Лекция 3

3.1Ряды с комплексными членами.

Обобщим понятие ряда на множество комплексных чисел. Точно так же, как для действительных чисел, будем называть числовым рядом выражение вида:

∞

an,

(3.1)

n=1

где {an} (an C) — заданная последовательность комплексных чисел; n-ой частичной суммой ряда (3.1) сумму:

	n
Sn =		(3.2)
	ak,

k=1

{Sn} — последовательность частичных сумм, если она сходится к конечному пределу:

lim Sn = S,	(3.3)
n→∞
то ряд (3.1) сходится, а S называется его суммой.
n-ым остатком ряда (3.1) назовем ряд:
∞
k	(3.4)
ak,
=n+1
если (3.4) сходится, то он обозначается через rn, и для сходящегося (3.1) имеем —	lim rn = 0.
	n→∞

Необходимым и достаточным условием сходимости ряда (3.1) является критерий Коши, который формулируется точно так же, как и для действительных рядов. Из него так же

вытекает необходимое условие (признак) сходимости ряда (3.1):
lim an = 0.	(3.5)
n→∞
Если знакоположительный ряд, составленный из модулей членов ряда (3.1):
∞
	(3.6)
|an|

n=1

сходится, то ряд (3.1) сходится абсолютно.

25

В качестве достаточных признаков абсолютной сходимости (3.1) применимы признаки Даламбера и Коши:

lim			an+1				= q < 1	(3.7)
				an
n→∞
lim		n		a	n		= q < 1	(3.8)
n	→∞
		|				|

3.2Функциональные ряды.

Назовем функциональным ряд:

∞
un(z),	(3.9)

n=1

где {un(z)} — бесконечная последовательность однозначных функций комплексного переменного z с общей областью определения D. Для z0 D функциональный ряд (3.9) превращается в числовой (3.1).

Определение 3.1 Ряд (3.9) называется сходящимся в области D, если для любого z D соответствующий числовой ряд сходится.

Если ряд (3.9) сходится в D, то можно определить в области D однозначную функцию f (z) такую, что:

∞
f (z) = un(z),			(3.10)
n=1
и определение сходимости ряда (3.9) в области D можно записать символически:
z D, ε > 0 N (ε, z) : n N (ε, z) =		n	< ε
		f (z) − k=1 uk(z)

Определение 3.2 Ряд (3.9) называется равномерно сходящимся в области D, если для любого ε > 0 найдется такой номер N (ε), начиная с которого модуль n-го остатка ряда станет меньше ε сразу для всех z D.

Иначе говоря:

ε > 0 N (ε) : n N (ε) и z D =		n	< ε или |rn(z)| < ε.
		f (z) − k=1 un(z)
Справедливы следующие теоремы:

Теорема 3.1 (Критерий Коши равномерной сходимости ряда.) Ряд (3.9) равномерно сходится в области D тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 найдется такой номер N (ε), что при n N (ε) и любом натуральном p сразу для всех z D будет выполняться неравенство: |Sn+p − Sn| < ε.

Теорема 3.2 (Признак Вейерштрасса.) Если найдется такая последовательность чи-

∞

сел {an}, что для любого z D будет выполняться неравенство |un(z)| |an| и ряд |an|

n=1

— сходится, то ряд (3.9) — сходится равномерно.

Признак Вейерштрасса является лишь достаточным. Обе приведенные теоремы доказываются совершенно так же, как и для действительных рядов.

26

3.3Свойства равномерно сходящихся рядов.

Теорема 3.3 Если функции un(z) — непрерывны в области D, а ряд (3.9) равномерно сходится в D к функции f (z), то функция f (z) непрерывна в D.

	Возьмем z D и z +	z D, оценим |f (z +	z) − f (z)|.
	Из равномерной сходимости ряда имеем:
		N		<	ε			N	<	ε
	ε > 0 N (ε) : f (z + z) − k=1 uk(z +		z)			и		f (z) − k=1 uk(z)			;
					3					3

а так как un(z) — непрерывны в D, то z

δ(ε, N ) > 0 : | z| < δ =		N
		k=1 uk(z +
но тогда получаем:

D для выбранных значений ε и N :

	N		N		ε
	z) − k=1 uk(z)	k=1 |uk(z +		z) − uk(z)| <		;
					3

|f (z + z) − f (z)| =

=	N	N	N	N
	f (z + z) − k=1 uk(z + z) + k=1 uk(z + z) − k=1 uk(z) + k=1 uk(z) − f (z)
	N	N	N	N

	f (z + z) − k=1 uk(z + z)		+		k=1 uk(z + z) − k=1 uk(z)			+		f (z) − k=1 uk(z)	< ε.

∞

Теорема 3.4 Если функции un(z) — непрерывны в D, а ряд un(z) — сходится равномерно

n=1

∞

в D и f (z) = un(z), то

n=1

∞

	f (ζ) dζ =	un(ζ) dζ,	(3.11)
Γ	n=1 Γ

где Γ — кусочно-гладкая кривая и Γ D.

Так как ряд сходится равномерно, то:

ζ D N : n N = |rn(ζ)| < Lε , где L — длина Γ.

Но тогда получаем оценку:

		N								|rn(ζ)| ds < ε.
		f (ζ) dζ − k=1		uk(ζ) dζ	=			rn(ζ) dζ
	Γ		Γ				Γ			Γ

27

Теорема 3.5 (1-ая теорема Вейерштрасса.) Пусть функции un(z) — аналитические в

				∞							∞
области D, ряд n=1 un(z) — сходится равномерно в									D		D и f (z) = n=1 un(z), тогда
1)	функция		f (z) — аналитическая в области					,
							D
2)	ее n-я производная f (n)(z) = ∞ un(n)(z),
		∞ (n)		n
				=1
3)	ряд	=1 un		— сходится равномерно в			D.
					D
		n

1) Возьмем z0 D и односвязную подобласть D1 D так, чтобы z0 D1. В силу теоремы 3.3 f (z) непрерывна в D1, возьмем произвольный кусочно-гладкий контур Γ D1, по теореме 3.4 и теореме Коши имеем:

∞

f (ζ) dζ = un(ζ) dζ = 0.

Γn=1 Γ

Видим, что выполнены все условия теоремы Морера, поэтому f (z) — аналитическая в окрестности D1 точки z0. В силу произвольности выбора z0 функция f (z) — аналитическая

в области D.	∞	n
Тогда и rn(z) =	uk(z) = f (z) −	uk(z) — аналитическая функция в D как сумма

k=n+1

k=1

конечного числа аналитических функций.

2) Возьмем z0 D и любой контур Γ D, так чтобы z0

Ясно, что min |z − z0| = d > 0.

z Γ

Построим ряд:

	f (z)			∞		un(z)
			=
(z	−	z0)k+1			(z	−	z0)k+1
				n=1

оказалась внутри Γ.

,

который сходится на Γ равномерно (знаменатели справа ограничены снизу), поэтому его можно почленно интегрировать. Тогда, учитывая (2.26), получим — с одной стороны:

∞			un(z)
n=1
		(z	−	z0)k+1
	Γ
с другой:			f (z)
	Γ
		(z − z0)k+1

∞ 2πi

dz = n=1 k! u(nk)(z0)

dz = 2πi f (k)(z0) k!

Поэтому:

	∞
f (k)(z0) =	un(k)(z0)
	n=1

3) Возьмем z D и проведем кусочно-гладкий контур Γ D, но не имеющий общих точек с D , так что D внутри Γ.

28