По определению (7.2) имеем

	∞			1
	0
		e−ptdt =				.
					p
	Таким образом, получим	1
	H(t)		,	Re p > 0.			(7.7)
		p

2) Найдем изображение Лапласа экспоненциальной функции f (t) = eαt, причем считаем, что α — комплексная величина.

∞			∞	1
0	eαte−pt dt = 0
				e−(p−α)t dt =		.
					p − α
Таким образом		1
	eαt		,	Re p > Re α.			(7.8)
		p − α

3) Найдем изображение Лапласа степенной функции f (t) = tn, считая, что n — целое неотрицательное число.

Сначала произведем вычисления для действительных p = x > 0:

					∞	1		∞		n!
					0			0
						e−xttn dt =			e−ssn ds =		,
							xn+1			xn+1
	где t =	s	, dt =	ds	, и так как функция F (p) = ∞e−pttn dt — аналитическая в области
		x		x
								0
	Re p > 0		и совпадает на действительной оси с найденным значением, то она единственным

способом аналитически продолжается с действительной оси в указанную область, таким образом

		∞				n!
	F (p) = 0		e−pttn dt =
							.
						pn+1
	Окончательно имеем	n!
	tn			,	Re p > 0.			(7.9)
		pn+1

Отметим, что в (7.8–7.9) левая часть уравнений фактически умножается на функцию Хевисайда H(t), как и во всех остальных аналогичных формулах ниже, о чем надо помнить, производя обратный переход от изображения Лапласа к его оригиналу.

Можно таким образом продолжать находить изображения Лапласа для конкретных элементарных функций, но лучше при этом использовать общие свойства преобразования Лапласа, к рассмотрению которых сейчас переходим.

7.3Свойства преобразования Лапласа.

7.3.1Свойство линейности.

Данное свойство непосредственно вытекает из свойства линейности интегралов.

63

f (αt) α1 F αp , α > 0, Re p > a.

Действительно, пусть мы имеем

Fi(p) fi(t), Re p > ai

(i = 1, 2, . . . , n),

где ai — показатель степени роста функции fi(t).

Тогда из (7.2) легко получить

n

n

i

F (p) =

αiFi(p)

αifi(t),

Re p > max ai.

(7.10)

=1

i=1

Примеры.

7.1

1

1

1

1

p

cos ωt =

(ei ωt + e−i ωt)

+

=

,

Re p > |Im ω|.

2

2

p − i ω

p + i ω

p2 + ω2

7.2

p − i ω − p + i ω

2i

−

2

p2

+ ω2

|

|

sin ωt =

1

(ei ωt

e−i ωt)

−i

1

1

=

ω

, Re p >

Im ω .

7.3

1

1

1

1

p

ch αt =

(eαt + e−αt)

+

=

,

Re p > |Re α|.

2

2

p − α

p + α

p2 − α2

7.4

1

1

1

1

α

(eαt − eαt)

=

sh αt =

−

,

Re p > |Re α|.

2

2

p − α

p + α

p2 − α2

7.3.2Теорема подобия.

Пусть F (p) f (t), Re p > a.

Тогда

(7.11)

∞∞

e−ptf (αt) dt = α1 e−αp τ f (τ ) dτ = α1 F ( αp ),

0

0

где τ = αt.

7.3.3Теорема запаздывания.

Пусть F (p) f (t), Re p > a, а также определена функция

fτ (t) =	f (t τ ),	t τ.	τ > 0,	(7.12)
	0,	t < τ,

−

Очевидно, что график функции fτ (t) сдвинут относительно графика функции f (t) вправо на расстояние τ , если t — время, то это соответствует запаздыванию на время τ.

64

	Тогда	f (t − τ ) ≡ f (t − τ )H(t − τ ) e−pτ F (p).			(7.13)
	∞	∞	∞
	Fτ (p) = 0	e−ptfτ (t) dt = τ	e−ptf (t − τ ) dt = 0	e−p(t˜+τ )f (t˜) dt˜ = e−pτ F (p),
		˜
	где произведена замена: t − τ = t.

7.3.4 Теорема смещения.

Пусть f (t) F (p), Re p > a.

Тогда для любого комплексного λ будет справедливо

e−λtf (t)		F (p + λ), Re p > a	−	Re λ.	(7.14)

Функция e−λtf (t) удовлетворяет условиям существования изображения Лапласа в области Re p > a − Re λ, поэтому

∞∞

e−λtf (t) e−pte−λtf (t) dt = e−(p+λ)tf (t) dt = F (p + λ).

0 0

Следствия.

1 teαt (p − α)2 ,

tneαt n! ,

(p − α)n+1

ω

e−αt sin ωt (p + α)2 + ω2 ,

p + α e−αt cos ωt (p + α)2 + ω2 ,

Re p > Re α.

Re p > Re α.

Re p > |Im ω| − Re α.

Re p > |Im ω| − Re α.

(7.15)

(7.16)

(7.17)

(7.18)

7.3.5Дифференцирование оригинала.

Если у f (t) существует изображение Лапласа и f (t) F (p), Re p > a, то
	f (t) pF (p) − f (0),				Re p > a.	(7.19)
				∞
∞			∞
f (t)
	e−ptf (t) dt = e−ptf (t)		0 +p		e−ptf (t) dt = pF (p) − f (0).
0				0
Можно обобщить полученный результат на случай высших производных.
Если f (n)(t) имеет изображение Лапласа, то
f (n) pnF (p) − pn−1f (0) − pn−2f (0) − . . . − f (n−1)(0), Re p > a.						(7.20)
Если f (0) = f (0) = . . . = f (n−1)(0) = 0, то
	f (n)(t) pnF (p),				Re p > a.	(7.21)

65

7.3.6Интегрирование оригинала.

Если f (t) F (p), Re p > a, то

0	t	1
		f (τ ) dτ p F (p),	Re p > a.	(7.22)

t

Обозначим ϕ(t) = f (τ ) dτ , легко убедиться, что ϕ(t) = 0 при t < 0, ϕ(t) — непре-

рывна и			0
			t		t		t
|ϕ(t)|						|f (τ )| dτ			(eat − 1).
			f (τ ) dτ				M eaτ dτ = a
		0			0		0	M

Таким образом, выполняются условия существования изображения Лапласа, пусть
ϕ(t) F˜(p), кроме того, ϕ (t) = f (t), поэтому f (t) pF˜(p) − ϕ(0) = pF˜(p), так как ϕ(0) = 0.
˜	1	F (p).
Отсюда F (p) =	p
Полученный результат легко обобщается на случай кратного интеграла:
			t	t1	tn−1		1
	0		dt1	0	dt2 . . . 0	f (tn) dtn		F (p),	Re p > a.	(7.23)
							pn

7.3.7Дифференцирование изображения.

Пусть F (p) f (t), Re p > a.
Тогда	−	tf (t), Re p > a.
F (p)			(7.24)

По теореме 7.2 функция F (p) — аналитическая в области Re p > a, и ее производная находится формальным дифференцированием подынтегральной функции. Так что получаем

∞

F (p) = 0

e−pt(−t)f (t) dt −tf (t), Re p > a,

поскольку умножение на t не влияет на степень роста функции f (t).

Аналогично легко получить следующий результат:

F (n)(p) (−1)ntnf (t), Re p > a.

(7.25)

Примеры.

7.5

1

1

teαt, Re p > Re α.

=

−

(p − α)2

p − α

Этот результат получен ранее (7.15) иным способом.

7.6

(p2 + ω2)2 = −2

p2 + ω2

2 sin ωt, Re p > |Im ω|.

pω

1

ω

t

66