1.5Аналитические функции.

Пусть однозначная функция w = f (z) определена в δ-окрестности точки z.
Определение 1.7 Если существует конечный предел
lim	f (z +	z) − f (z)	= f (z)	(1.11)
z→0		z

то функция f(z) называется дифференцируемой в точке z или аналитической в окрестности точки z. Сам предел называется производной функции f (z) в точке z.

Теорема 1.2 Пусть однозначная функция f (z) = u(x, y)+ i v(x, y) определена в δ-окрестнос- ти точки z = x + i y и в точке (x, y) функции u(x, y) и v(x, y) непрерывно-дифференцируемы. Тогда

			∂u			∂v
				= ∂y
f (z)—дифференцируема в точке z			∂x						в точке (x, y)	(1.12)
			∂u	=	−		∂v
			∂y				∂x

Выражения в правой части (1.12) называются условиями Коши—Римана.

Необходимость.

Существует

f (z) = lim

f (z +

z) + f (z)

z

z→0

Положим

z = s + i t, вышеприведенный предел должен существовать при любом пути

стремления

z −→ 0.

Сначала положим t = 0, тогда

f (z) = lim

f (z + s) − f (z)

= lim

u(x + s, y) − u(x, y) + i (v(x + s, y) − v(x, y))

=

∂u

+ i

∂v

∂x

s→0

s

s→0

s

∂x

Сейчас пусть s = 0, тогда

f

(z) = lim

f (z + i t) − f (z)

= lim

u(x, y + t) − u(x, y) + i (v(x, y + t) − v(x, y))

=

−

i

∂u

+

∂v

∂y

∂y

t 0

i t

t 0

i t

→

→

∂u

∂v

∂u

=

−

∂v

Следовательно:

∂y

=

∂x

∂x

∂y

)

Достаточность.

(x, y

и

v(x, y)

(так как непрерывны их част-

Из дифференцируемости u

ные производные) следует:

∂u

∂u

∂u

∂u

u =

dx +

dy + α| z| =

s

+

t + α| z|,

∂x

∂y

∂x

∂y

∂v

∂v

∂v

∂v

v =

dx +

dy + β| z| =

s

+

t

+ β| z|,

∂x

∂y

∂x

∂y

где α и β — бесконечно малые относительно

z.

11

Тогда:

∂u

∂u

∂v

∂v

f (z) =

u + i v =

s +

t + i

s + i

t + γ| z| =

∂x

∂y

∂x

∂y

∂u

+ i

∂v

(s + i t) + γ| z| = A · z + γ| z|.

∂x

∂x

	Здесь γ = α + i β, A =				∂u	+ i		∂v
					∂x			∂x
	условия Коши – Римана.
	Далее:
		f (z)		= A + γ			| z|
		z
								z

— комплексная постоянная, при выводе использованы

	и lim	f (z)		= A = f (z).
		z
	z→0

Из выкладок при доказательстве теоремы следует:

f (z) =

∂u

+ i

∂v

=

∂v

− i

∂u

=

∂u

− i

∂u

=

∂v

+ i

∂v

(1.13)

.

∂x

∂x

∂y

∂y

∂x

∂y

∂y

∂x

Дадим эквивалентное определение дифференцируемости однозначной функции f (z).

Определение 1.8 Если f (z) в точке z может быть представлено в виде:

f (z) = A · z + γ| z|,	(1.14)
где A — комплексная константа, а γ — бесконечно малая относительно	z, то f (z) —
дифференцируема в точке z.

Определение 1.9 Величина A · z — называется линейной (главной) частью приращения или дифференциалом функции f (z) и обозначается df (z).

Для независимой переменной z dz ≡	z.
Очевидно, что df (z) = f (z) dz, как и для	действительной переменной.

Определение 1.10 Если f (z) дифференцируема в каждой точке некоторой области D, то она называется аналитической в области D.

Свойства производной аналитической функции аналогичны свойствам производной функции действительной переменной

(f

g)

= f

g

(f

g) = f

g + f g

f

=

f g − f g

, (g = 0)

±

±

;

·

;

g

g2

;

(f (g(z))) = f (g(z))g (z);

z = ϕ(w),

f (z) = ϕ (w) ,

если

отображения.

1

w = f (z),

взаимно–однозначные

Замечания.

1) У аналитических функций u(x, y) и v(x, y) не могут быть произвольными. Они взаимоопределяют друг друга с точностью до постоянной. Пусть, например, у аналитической функции f (z) известна u(x, y), тогда:

∂v	=	∂u	= v(x, y) =	∂u(x, y)		dy + const.
∂y		∂x		∂x

12

2) Для аналитической функции f (z) = u(x, y) + i v(x, y) линии уровня функций u(x, y) и v(x, y) на плоскости (x, y) взаимно–ортогональны.

Действительно, пусть эти линии уровня задаются системой уравнений:

v(x, y) = C2

u(x, y) = C1

тогда вектор нормали к первой линии: g1

=

∂u

i +

∂u

j, — ко второй: g2 =

∂v

i +

∂v

j, и мы

получим:

∂x

∂y

∂x

∂y

∂u

∂v

∂u

∂v

∂u

∂u

∂u

∂u

g1 · g2 =

·

+

·

= −

·

+

·

≡ 0.

∂x

∂x

∂y

∂y

∂x

∂y

∂y

∂x

Выясним геометрический смысл производной аналитической функции.

Пусть z0 D и z0 −f→ w0, а также Γ1 −f→ C1,

Γ2 −f→ C2 (z0 Γ1, z0 Γ2, w0 C1, w0 C2).

Взяв

z вдоль Γ1

и Γ2, соответственно получим

w вдоль C1 и C2. Устремляя

z −→ 0 получим, что

секущие кривых Γ и C (рис. 1.3) стремятся к поло-

жению касательных к этим кривым в точках z0 и w0

соответственно.

→

ϕ = arg

z

ψ =→arg z w

z

Представим

lim

w

=

lim

w

ei (ψ−ϕ)

,

где

,

.

z 0

z

f (z ) = 0

0

Отсюда получим, что (предполагаем

0

)

lim

|

w1|

=

lim

| w2|

= f

(z ) ,

| z2|

z→0 | z1|

z→0

|

0

|

где индексы соответствуют индексам кривых, а также

lim (ψ

−

ϕ ) =

lim (ψ

ϕ ) = arg f (z

),

z 0

1

1

z 0

2 −

2

0

→

→

так что

ψ0

−

0

0

0

0

=

lim

0 ϕ1 и т.п.

Рис. 1.3:

2

ψ1

= ϕ2 − ϕ1,

где ϕ1

z

→

В итоге можно сделать вывод: бесконечно малый треугольник с вершиной в z0 преобра-

зуется в подобный треугольник с вершиной в w0 с коэффициентом подобия, равным |f (z0)|, и повернутый на угол, равный arg f (z0).

Такое отображение окрестности точки z0 на окрестность точки w0, осуществляемое аналитической функцией w = f (z) и обладающее в точке z0 свойством постоянства растяжений и сохранения углов, называется конформным отображением.

Конформные отображения находят широкое применение при решении задач гидродинамики и электростатики.

13

14