15Поступательное движение твердого тела

Поступательное движение твердого тела – это движение, при котором любая прямая, связанная с телом, при его движении остается параллельной своему начальному положению.

Примеры поступательного движения: движение педалей велосипеда относительно его рамы, движение поршней в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания относительно цилиндров, движение кабин колеса обозрения относительно Земли (рисунок 1.1) и т.д. 

Рис. 1.1

Теорема. При поступательном движении твердого тела траектории, скорости и ускорения точек тела одинаковы.

Доказательство. 

Если выбрать две точки твердого тела А  и В  (рисунок 1.2), то радиусы-векторы этих точек связаны соотношением

Траектория точки А  – это кривая, которая задается функцией r_A(t), а  траектория точки B – это кривая, которая задается функцией r_B(t). Траектория точки B получается переносом траектории точки A в пространстве вдоль вектора AB, который не меняет своей величины и направления во времени (AB = const). Следовательно, траектории всех точек твердого тела одинаковы.

Продифференцируем по времени выражение

Получаем

Рис. 1.2

Продифференцируем по времени скорость и получим выражение a_B = a_A. Следовательно, скорости и ускорения всех точек твердого тела одинаковы.

Для задания поступательного движения твердого тела достаточно задать движение одной из его точек:

48

17

18.. Условие равновесия произвольной пространственной системы сил

В аналитической форме: для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на три координатные оси и суммы моментов всех сил относительно этих осей были равны нулю

 ΣF_kx = 0,    ΣF_ky = 0,    ΣF_kz = 0,

 M_x(F_k) = 0,     M_y(F_k) = 0,    M_z(F_k) = 0.

19. Теорема о проекциях скоростей точек тела на линию, соединяющую эти точки

 

Один из таких методов дает тео­рема: проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу. Рассмотрим какие-нибудь две точки А и Вплоской фигуры (или тела). Принимая точку А за полюс (рис.32), получаем . Отсюда, проектируя обе части равенства на ось, направленную по АВ, и учитывая, что вектор  перпендику­лярен АВ, находим

и теорема доказана

20.

21.

22.. Кинетическая энергия вращательного движения твердого тела

Рассмотрим твердое тело, вращающееся с угловой скоростью  вокруг неподвижной оси. Будем рассматривать это тело как совокупность материальных точек с массами , через  обозначим расстояние от i-й материальной точки до оси вращения, тогда линейная скорость этой точки будет . Кинетическая энергия этой точки равна

.

Кинетическая энергия вращающегося тела складывается из кинетических энергий отдельных материальных точек, составляющих это тело:

.

Сумма в правой части этого соотношения  представляет собой момент инерции тела относительно оси вращения. Таким образом, кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна

.