- •6Способы определения координат центра тяжести
- •7Момент относительно точки
- •8Ускорение любой точки тела при плоском движении равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения во вращении точки относительно полюса.
- •9Пара сил, момент пары. Свойства пар сил.
- •11Мгновенный центр скоростей (мцс). Способы нахождения.
- •12Условия равновесия системы сходящихся сил
- •13Равновесие при наличии трения скольжения
- •14Основная теорема статики
- •15Поступательное движение твердого тела
- •23. Закон сохранения механической энергии
- •24.Теорема об изменении кинетической энергии
- •25.Уравнения равновесия плоской системы сил
- •27.Связи и их реакции
- •Основные типы связей и их реакции
- •6. Подвижная шарнирная опора. Реакция направлена перпендикулярно плоскости опоры (плоскости катания) (рис. 14, а, б).
- •28.Различные случаи определения положения мгновенного центра скоростей
- •29.Теорема о движении центра масс Пусть все силы системы поделены на внешние и внутренние. Тогда дифференциальные уравнения движения системы запишутся в виде
- •30.Координаты центров тяжести однородных тел
- •31.Момент количества движения системы материальных точек (кинетический момент)
- •34.Вынужденные колебания. Резонанс
- •37Глава 3. Параллельные силы и пары сил
- •Теорема Гюйгенса — Штейнера[править | править вики-текст]
- •Осевые моменты инерции некоторых тел[править | править вики-текст]
- •Основное уравнение динамики
- •Сила, определение
- •Вид уравнений[править | править вики-текст]
- •Вывод уравнений[править | править вики-текст]
Основное уравнение динамики
1. |
F= ma |
, или в векторной форме
2. |
= m
|
Единица СИ силы:
3. |
[F]= нютон(Н)= кг ·
|
Сила, определение
Силой в один ньютон называется такая сила, которая сообщает телу массой 1 (кг) ускорение 1 (м/с²).
44. Уравнениями Лагранжа второго рода называют дифференциальные уравнения движения механической системы, получаемые при применении лагранжева формализма.
Вид уравнений[править | править вики-текст]
Если голономная механическая система описывается лагранжианом (— обобщённые координаты, t — время, точкой обозначено дифференцированиепо времени) и в системе действуют только потенциальные силы, то уравнения Лагранжа второго рода имеют вид
где i = 1, 2, … n (n — число степеней свободы механической системы). Лагранжиан представляет собой разность кинетической и потенциальной энергий системы.
Если в системе действуют непотенциальные силы (например, силы трения), уравнения Лагранжа второго рода имеют вид
где — кинетическая энергия системы, — обобщённая сила.
Вывод уравнений[править | править вики-текст]
Уравнения Лагранжа в механике получаются из законов динамики Эйлера (баланса количества движения и момента количества движения) при определенных ограничениях на систему (в ней должны присутствовать лишь идеальные голономные связи). Для других случаев получаются модификации уравнений Лагранжа. Отметим, что это частный (хотя и очень важный) случай механических систем.
Если для рассматриваемой системы применим принцип наименьшего действия, то вывод можно провести иначе. В лагранжевой механике вывод уравнений Лагранжа происходит на основе принципа наименьшего действия. Механическая система может быть описана некой функцией , называемой лагранжианом. Лагранжиан - это разность кинетической и потенциальной энергий системы. Принцип наименьшего действия гласит, что функционал
называемый действием принимает минимальное значение на траектории системы (здесь t1 и t2 — начальный и конечный моменты времени). Заметим, что необходимо доказать применимость принципа наименьшего действия к рассматриваемой системе: далеко не все физические системы ему подчиняются. Применяя к функционалу действию стандартную схему оптимизации, получаем для него уравнения Лагранжа — Эйлера, которые и называются уравнениями Лагранжа второго рода для механической системы.
Вывод уравнений для системы с одной обобщенной координатой и скоростью
Изменение действия при переходе из состояния в
Разлагая эту разность по степеням
Варьируя это выражение, получаем:
Первое слагаемое заменяется по формуле Ньютона-Лейбница. Второе интегрируем по частям замечая что
Первое слагаемое равно нулю исходя из самой первой формулы вывода. Второе слагаемое может быть равно нулю только если подынтегральное выражение равно нулю. Оно и является искомым уравнением Лагранжа: