7.3.8Интегрирование изображения.

Если	f (t)	имеет изображение Лапласа и f (t) F (p), Re p > a, то
	t
					(t)	∞
					f	p F (q) dq, Re p > a.			(7.26)
					t
			(t)				∞		f (t)
Функция			f	имеет изображение Лапласа, обозначим его через I(p) =				e−pt		dt.
			t						t

0

Из оценки в (7.4) имеем I(∞) = 0, по теореме 7.2 функция I(p) — аналитическая в области Re p > a, так что в ней

∞

I (p) = − 0

e−ptf (t) dt = −F (p).

Далее имеем

p

p

∞

I (q) dq = I(p) − I(∞)

= I(p) = −

F (q) dq =

F (q) dq.

∞

∞

p

Пример.

7.7 Имеем

1

1

eαt − eβt

−

,

Re p > max(Re α, Re β).

Получим

p − α

p − β

eαt − eβt

∞

1

1

dq = ln

p − β

, Re p > max(Re α, Re β).

q

α

− q

β

t

−

−

p

−

α

p

7.3.9Изображение свертки.

Найдем изображение Лапласа свертки (f1 f2) двух функций f1(t) и f2(t):

(f1 f2) = 0	t
	f1(τ )f2(t − τ ) dτ.	(7.27)

Отличие пределов интегрирования в (7.27) от рассматривавшегося в связи с преобразованием Фурье случая объясняется тем, что сейчас предполагается, что функции f1(t) и f2(t) отличны от 0 только для t 0, но тогда произведение f1(τ )f2(t − τ ) отлично от 0 только для

0 τ t.
Алгебраические свойства свертки остаются теми же, что рассматривались ранее.
Пусть f1(t) F1(p), Re p > a1,	f2(t) F2(p), Re p > a2. Тогда
(f1 f2) F1(p)F2(p),		Re p > max(a1, a2).	(7.28)

67

Обозначим F (p) (f1 f2), тогда получим

∞			t		∞		∞
F (p) =	e−pt		f1(τ )f2 (t − τ ) dτ dt =			f1(τ ) dτ
0		0	∞	∞	0	∞	τ
	= 0			f1(τ ) dτ 0	e−p(t˜+τ )f2(t˜) dt˜ = 0		e−pτ

e−ptf2(t − τ ) dt =

∞
f1(τ ) dτ 0	e−pt˜f2(t˜) dt˜ = F1(p)F2(p).

После второго знака равенства в приведенной цепочке равенств поменяли порядок интегрирования в двойном интеграле, что законно в данном случае, после третьего — обозначили

˜

˜

t

= t − τ, dt = dt.

Пример.

7.8 Решим пример 7.6 иначе.

pω

=

p

·

ω

,

p

cos ωt,

ω

sin ωt.

(p2 + ω2)2

p2 + ω2

p2 + ω2

p2 + ω2

p2 + ω2

pω

t

1

t

0

sin ωt cos ω(t − τ ) dτ =

0

(sin ωt + sin ω(2τ − t)) dτ =

(p2 + ω2)2

2

1

t sin ωt −

1

− t)

t

1

1

(cos ωt − cos ωt) =

1

= 2

2ω cos ω(2τ

0

= 2 t sin ωt − 4ω

2 t sin ωt.

7.3.10Интеграл Дюамеля.

Следствием предыдущего пункта и теоремы о дифференцировании оригинала является формула, которая бывает полезна при решении дифференциальных уравнений.

Пусть функции f1(t) и f2(t) имеют изображения Лапласа F1(p) и F2(p) соответственно. Пусть и свертка этих функций s(t) = (f1 f2) имеет изображение Лапласа s(t) S(p).

Также существует производная ds(t) , которая имеет изображение Лапласа. Тогда, согласно с названными теоремами, имеем: dt

d

(f1 f2) pF1

(p)F2(p).

(7.29)

dt

Действительно, проинтегрировав по частям, получим:

∞

d

t

t

∞

f1(τ )f2 (t − τ ) dτ e−ptdt = e−pt

f1(τ )f2(t − τ ) dτ

+

dt

0

0

0

0

∞

t

		+ p			f1(τ )f2(t − τ ) dτ e−ptdt = pF1(p)F2(p).
		0		0
Для справедливости последнего равенства достаточно, чтобы
t→+∞ e−	0	t
		f1(τ )f2 (t − τ ) dτ = 0,
lim	pt

68

то есть, чтобы свертка (f1 f2) имела ограниченную степень роста.

Производная свертки (f1 f2) по общим формулам дифференцирования интеграла, а также вследствие симметрии свертки относительно f1 и f2 может быть представлена в виде:

	dt 0		t		t
			f1(τ )f2(t − τ ) dτ ≡ f1(t)f2(0) + 0		f1(τ )f2(t − τ ) dτ ≡
	d
					≡ f1(0)f2(t) + 0		t
							f1(t − τ )f2(τ ) dτ.
	Так что окончательно имеем:
pF1(p)F2(p) f1(t)f2(0) + 0				t
				f1(τ )f2(t − τ ) dτ =
					= f1(0)f2(t) + 0	t
						f1(t − τ )f2(τ ) dτ. (7.30)

В таком виде эту формулу обычно называют интегралом Дюамеля.

69

70