- •6Способы определения координат центра тяжести
- •7Момент относительно точки
- •8Ускорение любой точки тела при плоском движении равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения во вращении точки относительно полюса.
- •9Пара сил, момент пары. Свойства пар сил.
- •11Мгновенный центр скоростей (мцс). Способы нахождения.
- •12Условия равновесия системы сходящихся сил
- •13Равновесие при наличии трения скольжения
- •14Основная теорема статики
- •15Поступательное движение твердого тела
- •23. Закон сохранения механической энергии
- •24.Теорема об изменении кинетической энергии
- •25.Уравнения равновесия плоской системы сил
- •27.Связи и их реакции
- •Основные типы связей и их реакции
- •6. Подвижная шарнирная опора. Реакция направлена перпендикулярно плоскости опоры (плоскости катания) (рис. 14, а, б).
- •28.Различные случаи определения положения мгновенного центра скоростей
- •29.Теорема о движении центра масс Пусть все силы системы поделены на внешние и внутренние. Тогда дифференциальные уравнения движения системы запишутся в виде
- •30.Координаты центров тяжести однородных тел
- •31.Момент количества движения системы материальных точек (кинетический момент)
- •34.Вынужденные колебания. Резонанс
- •37Глава 3. Параллельные силы и пары сил
- •Теорема Гюйгенса — Штейнера[править | править вики-текст]
- •Осевые моменты инерции некоторых тел[править | править вики-текст]
- •Основное уравнение динамики
- •Сила, определение
- •Вид уравнений[править | править вики-текст]
- •Вывод уравнений[править | править вики-текст]
37Глава 3. Параллельные силы и пары сил
3.1.
Сложение и разложение параллельных сил
Пусть на тело действуют две параллельные направленные в одну сторону силы приложенные в точках А и В.
Согласно 1-й и 2-й аксиомам статики перейдем отданной системы параллельных сил к эквивалентной системе сходящихся сил . (рис. 22 )
Для этого приложим в точка А и В две уравновешивающие силы направленные вдоль прямой АВ и сложим их с силамипо правилу параллелограмма. Полученные силыперенесем в точку О, где пересекаются их линии действия и разложим на первоначальные составляющие. Силыотбросим (по 2-й аксиоме статики) и останутся две направленные по одной прямой силы. Эти силы переносим в точку С и заменяем равнодействующеймодуль которой равен:
Для определения положения точки С рассмотрим треугольники ОаК, ОАС, ОСВ, Оbm. Из подобия
т.к. . Далее учитывая свойства пропорций, уравнение (3.1.1) и то, что
BC+AC=ABполучаем
Рассмотрим случай сложения параллельных сдал направленных в разные стороны.
Пусть . (рис. 23 )
Выберем на продолжении прямой АВ точку С и приложим к ней уравновешенные силы которые параллельны. Положение точки С и модули сил выберем таким образом, чтобы удовлетворялись соотношения
Складываем силы и, согласно (3.1.1) и (3.1.4), получим их равнодействующуюравную по модулю, то есть модулюи приложенную в точке А. То есть силыиоказались уравновешенными и их можно отбросить.
В итоге силы заменяются одной силой, которая и является их равнодействующей. Точка приложения С равнодействующей и ее модуль определяются формулами (3.1.5), (3.1.6).
С помощью формул (3.1.1.) - (3.1.6) можно решать задачу о разложении силы на две ей параллельные. Задача будет определенной при задании дополнительных условий.
3.2.
Пара сил. Момент пары
Система двух равных по модулю, параллельных и противоположно направленных сил иназывается парой сил.Система не находится в равновесии, но и не имеет равнодействующей.Плоскость, проходящая через линии действия сил называют плоскостью действия пары (рис. 24 ).Расстояние d между линиями действия сил пары называют плечом пары.Действие пары сил на твердое тело сводится к вращательному эффекту и зависит от:
1) модуля F и длины плеча d;
2) положения плоскости пары;
3) направления поворота в этой плоскости.
Для характеристики этого вращательного эффекта вводится понятие момент пары.
Моментом пары называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил пары на ее плечо.
Момент пары условимся считать положительным (+), если пара стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, и отрицательным (-) - когда по ходу часовой стрелки.
Обозначение момента пары m или М без индекса имеет свой смысл, так как момент пары нельзя смешивать с моментом силы относительно центра и этот центр указывается в индексе (например: ). Момент же пары определяется только силами и плечом.
Действие пары сил, как уже указывалось выше, характеризуется тремя условиями. При характеристике пар необходимо задавать все три значения. Но мы знаем, что вектор-нормаль к плоскости задает значения второго и третьего условия. Если мы теперь пронормируем вектор-нормаль значением момента пары, то все три условия будут выполнены. Эти соображения и позволили рассматривать момент пары как вектор.
Будем изображать момент пары вектором или, модуль которого равен модулю момента пары, и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары, в ту сторону откуда поворот пары виден происходящим против хода часовой стрелки (рис. 25 ).
Если рассматривать только пары лежащие в одной плоскости, то вместо вектора момента пары, можно стрелкой указывать только направлением поворота.
Вектор на рис. 25 условно изображен выходящим из точек В и D, однако он может изображаться выходящим из середины АВ или CD или из произвольной точки плоскости действия пары, так как
3.3.
Сложение пар. Условия равновесия пар
Рассмотрим первоначально систему пар лежащих в одной плоскости.
Теорема: Система пар, лежащих в одной плоскости, эквивалентна одной паре, лежащей в той же плоскости и имеющей момент, равный алгебраической сумме моментов слагаемых пар.
Пусть на тело действуют три пары сил с моментами (рис. 26 )
Используя теорему об эквивалентности пар, заменяем эти пары эквивалентными другими парами , имеющими общее плечо d и такие же моменты
Сложив отдельно силы получим:
Вся система заменится одной парой с моментом
Обобщая эту формулу на n-пар получим:
Для равновесия плоской системы пар необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов этих пар была равна нулю:
При сложении пар в пространстве достаточно будет рассмотреть две пары.
Теорема: Любая система пар, действующая на твердое тело, эквивалентна одной паре с моментом, равным геометрической сумме моментов слагаемых пар.
Итак, пусть даны две пары с моментами m1 и m2, лежащие в плоскостях I и II (рис. 27 )
Складываем силы в точках А и В:
и убеждаемся, что пары заменяются одной парой. Найдем моментэтой пары
Если на тело действует л пар с моментами , то:
Геометрически вектор - это замыкающий вектор силового многоугольника.
Если векторы лежат в разных плоскостях, то можно ввести систему координат Oxyz и находитьаналитически:
Условия равновесия твердого тела под действием пространственной системы пар, запишутся:
38. Из второго закона динамики материальной точки
, (1.1)получается следующие дифференциальные уравнения:
- дифференциальные уравнения движения точки на плоскости
,
, (1.2)- дифференциальное уравнение движения точки по прямой
, (1.3)
где ,- проекции ускоренияна оси декартовых координат.
Первой называется задача, в которой заданы масса точки и закон ее движения в декартовых или естественных осях. Необходимо определить модуль и направление силы, действующей на точку.
Для решения следует выполнить следующие операции:
- построить расчетную схему, на которой в соответствии с условием задачи изобразить систему осей координат, нарисовать траекторию точки и отметить на траектории то положение точки, для которого требуется найти действующую силу. Эту силу следует представить составляющими на выбранные ос координат;
- по заданному движению материальной точки определить проекции ее ускорения на принятые оси координат;
- составить дифференциальные уравнения движения точки в форме (1.2) или (1.3). Из полученных уравнений определить проекции искомой силы, а затем ее модуль и направляющие косинусы.
Рассмотрим пример выполнения теста 1.
«Материальная точка М массой кг движется в горизонтальной плоскости согласно уравнениям,, где- в метрах,- в секундах. Определить силу, действующую на точку в моментс.».
Решение
Строится расчетная схема. В соответствии с условием задачи принимается декартовая система координат. Из заданных уравнений движения следует, что траекторией точки является парабола . Она изображена на рисунке 1.1.
Положение точки в момент с. определяется координатами:
м; м.
М1 (0,5; -0,5).
Искомую силу представим составляющими и.
Вычислим проекции ускорения точки на оси координат
, .
Для заданного момента с. имеем
м/с2, м/с2.
Рисунок 1.1 – траектория точки
Из дифференциальных уравнений (1.2) находим
Н, Н.
Затем определяем модуль силы
Н.
и направляющие ее косинусы
, .
39. Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величинаJa, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:
,где:
mi — масса i-й точки,
ri — расстояние от i-й точки до оси.
Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, какмасса тела является мерой его инертности в поступательном движении.
,
где:
dm = ρ dV — масса малого элемента объёма тела dV,
ρ — плотность,
r — расстояние от элемента dV до оси a.
Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то