Лекция 2

2.1Интеграл от функции комплексного переменного.

Пусть на комплексной плоскости Z задана кусочно-гладкая кривая C:

					ζ(t) = ξ(t) + i η(t);		y = η(t),	(2.1)
							x = ξ(t),
где	t		[α, β]	и	[ξ (t)]2 + [η (t)]2 = 0	.

Далее пусть на кривой C задана функция f (ζ).

Определим интеграл от функции f (ζ) на кривой C. Разобьем данную кривую точками ζ0, ζ1, . . . , ζn на n дуг. Обозначим: ζi = ζi −ζi−1. На дуге: (ζi−1, ζi) — выберем произвольную

точку ζi .

Составим интегральную сумму:

	n
S(ζi; ζi ) =	i
	f (ζi )Δζi,	(2.2)
	=1

Обозначим: max | ζi| = λ.

Определение 2.1 Если существует конечный предел выражения (2.2) при λ → 0, не зависящий от способа разбиения кривой на частичные дуги и выбора точек ζi на них, то он называется интегралом от функции f (ζ) по кривой C :

λ→0 S(ζi; ζi ) =	C	f (ζ) dζ	(2.3)
lim

Вопрос о существовании интеграла (2.3) сводится к вопросу о существовании некоторых

криволинейных интегралов в действительной плоскости, как это сейчас покажем.
Действительно, обозначим на плоскости двух действительных переменных (x, y)										точ-
ки Pi (ξi , ηi ) с координатами ξi и ηi , далее					ζi = ξi + i	ηi, а также f (ζi ) = u(Pi ) + i v(Pi );
интегральная сумма (2.2) тогда может быть представлена в виде:
		n			n
S(ζ	; ζ ) =	i		v(P )		(u(P ) η + v(P ) ξ ),
		(u(P ) ξ	i −		η ) + i					(2.4)
i	i	i		i	i	i	i	i	i
		=1			i=1

Видим, что первая интегральная сумма слева в выражении (2.4) соответствует криволинейному интегралу II-го рода:

u(ξ, η) dξ − v(ξ, η) dη,

C

15

если он существует, а вторая — при той же оговорке, интегралу:

u(ξ, η) dη + v(ξ, η) dξ.

C

Заметим, что для существования этих интегралов достаточно кусочной непрерывности функции f (ζ). Таким образом, можно принять формулу:

f (ζ) dζ = u(ξ, η) dξ − v(ξ, η) dη + i u(ξ, η) dη + v(ξ, η) dξ, (2.5)

C C C

за определение интеграла от функции комплексного переменного f (ζ) по кривой C.

2.2Свойства интеграла.

Эти свойства следуют из свойств криволинейных интегралов. 1) Зависимость от направления пути интегрирования:

		f (ζ) dζ = −		f (ζ) dζ.		(2.6)
		AB	BA
2)	Аддитивность интеграла:
		f (ζ) dζ +	f (ζ) dζ =		f (ζ) dζ.	(2.7)
	C1	C2		C1+C2
3)	Линейность интеграла:

(af1(ζ) + bf2(ζ)) dζ = a f1(ζ) dζ + b f2(ζ) dζ. (2.8)

C C C

4) Оценка интеграла:

	f (ζ) dζ				f (ζ)	dζ;	(2.9)

CC

если max |f (ζ)| = M и L — длина дуги C, то

ζ C

	f (ζ) dζ M · L	(2.10)

C

5) Замена переменной:

если z = ϕ(ζ) устанавливает взаимно-однозначное соответствие кривых C и Γ, то:

f (z) dz =	f (ϕ(ζ))ϕ (ζ) dζ;	(2.11)

CΓ

вчастном случае комплекснозначной функции действительного переменного: z = z(t), t [α, β] имеем:

	β
f (z) dz =	f (z(t))z (t) dt	(2.12)

Cα

16

Пример.

2.1 Вычисляется интеграл по окружности Cρ радиуса ρ с центром в z0:

dz

z − z0 ,

Cρ

выразим: z = z0 + ρeiϕ , тогда: dz = iρeiϕ dϕ — и мы получим:

		dz	2π	iρeiϕ dϕ
			=		= 2πi
		z z0		ρeiϕ
	Cρ	−	0

2.3Теорема Коши.

Будем и в комплексной плоскости называть замкнутым контуром кусочно-гладкую кривую, не имеющую точек самопересечения: (z(t), α t β, z(α) = z(β)).

Теорема 2.1 (Теорема Коши.) Пусть в односвязной области D задана однозначная аналитическая функция f (z). Тогда интеграл от f (z) по любому замкнутому контуру Γ, целиком лежащему в D, равен 0.

		Γ	f (z) dz = 0	(2.13)
Исходя из (2.5) имеем:
Γ	f (z) dz = Γ	u(x, y) dx − v(x, y) dy + i Γ		v(x, y) dx + u(x, y) dy,

так как функция f (z) — аналитическая, то u(x, y) и v(x, y) — имеют непрерывные частные

производные и можно применять формулу Грина

P (x, y) dx + Q(x, y) dy =

=

∂Q

∂P

C

dx dy, где контур C ограничивает односвязную область G , кроме того,

−

∂x

∂y

G

используем условия Коши–Римана; тогда легко получить:

u dx − v dy = −

∂v

+

∂u

dx dy = 0,

∂x

∂y

Γ

D

v dx + u dy = ∂x − ∂y

dx dy = 0,

∂u

∂v

Γ

D

где D — односвязная подобласть D, ограниченная контуром Γ. Данная теорема часто используется в иной формулировке:

17

Теорема 2.2 Если f (z) — однозначная аналитическая функция в односвязной области D, ограниченной кусочно–гладким контуром C, и непрерывна в D, то

f (z) dz = 0 (2.14)

C

Сначала предположим, что z = 0 лежит внутри D (это достигается линейной заменой переменного), а также любой луч, исходящий из z = 0, пересекает границу C только в одной

точке (звездчатая граница), тогда контур Γ : (ζ Γ

=

ζ

C, где

0 < λ < 1, λ = const)

λ

целиком лежит внутри D (получается из C преобразованием подобия).

По теореме Коши

Γ

f (ζ) dζ = 0 = C

f (λζ) d(λζ) = 0 = λ C

f (λζ) dζ = 0 =

= C

f (λζ) dζ = 0 = C

f (ζ) dζ = C (f (ζ) − f (λζ)) dζ

Из равномерной непрерывности f (z) в

следует:

D

ε > 0 δ > 0 : |z1 − z2| < δ = |f (z1) − f (z2)| <

ε

z1

, z2 D,

L

где L — длина границы C.

Пусть R = max |z|, тогда достаточно взять λ > 1 −

δ

, чтобы обеспечить:

R

zD

|z − λz| = (1 − λ)|z| < δ.

При таком выборе λ получим следующую оценку:

	C	f (ζ) dζ = C		(f (ζ) − f (λζ) dζ zD |f (z) − f (λz)| · L < ε
					max
Отсюда следует, что такой интеграл по границе области равен 0.
				Если кусочно-гладкая граница области не явля-
				ется звездчатой, то она может быть разбита на ко-
				нечное число подобластей со звездчатыми границами,
				для каждой из которых утверждение теоремы доказа-
				но. Остается просуммировать интегралы по границам
				всех подобластей, при этом все интегралы по кривым
				разбиения попарно взаимно уничтожаются, так как
				они берутся во взаимно противоположных направле-
				ниях. В результате останется один интеграл по внеш-
				ней границе области.
Рис. 2.1:				Обобщим формулу (2.14) на случай многосвязной
				области.
Пусть D — многосвязная область с внешней границей						C и внутренними границами

γ1, γ2, . . . γl, проведем разрезы от каждой внутренней границы к внешней, так что область

18