рельеф | tg z|.

Рассмотрим детально, каким образом функция w = sin z отображает плоскость Z в плоскость W. Имеем:

sin z = sin(x + iy) = sin x cos iy + cos x sin iy = sin x ch y + i cos x sh y = u(x, y) + iv(x, y). (A.25)

Положив x = x0, можно заметить, что действительная и мнимая части значения синуса удовлетворяют уравнению:

u2	−	v2	= 1,	(A.26)
sin2 x0		cos2 x0

это означает, что прямые x = x0 с комплексной плоскости Z отображаются в гиперболы на комплексной плоскости W рис. A.20–A.21.

	1.5	V
	1
	0.5
	0		2 U
–2	–1–0.5	1
	–1
	–1.5
Рис. A.20:	Рис. A.21:

Несложно убедиться, что бесконечная вдоль мнимой оси и симметричная относительно нее полоса шириной π из плоскости Z отобразится во всю плоскость W. Действительно, мнимая ось (x = 0) плоскости Z отобразится в мнимую ось (u = 0) плоскости W (A.25), прямая x = x0 (x0 > 0) отобразится в правую ветвь гиперболы (A.26), симметричная ей прямая x = −x0

101

— в левую ветвь той же гиперболы (стрелки соответствуют возрастанию y). Прямая x = π/2 отобразится в луч действительной оси [1, ∞), проходимый дважды в противоположных направлениях (вырожденная правая ветвь гиперболы), а прямая x = −π/2 — в луч (−∞, −1], так же проходимый дважды. По этим лучам проводят разрезы и считают, что движение в противоположных направлениях происходит по разным берегам разреза.

Положив y = y0, можно получить следующее уравнение:

u2	+	v2	= 1,	(A.27)
ch2 y0		sh2 y0

таким образом, видим, что отрезок y = y0 (y0 > 0) отображается в верхнюю половину эллипса (A.27), а отрезок y = −y0 — в нижнюю половину того же эллипса, отрезок действительной оси x [−π/2, π/2] отображается в отрезок действительной оси u [−1, 1] (вырожденный эллипс).

Полосы шириной π, смежные с рассмотренной, отображаются подобным образом, но направление движения отображаемой точки сменяется на противоположное (рис. A.23). Каждая такая полоса является областью однолистности функции w = sin z, а значения этой функции следует рассматривать на бесконечнолистной поверхности Римана, склееной из чередующихся попеременно листов с рис. A.21 и с рис. A.23.

Интересно отметить, что осциллирующий характер функции действительного переменного sin x, то есть периодическая смена знака производной при монотонном возрастании аргумента, обуславливается переходом на смежный лист поверхности Римана с противоположным направлением движения отображаемой точки, то есть поведением функции комплексного переменного.

	1.5	V
	1
	0.5
	0		2 U
–2	–1–0.5	1
	–1
	–1.5
Рис. A.22:	Рис. A.23:

Для функции w = cos z аналогично рассмотренному имеем:

cos z = cos(x + iy) = cos x ch iy + sh x sh iy = cos x ch y − i sin x sh y,									(A.28)
x = x0,		u2		−		v2		= 1,	(A.29)
	cos2 x0					sin2 x0
y = y0,		u2		+		v2	= 1.		(A.30)
		ch2 y0			sh2 y0
Легко понять, что бесконечная полоса x		[0, π], y (−∞, ∞) комплексной плоскости Z
отобразится во всю комплексную плоскость W и будет областью однолистности функции
w = cos z (рис. A.22 – A.23.)				y (−∞, ∞) — также отобразятся во всю
Смежные полосы: x [−π, 0] и x [π, 2π],

плоскость W , но направление движения отображенных точек меняется на противоположное (как на рис. A.21).

102

Рис. A.26:

Поверхность Римана значений функции w = cos z образует бесконечная последовательность листов обоих типов, следующих попеременно и склеенных по берегам разрезов.

Для функции w = ch z можем получить следующие уравнения:

ch z = ch(x + iy) = ch x ch iy + sh x sh iy = ch x cos y + i sh x sin y,									(A.31)
x = x0,		u2		+		v2		= 1,	(A.32)
		ch2 x0				sh2 x0
y = y0,		u2		−		v2		= 1.	(A.33)
	cos2 y0				sin2 y0

Установилось за область однолистности w = ch z принимать полубесконечную полосу x [0, ∞), y [−π, π], которая отображается во всю плоскость W, на которой проводится разрез по оси U от −∞ до 1 (рис.A.24 –A.25 ). Стрелки на рисунках соответствуют нарастанию x и y.

Смежные полубесконечные полосы x [0, ∞), y [π, 2π] и x [0, ∞), y [−2π, −π] отобразятся в такие же листы плоскости W, которые назовем листами I типа.

Рис. A.24:

	1.5	V
	1
	0.5
	0		2 U
–2	–1–0.5	1
	–1
	–1.5
	Рис. A.25:

Можно убедиться, что полубесконечная полоса

x (−∞, 0), y [−π, π] тоже является областью однолистности рассматриваемой функции и отобразится во всю плоскость W, но направления стрелок сменятся на противоположные, назовем это листом II типа.

Поверхностью Римана значений функции w = ch z тогда будет являться бесконечной последовательностью пар листов, каждая из которых содержит лист I и II типа. Листы внутри пары соединяются по бе-

регам разреза: −1 u 1 — а однотипные листы смежных пар соединяются по берегам разреза −∞ < u −1. Схематически это представлено на рис. A.26.

Для функции w = sh z получаются следующие уравнения:

sh z = sh(x + iy) = sh x ch iy + ch x sh iy = sh x cos y + i ch x sin y,									(A.34)
x = x0,		u2		+		v2		= 1,	(A.35)
		sh2 x0				ch2 x0
y = y0,		v2		−		u2		= 1.	(A.36)
	sin2 y0				cos2 y0

103

Имея в виду связь между sh z и sin iz (A.22), легко понять, что областью однолистности функции w = sh z является бесконечная полоса x (−∞, ∞),y [−π/2, π/2], которая отображается во всю плоскость W. Очевидными преобразованиями из рис.A.20 – A.21 получается соответствие между плоскостями Z и W (рис.A.27 – A.28 ) Смежные полосы: x (−∞, ∞), y [π/2, 3π/2] и y [−3π/2, −π/2] — отображаются в подобный лист плоскости W с противоположными направлениями стрелок.

			1.5	V
			1
			0.5
	–2	–1	0	1	U2
			–0.5
			–1
			–1.5
	Рис. A.27:		Рис. A.28:

Поверхность Римана значений функции w = sh z представляет собой бесконечную последовательность чередующихся листов обоих типов, соединенных с соседними по берегам разрезов (рис. A.27 – A.28).

Для решения вопроса об отображении плоскости Z в плоскость W функцией w = tg z требуется несколько более тонкий подход. Для этой функции получаем:

w = tg z = tg(x + iy) =

tg x + tg iy

=

tg x + i th y

=

1 − tg x tg iy

1

1 − i tg x th y

1

tg x

th y

=

tg x(1 − th2 y) + i th y(1 + tg2 x) =

+ i

(A.37)

.

1 + tg2 x th2 y

1 + tg2 x th2 y

ch2 y

cos2 x

Таким образом:

u(x, y) =

tg x

, v(x, y) =

th y

.

(A.38)

ch2 y + tg2 x sh2 y

cos2 x + th2 y sin2 x

Покажем, что за область однолистности функции w = tg z может быть выбрана бесконеч-

ная полоса: x [−π/2, π/2], y (−∞, ∞).
Посмотрим, во что отобразится отрезок действительной оси X : x [−π/2, π/2], y = 0.
Из (A.38) видим, что u(x, 0) = tg x,	v(x, 0) = 0, так что данный отрезок отображается во
всю действительную ось плоскости W.
Сейчас выясним, в какую линию в плоскости W отображается отрезок прямой:
x [−π/2, π/2], y = y0.	v(−x, y0) = v(x, y0), так что искомая кривая, заданная
Видим, что u(−x, y0) = −u(x, y0),

параметрически уравнениями (A.38), где y = y0, расположена симметрично относительно мнимой оси плоскости W. Далее

lim u(x, y0) = 0,	lim v(x, y0) = th y0,
x→0	x→0
limπ u(x, y0) = 0,	limπ v(x, y0) = cth y0.
x→± 2	x→± 2

104

y→±∞

y→±∞

Таким образом, искомая кривая пересекает ось V в точках w = i th y0 и w = i cth y0. Найдем радиус кривизны искомой кривой, в результате несложных, но несколько громозд-

ких выкладок можем убедиться, что:

		dv	2	3
1 +				2		1
R =		du			=		,	(A.39)
		2
	d v					sh 2y0

du2

так что радиус кривизны при y = y0 остается постоянным.

Из сказанного понятно, что искомая кривая — это окружность найденного радиуса, име-

1

ющая центр на мнимой оси в точке v0 = 2 (th y0 + cth y0), уравнение которой, таким образом:

1
u2 + (v − v0)2 = sh2 2y0 .	(A.40)

Если y0 → 0, то такая окружность вырождается в прямую, что соответствует полученному ранее результату.

Если y0 → ±∞, то такие окружности стягиваются в точки w = ±i.

Выясним, во что отображается мнимая ось плоскости Z : x = 0, тогда u(0, y) = 0, v(0, y) = th y, то есть отображение происходит в отрезок мнимой оси плоскости W : v [−1, 1].

Рассмотрим сейчас отображение прямой x = x0 (0 < x0 < π/2).

Видим, что u(x0, y) > 0, u(x0, −y) = u(x0, y), v(x0 , −y) = −v(x0, y), таким образом, эта прямая отобразится в кривую, симметричную относительно действительной оси плоскости W

и лежащую правее ее мнимой оси.

Кроме того, u(x0, 0) = tg x0, v(x0, 0) = 0, lim u(x0, y) = 0, lim v(x0 , y) = ±1, так что точки w = tg x0, w = ±i лежат на искомой кривой.

				2	V
				1
	–3	–2	–1	0		1	2	U 3
				–1
				–2
Рис. A.29:			Рис. A.30:
Можно найти радиус кривизны такой кривой:
1
R = sin 2x0	,							(A.41)
который при x0 = const остается постоянным, поэтому искомая кривая — это дуга окружно-
сти, центр которой лежит на действительной оси плоскости W и координата которого u0 мо-
						1		−ctg x0).
жет быть найдена по трем известным точкам окружности и ее радиусу: u0 =						2 (tg x0
Уравнение такой окружности:

(u − u0)2 + v2 =	1	(A.42)
	sin2 2x0 .

105

Прямая x = −x0 отобразится в дугу окружности, симметричную относительно мнимой

	оси плоскости W.	π
	Прямые x = ±		отображаются в лучи мнимой оси плоскости W : v [±1, ±∞),							прохо-
		2
	димые дважды, и по этим лучам проводятся разрезы (рис. A.29–A.30).
	Видим, что мнимая ось плоскости W может			рассматриваться как вырождение окружно-
					π
	стей (A.42) при предельных переходах x → 0 или x → ±					.
					2		π	+ πk,	π	+ πk],
	Из периодичности функции w = tg z следует, что любая полоса x [−
							2		2

k −целое, y (−∞, ∞) также отображается во всю плоскость W с аналогичными разрезами. Поверхность Римана значений функции w = tg z представляет собой бесконечную после-

довательность таких листов, склеенных по берегам разрезов.

При рассмотрении функции w = ctg z можно получить уравнения, подобные (A.37 – A.38), и провести исследование, аналогичное предыдущему. Но можно просто использовать тот факт, что ctg z = 1/ tg z, инвертировав плоскость W относительно единичной окружности с центром в начале координат. При этом дуги окружностей преобразуются в дуги окружностей, прямые, проходящие через начало координат — в подобные же прямые.

Рис. A.31:

			2	V
			1
–3	–2	–1	0		1	2	U 3
			–1
			–2
		Рис. A.32:

С учетом сказанного ясно, что областью однолистности функции w = ctg z также является полоса: x [−π/2, π/2], y (−∞, ∞) — отображающаяся во всю плоскость W (рис. A.31 – A.32). Отличие от предыдущего случая в том, что разрез в плоскости W проводится по мнимой оси от точки w = −i до точки w = i. Это связано с расположением полюса ctg z в точке z = 0, тогда как у tg z полюсы z = ±π/2 расположены на границах полосы. Луч мнимой оси [i, ∞) с рис. A.30 при инверсии относительно единичной окружности отобразится в полуинтервал мнимой оси [−i, 0) на рис. A.32. Также изменяется на противоположное направление движения отображенных точек — направление стрелок на рис. A.32 обратное относительно рис. A.30. Это также легко понять, поскольку arg w˜ = − arg w и |w˜| = 1/|w|, где

w˜ = 1/w.

Из периодичности функции w = ctg z следует, что любая полоса x [−	π	+ πk,	π	+ πk],
	2		2

k −целое, y (−∞, ∞) также отображается во всю плоскость W с аналогичными разрезами. Поверхность Римана значений функции w = ctg z представляет собой бесконечную после-

довательность таких листов, склеенных по берегам разрезов.

106

Для функции w = th z можно написать уравнения:

th z = th(x + iy) = sh(x + iy) = sh x cos y + i ch x sin y = ch(x + iy) ch x cos y + i sh x sin y

ch x sh x + i cos y sin y

= ch2 x cos2 y + sh2 x sin2 y = u(x, y) + iv(x, y),

где

u(x, y) =	th x		v(x, y) =	th y
		,			.
	cos2 y + th2 x sin2 y			sh2 x + ch2 tg2 y

(A.43)

(A.44)

Далее можно провести исследование, подобно проделанному для w = tg z, но можно просто использовать связь между w = th z и w = tg z (A.24), поэтому ниже без выкладок приводятся соответствующие результаты.

В качестве области однолистности функции w = th z выбирается бесконечная полоса: x (−∞, ∞), y [−π/2, π/2] — которая отображается во всю плоскость W (рис. A.33 – A.34). При этом действительная ось плоскости Z : y = 0 — отображается в отрезок оси U : u [−1, 1]. Прямая y = y0 (0 < y0 < π/2) отображается в дугу окружности:

u2 + (v − v0)2 = R12, (v > 0),

где v0 = (tg y0 − ctg y0)/2, R1 = 1/ sin 2y0. Прямая y = −y0 отображается в дугу окружности, симметричную указанной относительно оси U.

Прямые y = ±π/2 отобразятся в лучи действительной оси U : u [±1, ±∞), проходимые дважды, и по ним проводятся разрезы.

Мнимая ось плоскости Z отображается в мнимую ось плоскости W.

		2	V
		1
–2	–1	0	1	U2
		–1
		–2
Рис. A.33:		Рис. A.34:

Отрезок прямой: x = x0, y [−π/2, π/2] — отобразится в окружность:

(u − u0)2 + v2 = R22,

где u0 = (th x0 + cth x0)/2, R2 = 1/ sh 2|x0|.

107

Полосы: x (−∞, ∞), y [−π/2 + πk, π/2 + πk], k − целое — также отображаются во всю плоскость W с аналогичными разрезами.

Поверхность Римана значений функции w = th z представляет собой бесконечную последовательность таких листов, склеенных по берегам разрезов.

Отображение плоскости Z в плоскость W посредством функции w = cth z и только что рассмотренное отображение аналогичны паре w = tg z — w = ctg z. На рис. A.35 – A.36 приводится иллюстрация отображения функцией w = cth z. Смысл изображенного понятен по аналогии.

		2	V
		1
–2	–1	0	1	U2
		–1
		–2
Рис. A.35:		Рис. A.36:

A.8 Обратные тригонометрические и гиперболические функции.

Поскольку тригонометрические и гиперболические функции определены через показательную функцию, естественно ожидать, что обратные тригонометрические и гиперболические функции будут выражаться через логарифмическую функцию.

Рассмотрим это подробнее для w = arcsin z. Эта функция определяется как решение уравнения sin w = z, имеющего бесчисленное множество решений. Тогда:

z = 1 eiw − e−iw ,

2i

2iz = eiw − e−iw , e2iw − 2izeiw − 1 = 0.

Решение квадратного уравнения: eiw = iz ± √1 − z2 — или (оставив знак + перед квадратным корнем):

w = −i ln(iz + 1 − z2). (A.45)

Убедимся,что (A.45) задает ветвь многозначной функции Arcsin z, совпадающую на отрезке [−1, 1] оси X с главным значением функции действительного переменного arcsin x.

108

	Обозначим t = ix + √			, видим, что
			1 − x2
								x
	|t| = x2 + 1 − x2 = 1					и arg t = arctg	√		= arcsin x
								1 − x2

и далее w = −i ln t = −i(ln |t| + i arg t) = −i(i arcsin x) = arcsin x.

Бесконечнозначная функция Arcsin z задается, как и для действительного переменного, формулой:

Arcsin z = (−1)k · arcsin z + πk.

Все значения этой функции определяются из выражения:
w = Arcsin z = −i Ln (iz + 1 − z2),	(A.46)

где и логарифм, и квадратный корень считаются многозначными функциями. Выбор той или иной ветви функции w = Arcsin z осуществляется выбором знака перед корнем и выбором соответствующей ветви логарифма.

Функция w = Arcsin z становится однозначной на бесконечнолистной поверхности Римана с разрезами вдоль действительной оси (−∞, −1] и [1, ∞), точки z = ±1, а также z = ∞ — это точки ветвления. Точки z = ±1 обусловлены наличием в (A.46) квадратного корня, а z = ∞

— логарифма (из iz + √1 − z2 = 0 следует z = ∞).

Понятно, что иллюстрацией тому, как осуществляется отображение функцией w = Arcsin z, могут служить рис. A.20–A.21, где следует лишь поменять местами комплексные плоскости Z и W.

Аналогичные выкладки можно проделать и для остальных функций. Приведем сводку

окончательных результатов.

i

Ln

1 − iz

,

Arcctg z =

i

Ln

iz + 1

Arccos z =

−

iLn (z + i 1

−

z2),

Arctg z =

,

2

iz − 1

2 1 + iz

(A.47)

Arsh z = Ln (z +

z2

+ 1), Arch z = Ln (z +

z2 − 1),

1

1

Arth z =

Ln

+ z

Arcth z =

1

Ln

z + 1

,

.

2

1

− z

2

z − 1

Для выделения однозначных ветвей проводятся разрезы в комплексной плоскости Z (можно сравнить с рис. A.20 – A.36):

для функции w = Arcsin z и w = Arccos z вдоль действительной оси (−∞, −1] и [1, ∞), для функции w = Arctg z — вдоль мнимой оси (−i ∞, −i] и [i, i ∞),

для функции w = Arcctg z — вдоль мнимой оси [−i, i],

для функции w = Arsh z — вдоль мнимой оси (−i ∞, −i] и [i, i ∞), для функции w = Arch z — вдоль действительной оси (−∞, 1],

для функции w = Arth z — вдоль действительной оси (−∞, −1] и [1, ∞), для функции w = Arcth z — вдоль действительной оси [−1, 1].

На отдельных листах своих римановых поверхностей перечисленные функции являются

однозначными аналитическими и имеют производные:
(Arcsin z) =	√	1					,	(Arccos z) = −		√			1		,	(Arctg z)	=		1				,	(Arcctg z) =			−		1	,
																				1 + z2								1 + z2
		1 − z				2							− z	2
											1
(Arsh z) =			√		1			, (Arch z) =	√			1		,		(Arth z) =			1			,		(Arcth z) =			1		.
																	1				2					2	− 1
				z	2	+ 1					z	2	− 1						− z						z

109

110

Литература

[1]А.Г.Свешников, А.Н.Тихонов. Теория функций комплексной переменной. М., "Наука", 1967 г., 304 стр.

[2]М.А.Лаврентьев и Б.В.Шабат. Методы теории функций комплексного переменного. М., "Наука", 1973 г., 736 стр.

[3]Э.Т.Уиттекер, Дж.Н.Ватсон. Курс современного анализа. Ч I. М., Физматгиз., 1962 г., 344 стр.

[4]В.А.Диткин и А.П.Прудников. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М., "Высшая школа", 1974 г., 544 стр.

[5]Л.И.Волковыский, Г.Л.Лунц, И.Г.Араманович. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М., "Наука", 1975 г., 320 стр.

111