1 tg z ,

Лекция 4

4.1Аналитическое продолжение.

4.1.1Продолжение с действительной оси.

Из теоремы единственности определения аналитической функции следует, что мы можем распространить с действительной оси на комплексную плоскость определения элементарных функций.

Рассмотрим на плоскости Z следующие степенные ряды:

∞

zn

(4.1)

n=0 n!

∞

z2n

n

(−1)n

(4.2)

=0

(2n)!

∞

z2n+1

n

(4.3)

(−1)n

(2n + 1)!

=0

∞

z2n

(4.4)

n=0 (2n)!

∞

z2n+1

n

(4.5)

=0 (2n + 1)!

При действительных значениях переменного z = x эти ряды совпадают с разложениями в ряд Тейлора функций ex, cos x, sin x, ch x, sh x соответственно.

Легко получить (по признаку Даламбера, например), что ряды (4.1 – 4.5) абсолютно сходятся на всей плоскости Z, таким образом, радиус их сходимости R = ∞. Суммы этих рядов обозначаем как ez , cos z, sin z, ch z, sh z соответственно. Это целые аналитические функции, являющиеся аналитическими продолжениями с действительной оси соответствующих элементарных функций действительного переменного x.

sin z

Далее аналогично можем продолжить на плоскость Z функции tg z = cos z , ctg z =

1

sec z = cos z и т.п. Эти функции уже не будут целыми, поскольку из области аналитичности исключаются точки, в которых знаменатели в определении этих функций обращаются в 0.

35

i = 1, 2, . . . , n — непрерывны по совокупности переменных. Частную производопределим, как обычно, как производную функции F по аргументу wi при условии,

Рассмотрим ряд

∞	( 1)n+1 (z − 1)n		,
	−			(4.6)
n=1		n

он сходится внутри круга |z −1| < 1 к некоторой аналитической функции f (z) и на интервале действительной оси x (0, 2) совпадает с разложением в ряд Тейлора функции f (x) = ln x. Поэтому сумму ряда (4.6) внутри указанного круга тоже обозначают как f (z) = ln z, аналитическое продолжение функции f (x) = ln x с действительной оси. Функция f (z) = ln z не является целой, так как ряд (4.6) сходится не на всей комплексной плоскости.

Можно заключить, что если функция f (x) действительного переменного x задана своим степенным рядом

	∞
f (x) =
	an(x − x0)n,	(4.7)

n=0

сходящимся на отрезке [a, b], то существует аналитическая функция f (z) комплексного переменного z, являющаяся аналитическим продолжением f (z) в комплексную область D, содержащую отрезок [a, b] действительной оси. Поэтому и функцию f (x) можно назвать аналитической. Поскольку она разложима в степенной ряд, то она бесконечно-дифференцируемая. Аналитическим продолжением f (n)(x) в область D будет f (n)(z).

4.1.2Продолжение соотношений.

Теорема единственности определения аналитической функции позволяет аналитически продолжить в комплексную область соотношения, которые существуют между соответствующими функциями действительного переменного.

Пусть дана функция F (w1, . . . , wn) — аналитическая по каждой wi и F (w1, . . . , wn) и

все ∂F , ∂wi

ную ∂F ∂wi

что все остальные аргументы зафиксированы.

Пусть также даны n функций fi(z), i = 1, 2, . . . , n, z D, причем fi(z) Gi.

Говорят, что все fi(z) удовлетворяют соотношению F (f1(z), . . . , fn(z)) = 0 на множестве M, если это соотношение удовлетворяется для всех z M.

Теорема 4.1 Если функции fi(z) аналитические в области D и отрезок действительной

оси [a, b] D, то из соотношения F (f1(x), . . . , fn(x)) = 0 x [a, b] следует

F (f1(z), . . . , fn(z)) = 0 z D.

Достаточно показать, что при условиях теоремы функция Φ(z) = F (f1(z), . . . , fn(z))

—аналитическая z D.

Функция F зависит от n переменных wi = fi(z),						i = 1, 2, . . . , n.
Фиксируем z	0 D	и обозначим w0 = f		(z0).
		i0	i	0	0		0	0	0
Найдем Φ(z0 − z) − Φ(z0) = F (w1			+	w1	, . . . , wn +		wn) − F (w1		, . . . , wn).

Так как существуют частные производные, непрерывные по совокупности переменных, то

		n	∂F			n
	Φ(z0 + z) − Φ(z0) =	i		(w10, . . . , wn0 )Δwi +
			∂wi
		=1				αi(Δw1, . . . , wn)Δwi,
						i=1
	где αi — бесконечно малые относительно всех				wj , следовательно, и относительно z, так
	как все wj = fj (z) — аналитические функции.

36

	Так что	ΔΦ(z0)		n
					∂F
	lim		=	i		(w0, . . . , w0 )f (z0),
	z→z0				1		n i
		z		=1 ∂wi

то есть существует производная Φ (z0), а так как z0 — произвольная, то всюду в D.

А отсюда и из следствия 1 теоремы единственности вытекает утверждение теоремы.

Примеры.

4.1 Покажем, что основное тригонометрическое тождество аналитически продолжается на всю комплексную плоскость — cos2 z + sin2 z = 1.

Введем функцию F (w1, w2) = w12 + w22 − 1 — аналитическую на всей плоскости W.

Ее частные производные ∂F = 2w1 и ∂F = 2w2 — непрерывны.

∂w1 ∂w2

Считаем, что f1(z) = cos z и f2(z) = sin z — аналитические на всей Z и принимающие

значения, принадлежащие всей W, поэтому F (f1(z), f2(z)) — аналитическая на всей Z, а так как

F (f1(x), f2(x)) = 0 ( x R) = F (f1(z), f2(z)) = 0 ( z Z)

4.2 Если при условиях теоремы:

f1(z) = f (z), f2(z) = f (z), . . . , fn+1(z) = f (n)(z), z D
и F (f (x), f (x, . . . , f (n)(x)) = 0, x [a, b] D,
то будет справедливо		.
F (f (z), f (z), . . . , f (n)(z)) = 0, z	D

Таким образом аналитическое продолжение в область D действительного решения дифференциального уравнения будет решением дифференциального уравнения, аналитически продолженного в область D.

Аналогично могут быть аналитически продолжены в комплексную область соотношения с несколькими независимыми действительными переменными.

Без доказательства примем теорему:

Теорема 4.2 Пусть wi(zi), (i = 1, 2, . . . , n) — аналитические функции от zi Di и пусть отрезки действительной оси [ai, bi] Di.

Пусть функция F (w1, . . . , wn) — аналитическая по каждой wi в области их изменения. Тогда

F (f1(x), . . . , fn(x)) = 0 (xi [ai, bi]) = F (f1(z), . . . , fn(z)) = 0 (zi Di).

Примеры.

4.3 Следующие соотношения справедливы и для комплексных переменных:

ez1+z2 = ez1ez2

ln z1z2 = ln z1 + ln z2

cos(z1 − z2) = cos z1 cos z2 + sin z1 sin z2.

37

4.1.3Аналитическое продолжение через границу.

Теорема 4.3 Пусть D1 — область в комплексной плоскости Z и D2 — тоже область в Z, причем D1 ∩ D2 = , а D1 ∩ D2 = Γ — кусочно–гладкая кривая.

Функция f1(z) аналитическая в D1, а функция f2(z) аналитическая в D2. Функция f1(z)

непрерывна в D1 Γ, а функция f2(z) непрерывна в D2 Γ, также f1(z) = f2(z), z Γ. Тогда функция

F (z) =	f2	(z)	z	D2	Γ
	f1	(z)	z	1	Γ
				D

—аналитическая в D1 D2.

По условию теоремы функция F (z) непрерывна в области D = D1 D2 Γ.

Тогда утверждение теоремы будет следовать из тео-

ремы Морера, если мы докажем, что C						F (ζ) dζ =	0,
где C — любой замкнутый контур, целиком лежащий
в D. Отдельно надо рассматривать лишь случай, когда
C = C1 + C2 : (C1 D1, C2 D2), пусть γ — часть Γ,
попадающая внутрь C.
Тогда
	F (ζ) dζ =	+	F (ζ) dζ +		F (ζ) dζ =
C		C1+γ		C2+γ−
Рис. 4.1:		=	+ f1(ζ) dζ +			f2(ζ) dζ = 0,
		C1+γ			C2+γ−
оба последних интеграла равны 0 по теореме Коши.

4.1.4Аналитическое продолжение при помощи степенных рядов.

Пусть f1(z) — аналитическая функция в области D1, возьмем z0 D1 и представим f (z) в окрестности точки z0 в виде степенного ряда

	∞	∞	f (n)(z0)
				(z − z0)n.
f1(z) =	cn(z − z0)n =	n=0	n!		(4.8)
	n=0

Возможны два случая.

1)Радиус сходимости R0 ряда (4.8) не превосходит расстояния от точки z0 до границы C1 области D1 — тогда ничего нового нет.

2)Противоположный случай. Тогда круг |z−z)| < R0 — обозначим его через D2 — частично

выходит за пределы области D1, имея с ней общую часть. В области D2 сходящийся ряд в правой части (4.8) определит аналитическую функцию f2(z), совпадающую с f1(z) в D1 ∩D2, таким образом, f2(z) является аналитическим продолжением f1(z) из D1 в D2.

В области D1 D2 тем самым определена аналитическая функция:

F (z) =	f2	(z),	z	D2.	(4.9)
	f1	(z),	z	1

D

38

всю плоскость Z будет функция F (z) =

Далее можно взять точку z1 в D2, не принадлежащую D1, и продолжить этот процесс по цепочке областей.

Рассмотрим подобный процесс на примере.

Пример.

4.4 Пусть изначально функция f1(z) задается своим степенным рядом

∞

f1(z) =

zn

(4.10)

n=0

Этот ряд внутри круга |z| < 1 сходится и легко

суммируется: f1(z)

=

1

. Вне указанного круга

1 − z

данный ряд расходится. Возьмем внутри этого кру-

га точку z0, не лежащую на действительной оси, и

построим разложение аналитической функции f1(z)

∞

в степенной ряд

cn(z − z0)n. Коэффициенты cn

равны:

n=0

1

cn =

f

(n)(z0)

=

n!

(1 − z0)n+1

Радиус сходимости этого ряда равен |1−z0|, а круг

сходимости выйдет за пределы первоначального

Рис. 4.2:

|z| < 1. Следовательно, функция

f2(z) =

∞

(z − z0)n

(1

−

z0)n+1

n=0

аналитически продолжает f1(z) на область |z −z0| < |1 −z0|. Этот степенной ряд также легко суммируется и

1

1

1

f2(z) =

·

=

1 − z0

1

z − z0

1 − z

.

− 1 − z0

Взяв новый центр разложения z1 внутри круга

|z − z0| < |1 − z0|, получим ряд

∞

(z − z1)n

,

(1

−

z1)n+1

n=0

1

сходящийся внутри круга |z − z1| < |1 − z1| к функции f3(z) = 1 − z , совпадающей с f2(z) в

общей части кругов сходимости и являющейся аналитическим продолжением функций f2(z) и f1(z). Видим, что границы всех областей сходимости полученных рядов проходят через точку z = 1. Продолжая такой процесс, можно аналитически продолжить функцию f1(z) на всю комплексную плоскость за исключением точки z = 1. Аналитическим продолжением на

1 , определенная и аналитическая всюду, кроме

1 − z

точки z = 1, которая является особой для данной функции.

39