- •Волжская государственная академия водного транспорта
- •Основные понятия из линейной алгебры и дифференциального исчисления.
- •В. Даль «Толковый словарь…» матричная азбука Основные определения и обозначения
- •Действия с матрицами
- •Определители матриц.
- •Таким образом, по определению для любого натурального n имеем
- •Свойства определителей
- •Обратная матрица
- •Ранг матрицы.
- •Решение систем
- •I. Метод обратной матрицы.
- •II. Правило Крамера.
- •III. Метод Гаусса
- •Векторная азбука Основные определение и обозначения
- •Линейные действия с векторами.
- •Базис и координаты.
- •Система координат «точечного» пространства.
- •Задача о делении отрезка в данном отношении.
- •Правило вычисления векторного произведения
- •Основные приложения векторного произведения
- •Смешанное произведение векторов.
- •Азы аналитической геометрии. Уравнения прямой на плоскости.
- •Угол между прямыми.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •Уравнения плоскости в пространстве.
- •Расстояние от точки до плоскости.
- •Уравнение прямой в пространстве.
- •Параметрические уравнения прямой –
- •Канонические уравнения прямой
- •Расстояние от точки до прямой
- •Замечания о взаимном расположении.
- •Кривые второго порядка.
- •Азбука дифференциального исчисления. Переменные величины.
- •Предел переменной
- •«Монотонная и ограниченная последовательность имеет предел»
- •Характеристический признак существования предела.
- •Сравнение бесконечно малых переменных величин.
- •Характеристическое свойство бесконечно малых
- •Непрерывность.
- •Асимптоты функции
- •Свойства непрерывных функций
- •Производные фоункции
- •Правило дифференцирования сложной функции
- •Дифференциал функции.
- •Арифметические свойства дифференциала
- •Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Приложения производных к исследованию функций.
- •Азы дифференциального исчисления функции нескольких переменных. Основные определения
- •Производные функции многих переменных.
- •Дифференцирование неявных функций
- •Дифференциал функции двух переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •Старшие производные
- •Экстремумы функций двух переменных.
- •Векторная функция скалярного аргумента
- •Задания к контрольной работе № 1
- •Задания на контрольную работу № 2
- •Литература
Уравнение прямой в пространстве.
Прямую (l), вложенную в д.с.к. пространства (рис. 17), как и в плоскости вполне определяют лежащая на ней точка М0 (х0,у0,z0) и ее направляющий вектор . Из равенства
и здесь определяющего условие принадлежности к этой прямой её «текущей точки» М (х,у,z) получим векторное уравнение прямой
и далее
Параметрические уравнения прямой –
;
Канонические уравнения прямой
уравнение прямой, проходящей через две точки М0 (х0,у0,z0) и М1 (х1,у1,z1) –
Однако можно подойти к определению прямой в пространстве совсем по другому и задать её как пересечение любых двух пересекающихся по ней плоскостей, то есть системой
- общие уравнения прямой.
Расстояние от точки до прямой
Расстояние d от точки М* (х*,у*,z*) до прямой (l), направляющим вектором и проходящей через точку М0 (х0,у0,z0) то есть прямой, заданной одним из своих уравнений (1), (2) или (3), может быть найдено как высота построенного на векторах ипараллелограмма с площадью, равной |х| (рис. 19). Значит имеет место формула
Пример: Написать уравнение прямой, проходящей через точки А (1,1,5) и В (3,2,7) и найти расстояние от точки С (1,0,15) до этой прямой.
Решение: Используя уравнение прямой проходящей через две точки, получаем
или
Последнее - уже каноническое уравнение прямой. Теперь по последней формуле находим:
Замечания о взаимном расположении.
Так как ориентацию прямых и плоскостей в пространстве вполне определяют соответствующие направляющие или нормальные векторы, то их взаимное расположение (параллельность, перпендикулярность и пр.) характеризуется с помощью этих векторов. В частности, для нахождения угла φ между плоскостями с известными нормальными векторами иможно использовать формулу
;
а для нахождения угла α между плоскостью с нормальным вектором и прямой с направляющим вектором«сгодится» формула
.
Пример: Будут ли плоскости 2х+3у-z+2=0 и 3х-у+9z-5=0
параллельны или перпендикулярны?
Решение: ине коллинеарные, а плоскости не параллельны
и плоскости перпендикулярны.
Кривые второго порядка.
Назовем кривой второго порядка множество точек «координированной» плоскости, координаты х и у которых удовлетворяют так называемому общему уравнению кривых второго порядка
Ах2 + Вху + Су2 + Dх + Еу + F = 0
Известно, что сменой системы координат - ее параллельным переносом (*) или (и) поворотом (**) когда координаты любой точки М ( (х', у') – «новые», а (х, у) – «старые») связываются формулами
; (*)
или
. (**)
это общее уравнение может быть преобразовано к одному из следующих так называемых «канонических» («образцовых») видов:
; (1) ; (2)
; (3) ; (4)
; (5) ; (6)
; (7) . (8)
Из них, очевидно, (7) определяет пару параллельных прямых; (6) - пару пересекающих прямых; (5) - точку (0,0) и (4) и (8) - «ничего» не определяют. Наконец, будем называть:эллипсом кривую, которая в некоторой д.с.к. определяется уравнением (1); гиперболой - кривую, которая в некоторой д.с.к. определяется уравнением (2) и параболой - кривую, которая в некоторой д.с.к. определяется уравнением (3). (За некоторую похожесть уравнений (8) и (4) на уравнения (7) и (1) их называют соответственно уравнениями пары мнимых параллельных прямых и уравнением мнимого эллипса). Итак, повторим ещё раз что
В первом случае а и в, (а>в) называют, соответственно, большой и малой полуосями, а число - фокусным расстоянием.
Во втором случае а и в называют соответственно действительной и мнимой полуосями, а фокусным расстоянием обзывают величину .
Точки F1 (-с, 0) и F2 (с, 0) в том и другом случае называют фокусами, величину - эксцентриситетом, а прямыеи- директрисами соответствующих эллипсов или гиперболы.
Важнейшими характеристиками гиперболы и только гиперболы являются так называемые асимптоты. Это прямые к которым сколь угодно близко приближаются точки гиперболы при неограниченном удалении их от начала координат.
Для параболы величины р именуется фокальным (не путать с фекальным) параметром, точка - фокусом, а прямая (d): 2 · х + р = 0 - директрисой параболы. При этом считается, что эксцентриситет всех парабол равен 1. Легко заметить, что величина р выражает расстояние от фокуса F до директрисы (d). Отметим, что точка О (0,0) принадлежит канонической параболе и называется ее вершиной.
Каждая из этих трех кривых обладает так называемым общими свойством:
Отношениерасстояний любой точки кривой дофокусак расстоянию до ближайшей
к этому фокусудиректрисы, есть
величина постоянная и
равная ε.
Обозначив через r1 и r2 расстояния от произвольной точки эллипса или гиперболы до фокусов F1 и F2 сформулируем их так называемые характеристические свойства
r1 + r2 = 2 · а - для эллипса
r1 - r2 = 2 · а - для гиперболы.
Приведение к каноническому виду иллюстрируют следующие
Примеры: 1. х2 + 4у2 + 4х – 24у = 0
Выделяя полный квадрат «при х и у» получаем
(х+2)2 + 4 · (у-3)2 = 40.
Поделив на 40, одновременно - полагая, х+2 = х'; у-3 = у', то есть перенося центр системы координат в точку О (-2,3), получаем
каноническое уравнение эллипса. Здесь
Аналогично для уравнения 2. 3х2 – у2 + 12х – 2у = 0 получаем
3 · (х-2)2 – (у+1)2 = 12 – 1; х – 2 = х'; у + 1 = у'; О'(2, - 1),
- каноническое уравнение гиперболы.