Лекция 5

5.1Ряд Лорана.

Рассмотрим ряд вида:

∞
cn(z − z0)n,	(5.1)

n=−∞

где z0 Z, cn Z. Такой ряд носит название ряда Лорана. Найдем область сходимости этого ряда, можем представить его в виде:

∞		n	∞	n	∞	c−n
n=	−∞	cn(z − z0)	= n=0 cn(z − z0)		+ n=1	(z − z0)n	(5.2)

Первый ряд справа — это обыкновенный степенной ряд, который имеет некоторый радиус сходимости R1 (пусть 0 < R1 < ∞) и который внутри своего круга сходимости имеет своей суммой некоторую аналитическую функцию f1(z):

	∞
f1(z) =	cn(z − z0)n, |z − z0| < R1.	(5.3)

n=0

Во второй ряд введем новую переменную: ζ = 1/(z − z0), тогда он обратится в обычный степенной, сходящийся внутри круга своей сходимости к некоторой аналитической функции:

ϕ(ζ) =	∞	n	,	|ζ| < ρ2, где ρ2 — его радиус сходимости (0 < ρ2 < ∞). Получим, что:
	=1 c−nζ
	n			∞		c−n
								,	|z − z0| > R2,	(5.4)
						−	z0)n
				f2(z) = ϕ(ζ(z)) = n=1 (z

где R2 = 1/ρ2.

Если R2 < R1, то существует общая область сходимости рядов (5.3) и (5.4) — круговое кольцо R2 < |z − z0| < R1 и существует сумма ряда (5.1):

	∞
f (z) = f1(z) + f2(z) =	cn(z − z0)n, R2 < |z − z0| < R1,	(5.5)

n=−∞

то есть внутри кольца сходимости ряд Лорана сходится к функции f (z), аналитической в данном кольце.

Ряд (5.3) — называется правильной, а ряд (5.4) — главной частью разложения функции f (z) в ряд Лорана.

43

Если R2 > R1, то ряд (5.1) расходится.

Ответ на обратный вопрос — можно ли сопоставить функции, аналитической в кольцевой области, некоторый ряд Лорана — дает следующая теорема.

Теорема 5.1 (Теорема Лорана.) Функция f (z), аналитическая в кольце R2 < |z − z0| < R1, однозначно представляется в этом кольце сходящимся к ней рядом Лорана.

Возьмем внутри кольца R2 < |z−z0| < R1 произвольную точку z и проведем окружности Cρ1 и Cρ2 с центром в z0, радиусы которых ρ1 и ρ2 удовлетворяют неравенствам:

R2 < ρ2 < ρ1 < R1 и ρ2 < |z − z0| < ρ1 (рис. 5.1).

Запишем формулу Коши для многосвязной области:

1

f (ζ)

f (ζ)

f (z) =

dζ +

dζ.

(5.6)

2πi

ζ − z

ζ − z

Cρ1

Cρ−2

C

z − z0

q < 1

На

справедливо ζ − z0

, поэтому:

ρ1

1

=

1

=

ζ − z

(ζ − z0) − (z − z0)

∞

=

1

1

=

1

z − z0

n,

ζ

− z0 · 1

−

z − z0

ζ

− z0 n=0

ζ − z0

ζ − z0

Рис. 5.1:

ряд равномерно сходится, его можно почленно про-

интегрировать, что даст:

1

f (ζ)

∞

f1(z) =

dζ

= n=0 cn(z − z0)n,

(5.7)

2πi

ζ

−

z

Cρ1

где обозначено

1

f (ζ)

cn =

dζ,

n 0.

(5.8)

2πi

(ζ

−

z0)n+1

Cρ1

C

выполняется

ζ − z0

< 1

и далее

Аналогично на ρ2

z − z0

1

1

∞

ζ

−

z

0

n

=

.

ζ − z

−z − z0 n=0 z − z0

Почленно интегрируя, получим

1

f (ζ)

∞

c

n

f2(z) =

dζ

= n=1

−

,

(5.9)

2πi

ζ

−

z

(z

z0)n

Cρ2

−

где

f (ζ)

1

1

c−n = −

f (ζ)(ζ

− z0)n−1 dζ =

dζ,

n > 0.

(5.10)

2πi

2πi

(ζ − z0)−n+1

Cρ−2

Cρ2

44