n=1

un(z) — сходится равномерно и в D.

Понятно, что min |z − ζ| = d > 0.

ζ Γ

z D

∞

Так как остаток ряда un(z) — rn(z) — аналитическая функция в D, тоn=1

k!

Γ

rn(ζ)

z D rn(k)(z) =

dζ;

2πi

(ζ − z)k+1

по только что доказанному rn(k)(z) — n-ый остаток ря-

да

∞ un(k)(z).

=1

∞

n

un(z) следует:

Из равномерной сходимости

=1

n

ζ Γ и ε > 0

N : n N =

Рис. 3.1:

= |rn(ζ)| < ε ·

2πdk+1

— где L — длина Γ,

k!L

тогда:

k!

rn(ζ)

|rn(k) (z)|

Γ

| |

ds < ε.

2π

|ζ − z|k+1

Теорема 3.6 (2-ая теорема Вейерштрасса.) Пусть функции un(z) — аналитические в

∞

области D и непрерывные в D, а также ряд un(z) сходится равномерно на границе C

области D.∞ Тогда ряд

n=1

Разность частичных сумм данного ряда вида Sn+p(z)−Sn(z) — является аналитической функцией в области D и непрерывной в D как конечная сумма аналитических функций.

Из равномерной сходимости ряда на границе области следует:

ε > 0 N (ε) : p N и ζ C из n N (ε) =

= |Sn+p(ζ) − Sn(ζ)| = |un+p(ζ) + un+p−1(ζ) + . . . + un(ζ)| < ε.

Но по теореме о максимуме модуля аналитической функции тогда сразу получим:

|Sn+p(z) − Sn(z)| |Sn+p(ζ) − Sn(ζ)| < ε для z D

3.4 Степенные ряды.

Определение 3.3 Функциональные ряды вида:

∞
cn(z − z0)n,	(3.12)

n=0

где cn— комплексные числа, называются степенными.

29

Очевидно, что ряд (3.12) всегда сходится хотя бы в одной точке z = z0.

Теорема 3.7 (Теорема Абеля.) Если ряд (3.12) сходится в некоторой точке z1 = z0, то он абсолютно сходится и в любой точке z, удовлетворяющей неравенству |z −z0| < |z1 −z0|, причем в круге |z − z0| ρ, где ρ < |z1 − z0|, ряд сходится равномерно.

Выберем z так, чтобы |z − z0| < |z1 − z0|, при выполнении условий теоремы мы можем ввести в рассмотрение действительное число q (0, 1), такое что |z − z0| = q|z1 − z0|.

∞

n

— сходится, то по необходимому признаку cn(z − z0)

n

Так как ряд n=0 cn(z1 − z0)

→ 0, то

есть

{

cn(z

−

z0)n — ограниченная, что означает:

M : cn

z1

−

z0

n

M .

}

M

|

||

|

Отсюда |cn|

и имеем цепочку неравенств:

|z − z0|n

∞ c

(z

z

)n

∞ c z

z

n

M

∞

z − z0

n

= M

∞ qn,

n=0

−

0

|

z1 − z0

n=0

n

0

n=0 | n|| −

n=0

последний ряд — это сходящаяся геометрическая прогрессия, так как q < 1, поэтому исходный ряд сходится абсолютно.

Для доказательства равномерной сходимости исходного ряда в области:

|z − z0| ρ < |z1 − z0| — достаточно построить сходящийся мажорирующий ряд:

∞	|		ρn		|
			−			и воспользоваться признаком Вейерштрасса.
M		z1		z0	n

n=0

Из теоремы Абеля выводятся важные следствия, подобные известным для действительных рядов.

Следствие 1. Если ряд (3.12) расходится в точке z = z1, то он расходится во всех точках

z таких, что |z − z0| > |z1 − z0|.

Иначе получаем противоречие с теоремой Абеля.

Следствие 2. Для всякого степенного ряда R такое, что при |z − z0| < R — ряд сходится,

а при z

−

z

0|

> R

— ряд расходится. В

зависимости от коэффициентов ряда: 0

R

∞

.

|

n

Пример ряда с

R =

∞

(z − z0)

, — с

R = 0

∞ n!(z

−

z

)n

.

∞ — n=0

n!

— n=0

0

Следствие 3. Внутри

круга сходимости степенной ряд сходится к аналитической функции.

Так как его члены — аналитические функции на всей комплексной плоскости, ряд сходится равномерно в любой замкнутой подобласти круга сходимости, то по I теореме Вейерштрасса сумма ряда — аналитическая функция.

Следствие 4. Степенной ряд можно интегрировать и дифференцировать любое число раз внутри круга сходимости, причем радиусы сходимости полученных рядов будут равны радиусу сходимости исходного ряда.

Следствие 5. Коэффициенты сходящегося к функции f (z) ряда (3.12) могут быть полу-

чены по формуле:

cn = n1! f (n)(z0).

Доказательство точно такое же, как и для действительных рядов. Следствие 6. Для радиуса сходимости может быть получена формула:

1

l = lim

lim

cn+1

,

n

,

R = l

где

|cn|

или

|

|cn|

n→∞

l = n→∞

|

если такие пределы существуют.

30

Пример.

3.1 Рассмотрим ряд:

∞
	(z − z0)n,	(3.13)

n=0

по признаку Даламбера он сходится в круге: |z − z0| < 1. Далее найдем его сумму f (z) прямым сумммированием:

Sn = 1 + (z − z0) + (z − z0)2 + . . . + (z − z))n,

(z − z0)Sn = (z − z0) + (z − z0)2 + . . . + (z − z0)n+1.

Вычитая из первого равенства второе и произведя остальные операции, легко получить:

	f (z) = lim Sn =	lim	1 − (z − z0)n+1	=	1	.	(3.14)
			1 − (z − z0)		1 − (z − z0)
	n→∞	n→∞

3.5Ряд Тейлора.

Теорема 3.8 (Теорема Тейлора.) Функция f (z), аналитическая внутри круга |z−z0| < R может быть единственным образом представлена в нем сходящимся рядом:

∞
f (z) = cn(z − z0)n.	(3.15)

n=0

Возьмем в круге радиуса R с центром в z0 произвольную точку z. Построим концентрическую окружность Cρ ради-

уса ρ < R, чтобы точка z была внутри Cρ. Так как f (z) — аналитическая всюду внутри круга радиуса R, то по формуле Коши имеем:

1

f (ζ)

f (z) =

dζ.

2πi

ζ

−

z

Cρ

Далее, используя результат (3.14), можем предста-

вить подынтегральную дробь в виде:

1

=

1

=

1 ∞

z − z0

n,

ζ − z

(ζ

z0)

1 z − z0

ζ

Рис. 3.2:

− z0 n=0 ζ − z0

−

−

ζ − z0

z − z0

где использовано неравенство:

< 1

, полу-

ζ − z0

ченный ряд равномерно сходится

по признаку

Вейерштрасса при ζ

Cρ, так как числовой

ряд: ∞

|z − z0|n

— сходится. Поэтому далее легко получить:

n=0

ρn

1

f (ζ)

∞

z

z )n

f (z) =

(

− 0

dζ =

2πi

ζ

−

z0 n=0

(ζ

z)n

Cρ

−

∞

1

(ζ)

= n=0

f

dζ

2πi

(ζ

z0)n+1

Cρ

−

∞

(z − z0)n = cn(z − z0)n,

n=0

31

в этих формулах Cρ можно заменить на любой замкнутый контур Γ, лежащий внутри CR и содержащий z0 внутри себя. Таким образом, полученный ряд сходится к f (z) всюду внутри

|z − z0| < R, причем в |z − z0| ρ < R — равномерно. Коэффициенты ряда определяются формулами:

	1		(ζ)		f (n)(z	)
cn =		Γ	f	dζ =	0		.	(3.16)
	2πi		(ζ − z0)n+1		n!

Поскольку, исходя из этих выражений, коэффициенты вычисляются вполне определенным образом, мы имеем единственность разложения вида (3.15), которое называется разложением Тейлора функции f (z) или рядом Тейлора функции f (z).

Как понятно из доказательства, радиус сходимости ряда Тейлора не менее расстояния от точки разложения до границы области аналитичности функции f (z).

Доказанная теорема показывает эквивалентность понятия аналитической функции как функции, бесконечное число раз дифференцируемой в некоторой области, и функции, представимой в виде сходящегося степенного ряда.

3.6Единственность определения аналитической функции.

Пусть функция f (z) — аналитическая в области D.

Определение 3.4 Точка z0 D называется нулем функции f (z), если f (z0) = 0.

∞

Так как f (z) — аналитическая, то f (z) = cn(z − z0)n, если z0 — нуль функции f (z), то

n=0

∞

c0 = 0 и f (z) = (z − z0) cn+1(z − z0)n.

n=0

Определение 3.5 Точка z0 D называется нулем k-го порядка f (z), если c0 = c1 = . . . = ck−1 = 0, а ck = 0.

∞

Тогда f (z) = (z −z0)k cn+k(z −z0)n = (z −z0)kϕ(z), где ϕ(z) — аналитическая функция,

n=0

∞

причем ϕ(z) = cn+k(z − z0)n и ϕ(z0) = 0.

n=0

Теорема 3.9 Пусть функция f (z) — аналитическая в области D, имеет в ней различающиеся между собой нули zn, n = 1, 2, . . . Если {zn} → a D, то f (z) ≡ 0 в D.

Запишем разложение функции f (z) в степенной ряд в точке a:

∞

f (z) = cn(z − a)n,

n=0

радиус сходимости которого R0 не меньше расстояния от a до границы области D. Из непре-

рывности f (z) следует f (a) = 0 = c0 = 0 = f (z) = (z − a)f1(z), где f1(z) =

∞

cn+1(z − a)n.

n=0

32

Считаем, что все zn = a	= f1(zn) = 0 = f1(a) = 0 по непрерывности = c1 = 0 и
так далее до бесконечности	= f (z) ≡ 0 в |z − a| < R0.

Далее достаточно показать, что f (˜z) = 0, где z˜ — любая точка области D. Это осуществляется аналогично тому, как то делалось при доказательстве принципа максимума модуля

аналитической функции.
	Соединяем точки a и z˜ спрямляемой (то есть име-
	ющей определенную длину) кривой L, все точки ко-
	торой отстоят от границы области не менее, чем на d.
	Обозначим a1 точку пересечения кривой L и окруж-
	ности |z − a| = R0. Мы можем считать a1 предель-
	ной точкой последовательности нулей функции f (z)
	(всегда можем построить такую последовательность
	из внутренних точек круга |z − a| < R0). Проведем
	окружность с центром в a1 радиуса R1 d такого,
	чтобы функция f (z) могла быть разложена в точке
	a1 в степенной ряд, сходящийся внутри этого круга
	(то есть круг должен быть целиком в области анали-
	тичности f (z)). Повторяя доказательство теоремы от
Рис. 3.3:	начала, покажем, что f (z) ≡ 0 в |z − a1| < R1.

Продолжая этот процесс, мы за конечное число шагов (поскольку все Ri d и длина L конечна) покроем очередным кругом точку z˜, что и докажет утверждение теоремы.

Следствие 1. Функция f (z) ≡ 0 и аналитическая в области D в любой замкнутой подобласти D D имеет лишь конечное число нулей.

Действительно, если нулей бесконечное множество и оно ограничено, то из него можно будет выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке D , а по только что доказанному тогда f (z) ≡ 0 в D , что противоречит условию.

Следствие 2. Аналитическая функция f (z) ≡ 0 может иметь бесконечное множество нулей лишь в открытой области или неограниченной области.

Определение 3.6 Функция комплексного переменного, аналитическая на всей комплексной плоскости (z = ∞), называется целой функцией.

Целая функция в любой ограниченной части комплексной плоскости может иметь только конечное число нулей. Их можно перенумеровать по какому-либо принципу.

Целая функция на полной комплексной плоскости может иметь лишь счетное множество нулей, и предельной точкой такого множества является бесконечно удаленная точка z = ∞.

Теорема 3.10 (О единственности определения аналитической функции.) Пусть функции f (z) и g(z) — аналитические в области D. Если в области D существует последовательность {zn}, все элементы которой различны и f (zn) = g(zn), а также

lim zn = a D, то f (z) ≡ g(z) всюду в D.

n→∞

Последовательность {zn} является последовательностью нулей функции f (z) − g(z), поэтому по предыдущей теореме f (z) − g(z) ≡ 0 всюду в D.

Следствие 1. Если функции f1(z) и f2(z), аналитические в области D, совпадают на кривой L D, то f1(z) = f2(z) в D.

Следствие 2. Если функция f1(z) аналитическая в D1, а f2(z) аналитическая в D2,

D1 ∩ D2 = D, и f1(z) = f2(z) в D, то в D1 D2 существует единственная аналитическая

33

функция F (z) такая, что:

F (z) ≡	f2	(z)	в	D2
	f1	(z)	в	1

D

Теорема единственности и ее следствия могут быть сформулированы иначе:

1)Пусть в области D выбрана последовательность разных точек {zn} → a D. Тогда в D может существовать единственная аналитическая функция f (z), принимающая в zn заданные значения.

2)Пусть в области D выбрана кривая L D. Тогда в D может существовать единственная аналитическая функция f (z), принимающая на L заданные значения.

3)Пусть в области D выбрана подобласть D D. Тогда в D может существовать единственная аналитическая функция f (z), принимающая в D заданные значения.

Определение 3.7 Если в области D существует такая аналитическая функция f (z), что f (z) = f (ζ) для z = ζ, где

{ζn} D,

ζ L D,

D D,

то она называется аналитическим продолжением функции f (ζ) в область D с множества {ζn}, линии L или подобласти D .

Элементарные функции комплексного переменного являются аналитическим продолжением соответствующих элементарных функций действительного переменного с действительной оси в комплексную плоскость.

34