4.2Правильные и особые точки аналитической функции.

Пусть f (z) — функция, заданная в области D с границей C.

Определение 4.1 Точка z0 D называется правильной точкой функции f (z), если суще-

∞

ствует сходящийся степенной ряд cn(z − z0)n, который в общей части области D и

n=0

своего круга сходимости |z − z0| < ρ(z0) (ρ(z0) > 0) сходится к функции f (z).

В приведенном определении существенно требование ρ(z0) > 0.

Определение 4.2 Точки z D , не являющиеся правильными, называются особыми.

Пусть f (z) — аналитическая в области D. Видим, что все внутренние точки указанной области будут правильными. Точки границы области могут быть как правильными, так и особыми точками аналитической функции f (z). В примере (4.4) все точки границы |z| = 1 — правильные, за исключением z = 1.

Если аналитическая функция f (z) первоначально задана в D и все точки связного участ-

ка ˜ границы — правильные, то ( ) может быть продолжена через этот участок на боль-

C C f z

шую область.

Определение 4.3 Если все точки границы C области D первоначального задания аналитической функции f (z) являются правильными, будем называть такую функцию аналитической в замкнутой области D.

Если функция аналитическая в замкнутой области, то она может быть аналитически продолжена на большую область, содержащую первоначальную.

Теорема 4.4 На границе круга сходимости степенного ряда лежит хотя бы одна особая точка аналитической функции F (z), к которой сходится ряд.

Пусть все точки границы C0 круга сходимости K0 (радиуса R0) ряда

					∞
			f (z) =			cn(z − z0)n			(4.11)
					n=0
являются правильными.							∞
	z˜ C0	ρ(˜)z			˜			n	˜
Иначе говоря,			> 0 : f (z) =				=0 cn(˜)(z	z − z˜)	z K : (|z − z˜| < ρ(˜))z
и в общей части кругов K0 и		˜					n
		K оба ряда сходятся к одной сумме, то есть
˜	˜
z K0 ∩ K =	f (z) = f (z).
Таким образом, на C0 задана функция ρ(˜z) > 0.
Возьмем любые две точки z˜1 C0				и z˜2 C0, пусть точке z˜1 соответствует круг сходимо-
˜			—	˜
сти K1 с радиусом ρ(z˜1), а точке z˜2				K2 с радиусом ρ(z˜2).
Тогда должно выполняться неравенство
		|ρ(˜z1) − ρ(˜z2)| |z˜1 − z˜2|.							(4.12)

Поскольку, если справедливо противоположное неравенство, то получается, что один из

этих кругов (допустим ˜ ) целиком лежит внутри другого, не касаясь его границы (рис. 4.3).

K1

40

При этом

	∞
f1(z) =		cn(˜z1)(z − z˜1)n,		при	|z − z˜1| < ρ(˜z1),
	n=0
	∞
f2(z) =		cn(˜z2)(z − z˜2)n,		при	|z − z˜2| < ρ(˜z2),
	n=0
а также
ρ(˜z2) = |z˜1 − z˜2| + ρ(˜z1) + δ, δ > 0.
						˜	˜
		В общей части кругов K0, K1 и					K2
		f (z) = f1(z) = f2(z).
		Тогда получается, что f2(z) — аналитическое про-
					˜	˜
		должение f1(z) из K1				в K2, следовательно,
			∞
		ряд	cn(˜z1)(z − z˜1)n должен сходиться
			n=0
		при |z −z˜1| < ρ(˜z1) + δ, что противоречит допущению,
		что	˜
			K1 — круг сходимости для него.
		Таким образом, (4.12) выполняется.
		Тогда ρ(˜z) — равномерно непрерывная на C0 функ-
		ция, поскольку
		для ε > 0			|z˜1 − z˜2| < ε = |ρ(˜z1) − ρ(˜z2)| < ε,
					z˜1, z˜2 C0.
Рис. 4.3:		Поэтому ρ(˜z) принимает на C0					свое наименьшее
		значение
		ρ(˜z) ρ(˜z0) = ρ0 > 0.
Последнее, поскольку ρ(˜z) > 0,		z˜ C0.

В итоге получаем, что в круге |z − z0| < R0 + ρ0 может быть определена однозначная аналитическая функция F (z), совпадающая в круге K0 с f (z) и являющаяся ее аналитическим продолжением. Но тогда R0 — не радиус сходимости ряда (4.11).

Полученное противоречие доказывает ложность предположения, что все точки C0 — правильные.

Следствие. Радиус круга сходимости степенного ряда определяется расстоянием от точки, в которой производится разложение в ряд, до ближайшей особой точки аналитической функции, к которой данный ряд сходится.

4.3Понятия римановой поверхности и полной аналитической функции.

До сих пор рассматривались случаи аналитического продолжения первоначально заданной функции f1(z) на более широкую область определения, приводящие к однозначной функции F (z).

Возможны более сложные случаи.

41

Пусть имеются области D1 и D2, имеющие общие части D121 и D122 , и пусть однозначные

аналитические

функции f

1

(z) и f

2

(z) определены соответственно в областях

D1

и

D2

, причем

2

1

= 2

2( )

2

˜

f

1(z) = f2(z),

˜D12

, но

f

1( )

D12

. Обозначим через D˜

объединение D1 и

z

z

f

z ,

z

D2 за вычетом D12 (D = D1 ∩ D2 \ ˜D12). Тогда можно утверждать, что в D определена един-
ственная аналитическая функция F (z), являющаяся аналитическим продолжением функции
2	˜				˜			2
f1(z) из области D1 \ D12	в область D1	. Но можно аналитически продолжить F (z) на					D12
двумя способами		˜		˜
			z		12
	F1(z) =	f1(z),		D
		F (z),	z		2
				D
		˜	z	˜	12
	F2(z) =	f2(z),		D
		F (z),	z		2
				D
		Таким образом, получается, что в области D122 за-
	дана двузначная аналитическая функция. В общем
	случае могут получаться многозначные функции.
		Для удобства выбора вполне определенных значе-
	ний многозначной аналитической функции F (z) в од-
	ной и той же точке z вводится понятие ветви анали-
	тической функции, являющейся однозначной непре-
	рывной функцией в окрестности точки z. Подробнее
	этот вопрос рассмотрен в Приложении.
		Более универсальным является введение более слож-
	ного многообразия, чем комплексная плоскость, на
	котором многозначная функция рассматривается как
Рис. 4.4:	однозначная.
		Обратимся к рис. 4.4. Представим, что области						D1
			1		2
и D2 вырезаны из бумаги и склеены по области D12, а концы, соответствующие D12,						оставле-
								2	.
					экземпляра области		D12
ны свободными и налегают друг на друга, так что получается два 2
Значения функции F1(z) берутся на нижнем экземпляре области D12, а функции F2						(z) — на

верхнем.

Тем самым мы получили модель нового многообразия, называемого римановой поверхностью аналитической функции F (z), являющейся аналитическим продолжением функции f1(z) (или f2(z)). Отдельные экземпляры повторяющихся областей называются различными листами римановой поверхности.

Видим, что F (z) на римановой поверхности задается однозначно.

Примеры римановых поверхностей приводятся при рассмотрении элементарных функций комплексного переменного в Приложении.

Аналитически продолжая функцию f1(z) из области D1, можно перебрать все возможные пути такого процесса.

Определение 4.4 Функция F (z), полученная путем аналитического продолжения вдоль всех возможных цепочек областей, выходящих из области D1 первоначального задания аналитической функции f1(z), называется полной аналитической функцией. Ее область определения называется естественной областью существования полной аналитической функции.

Аналитическое продолжение функции за границу ее естественной области существования уже невозможно. Все точки границы естественной области существования полной аналитической функции являются ее особыми точками.

Естественная область существования полной аналитической функции может быть римановой поверхностью.

42