станет односвязной с границей, состоящей из внешнего контура C+, проходимого в положительном направлении обхода, всех внутренных границ γ1−, γ2−, . . . γl−, проходимых в отрицательном направлении обхода, а также по обоим берегам каждого разреза. Пусть в D задана однозначная аналитическая функция f (z), тогда из (2.14) получим:

+	l
	f (ζ) dζ + i=1		f (ζ) dζ = 0,
C	γi−

интегралы по берегам разрезов берутся в противоположных направлениях и попарно взаимно уничтожаются. Перенеся сумму интегралов в правую часть и сменив там направление обхода на противоположное, окончательно получим:

+	l	+ f (ζ) dζ.
	f (ζ) dζ = i=1		(2.15)
C	γi

2.4Неопределенный интеграл.

Теорема 2.3 Пусть f (z) определена и непрерывна в односвязной области D, а интеграл от f (z) по любому замкнутому контуру Γ, целиком лежащему в D, равен 0. Тогда функция

z

F (z) = f (ζ) dζ — (z0 D и z D, а также путь интегрирования целиком лежит в D)

z0

—аналитическая и F (z) = f (z).

При условиях теоремы интеграл по кривой между двумя точками зависит только от их расположения и не зависит от выбора кривой, найдем отношение:

F

1

z+Δz

z

1

z+Δz

z

=

z

z0

f (ζ) dζ −z0

f (ζ) dζ =

z z

f (ζ) dζ,

будем считать, что

z настолько мало, что можно провести прямую от z до z +

z, не выходя

z+Δz

за пределы области D. Очевидно, что при интегрировании по прямой

z

dζ =

z (что легко

проверить по формуле (2.5)). Далее получаем цепочку оценок:

F

1

z+Δz

1

− f (z)

(f (ζ) − f (z)) dζ

ζ [z;z+Δz] |f (ζ) − f (z)| · | z|

=

z

|

z

|

z

|

z

|

max

=

=

max

f

(ζ)

−

f (z) , так как f (z) — непрерывная,

то

ε > 0

δ(ε) > 0 :

|

z

|

< δ

=

|

|

ζ [z;z+Δz]

= |f (ζ) − f (z)| < ε, таким образом: F (z) = f (z). Следовательно. можно дать такое определение:

Определение 2.2 Аналитическая функция F (z) называется неопределенным интегралом или первообразной функции f (z) в области D, если в D всюду F (z) = f (z).

Очевидно, что первообразная определяется с точностью до константы. В приведенной теореме доказан аналог формулы Ньютона–Лейбница для функций комплексного переменного.

19

Построим функцию ϕ(z) =

, которая анали-

f (z)

Пример.

2.2
z	ζ	(2.16)
f (z) = 1
	dζ

Подынтегральная функция аналитична всюду, кроме z = 0, поэтому интеграл не зависит от пути интегрирования в любой односвязной области плоскости Z, не содержащей z = 0. В качестве такой области возьмем полную плоскость Z с разрезом вдоль отрицательной действительной полуоси (−∞, 0), −π < arg z < π. На действительной оси при x > 0 f (x) = ln x, но тогда и (2.16) можно принять в качестве определения логарифмической функции, то есть:

z	ζ ,
ln z = 1
	dζ

получив сразу же ожидаемый результат:

(ln z) = z1 .

2.5Интеграл Коши.

Пусть функция f (z) — аналитическая в односвязной области D с границей C. Контур Γ расположен внутри области D. Возьмем точку z0 внутри контура Γ.

Рис. 2.2:

Далее имеем:

z − z0

тична в D всюду, кроме z = z0. Проведем внутри Γ вокруг z0 контур γ. Функция ϕ(z) — аналитична в двусвязной области D между контурами γ и C.

По теореме Коши имеем:

f (ζ) dζ

f (ζ) dζ

+

+

= 0, или

ζ − z0

ζ − z0

Γ

γ−

+

f (ζ) dζ

= +

f (ζ) dζ

.

ζ

−

z0

ζ

−

z0

Γ

γ

Аналогично примеру (2.1) возьмем в качестве кон-

тура γρ: ζ = z0 + ρeiϕ

2π =

(z

) dζ

=

+

f

0

= i

f

(z0) dϕ = 2πif (z0).

ζ

−

z0

γ

0

1

f (ζ) dζ

1

f (ζ) f (z

)

+

− f (z0) =

+

−

0

dζ.

2πi

ζ

−

z0

2πi

ζ

z0

Γ

γ

−

Оценим правую часть этого равенства:

	2πi	+	ζ	− z0	dζ 2π ζ γ+ |f (ζ) − f (z0)|			ρ	ζ γ+ |f (ζ) − f (z0)| → 0 при ρ → 0.
	1		f (ζ)	f (z0)		1	max	2πρ	= max
		γ		−

20

С другой стороны, левая часть последнего равенства двух интегралов от ρ вообще не зависит, а следовательно, равна 0.

Окончательно получаем выражение, называемое интегралом Коши:

f (z0) =	1	Γ	f (ζ) dζ		(2.17)
				.
	2πi		ζ − z0

Замечание. Если f (z) — непрерывна в D, то вместо контура Γ можно взять границу области C. Тогда можно вычислить f (z) в любой внутренней точке z, зная лишь ее значения на границе области D

Очевидным образом интеграл Коши может быть обобщен на случай многосвязной области. Следствия. 1) Можно обобщить полученный результат таким образом:

2πi Γ		ζ − z0	=	0	0	— z0 вне Γ
1		f (ζ) dζ		f	(z	) — z0 внутри Γ

Если z0 расположена на контуре Γ, интеграл типа Коши (2.18) не имеет смысла. 2) Построим окружность с центром в z0 радиуса R0 (но оставаясь в D),

CR0 : ζ = z0 + R0ei ϕ; имеем:

1

f (ζ) dζ

1

2π

1

f (z0) =

=

f (z0 + R0ei ϕ) dϕ =

f (ζ) ds,

2πi

ζ

−

z0

2π

2πR0

CR0

0

CR0

(2.18)

(2.19)

где ds = R0 dϕ — элемент длины дуги CR0 ; (2.19) называется формулой среднего значения.

Теорема 2.4 (Принцип максимума модуля аналитической функции.) Пусть функция f (z) аналитична в D и непрерывна в D. Тогда или |f (z)| ≡ const, или max |f (z)| достигается только на границе D.

|f (z)| — непрерывная действительная функция двух действительных переменных x и y, она принимает максимальное значение в некоторой точке z0 D. Пусть z0 — внутренняя

точка области D.
Тогда
|f (z0)| = M |f (z)|, z D	(2.20)

Проведем окружность CR : z = z0 + Rei ϕ такого радиуса R, чтобы вся она находилась в D. По формуле (2.19) имеем:

				1		2π
	f (z0) =					0 f (z0 + Rei ϕ) dϕ			=
					2π
		2π						2π
= 2πM =			f (z0		+ Rei ϕ) dϕ			|f (z0 + Rei ϕ)| dϕ 2πM
		0						0
Так что получаем:
			2π
				|f (z0 + Rei ϕ)| dϕ = 2πM					(2.21)
			0

21

Отсюда следует, что

|f (z)| = M, z CR,

(2.22)

так как, учитывая (2.20), возможен еще только один вариант |f (z)| < M , пусть он реализуется для z˜ = z0 + Rei ϕ˜, тогда по свойствам непрерывных функций действительного переменного

ϕ1, ϕ2 : ϕ (ϕ1, ϕ2) = |f (z0 + Rei ϕ)| M − ε, ε > 0. Тогда

2π
2πM = 0	|f (z0 + Rei ϕ)| dϕ =
	ϕ2	ϕ1	2π
	= ϕ1	|f (z0 + Rei ϕ)| dϕ + 0	|f (z0 + Rei ϕ)| dϕ +ϕ2	|f (z0 + Rei ϕ)| dϕ <
			< M (ϕ2 − ϕ1) + M (2π − (ϕ2 − ϕ1)) = 2πM

Полученное противоречие доказывает (2.22).

Очевидно, что |f (z)| = M и на любой окружности Cρ : z = z0 + ρei ϕ, 0 < ρ < R, то есть внутри всего круга радиуса R с центром в z0. Покажем, что в любой внутренней точке zn области D тогда будет |f (zn)| = M . Соединим z0 и zn кривой Γ, отстоящей от границы области на расстояние не меньше, чем d > 0. Эта кривая пересечет окружность CR в точке, которую обозначим как z1, и проведем окружность с центром в z1 и радиуса R1, которая должна частично находиться внутри предыдущего круга и не достигать границы области. Легко убедиться, повторяя приведенную выше цепочку рассуждений, что на всей этой новой окружности и внутри соответствующего круга |f (z)| = M . Обозначим точку пересечения новой окружности с кривой Γ, ближайшую к zn, через z2. Построим окружность с центром в ней аналогично предыдущему и будем продолжать такой процесс. Понятно, что мы сможем покрыть точку zn таким кругом за конечное число шагов, что и доказывает утверждение теоремы.

Теорема 2.5 (Принцип минимума модуля аналитической функции.) Пусть функция f (z) аналитична в D и непрерывна в D, а также f (z) = 0 внутри D. Тогда или |f (z)| ≡ const, или min |f (z)| достигается только на границе D.

1

Для доказательства теоремы достаточно взять f1(z) = f (z) и обратиться к только что доказанной теореме.

2.6Производные аналитической функции.

Пусть функция f (z) аналитична в открытой односвязной области D и непрерывна в D. Возьмем z D и придадим ему приращение z, но чтобы z + z D, найдем с помощью (2.17) следующий предел:

22

z→0

z

−

z→0

2πi z

ζ z

z − ζ z

lim

f (z +

z)

f (z)

=

lim

1

1

1

f (ζ) dζ =

Γ

− −

−

=

z→0 2πi Γ

(ζ − z)(ζ − z − z) =

lim

1

f (ζ) dζ

2πi Γ

(ζ − z)2 +

z→0 2πi Γ

(ζ − z)2(ζ − z − z) (2.23)

=

1

f (ζ) dζ

lim

z

f (ζ) dζ

.

В последнем равенстве используем очевидное соотношение:

1

=

1

+

z

.

(ζ − z)(ζ − z − z)

(ζ − z)2

(ζ − z)2(ζ − z − z)

Оценим интеграл в правой части (2.23) под знаком предела, f (z) — кусочно–непрерывная на Γ, а потому ограниченная, 1/(ζ − z) ограничена на Γ, так как z — вне Γ, а z всегда можем взять таким образом, чтобы | z| < |ζ − z|/2, поэтому подынтегральная функция — ограниченная на Γ, пусть точная верхняя грань ее модуля равна M , а длина Γ — L, тогда модуль интеграла не превосходит M L. Легко видеть тогда, что в правой части (2.23) предел равен 0, таким образом получаем интегральное представление для производной аналитической функции:

f (z) = 2πi Γ

(ζ − z)2 .

1

f (ζ) dζ

Найдем далее, воспользовавшись формулой (2.24), следующий предел:

lim

f (z +

z)

f (z)

= lim

1

1

1

f (ζ) dζ =

z

−

2πi z

(ζ

−

z

−

z)2

− (ζ

−

z)2

z→0

z→0

Γ

=

lim

1

(2ζ − 2z −

z)Δzf (ζ)

dζ =

z→0 2πi z Γ

(ζ − z)2(ζ − z − z)2

Γ (ζ − z)3 = f (ζ).

= 2πi

2

f (ζ) dζ

(2.24)

(2.25)

Таким образом, производная аналитической функции тоже является аналитической функцией.

Видим, что правые части (2.24) и (2.25) могут быть получены формальным дифференцированием по z0 подынтегральной функции в правой части (2.17). Это правило строго обосновывается в теории интегралов, зависящих от параметра.

Можно продолжить этот процесс, что на n-ом этапе приведет нас к формуле:

f (n)(z) = 2πi Γ		(ζ − z)n+1 .	(2.26)
	n!	f (ζ) dζ

Полученный результат может быть изложен в виде теоремы:

23

Теорема 2.6 Пусть функция f (z) аналитична в открытой односвязной области D и непрерывна в D. Тогда во внутренных точках D у функции f (z) существует производная любого порядка, определяемая формулой (2.26), где контур Γ может быть и границей области.

Аналитическая функция комплексного переменного в области своей аналитичности обладает непрерывными производными всех порядков, в этом ее существенное отличие от дифференцирумой функции действительного переменного, которая может не иметь уже второй производной.

Справедлива обратная теорема:

Теорема 2.7 (Теорема Морера.) Пусть функция f (z) непрерывна в односвязной области D и интеграл по любому замкнутому контуру Γ, целиком лежащему в D, равен 0. Тогда f (z) – аналитическая в D.

Выше (теорема 2.3) было показано, что перечисленные условия ведут к тому, что функция

z
F (z) = z0	f (ζ) dζ

аналитична в D, если z0 D, z D и путь интегрирования целиком лежит в D, причем

F (z) = f (z).

Но только что доказано, что производная аналитической функции — тоже аналитическая функция, то есть f (z) = F (z).

Теорема 2.8 (Теорема Лиувилля.) Пусть на всей комплексной плоскости f (z) — аналитическая и |f (z)| M , где M — некоторая константа. Тогда f (z) ≡ const.

Возьмем произвольно z, из (2.24) имеем:

f (z) = 2πi

(ζ

z)2 , — где

CR : |ζ − z| = R

1

f (ζ) dζ

CR

−

M : |f (z)| M =

1

f (ζ) dζ

1

f (ζ) dζ

M

= |f (z)| =

| |

2π

(ζ

−

z)2

2π

R2

R

CR

CR

а так как

f (z)

=

f (z)

0,

не зависит от

R

, то устремив

R

−→ ∞

≡

в силу произволь-

ности выбора z получаем утверждение теоремы.

Следствие. Функции sin z и cos z не могут быть равномерно ограничены на всей комплексной плоскости.

24