Система координат «точечного» пространства.

Будем называть декартовой прямоугольной системой координат «агрегат», состоящий из фиксированной точки О - начала координат и декартового базиса () этого “точечно – векторного” пространства. При этом ориентированные прямые, проходящие через О и со направленные с векторами базиса называются осями координат - осью абсцисс, ординат и аппликат соответственно. Обозначать такую систему мы будем символом О_xyz (О_xy). С каждой точкой М такого пространства свяжем вектор наименовав его радиус – вектором точки М. Декартовы координаты (х,у,z) вектораназываютсядекартовыми координатами точки М записывая это так: М (х,у,z). С помощью этого определения, с учетом основного свойства координат векторов, между прочим решается и обратная задача: по координатам начала М (х_М, у_М, z_М) и конца N(х_N, у_N, z_N) так называемого привязанного вектора его координаты находятся так:

= (х_N - х_М, у_N - у_М, z_N - z_М).

С помощью основного свойства решается и важная практическая задача как

Задача о делении отрезка в данном отношении.

По данному «отношению» , в котором точка С делит отрезок MN,

координаты концов М и N которого известны найти координаты «точки деления» С.

Решение этой задачи:

формулы деления отрезка в данном отношении вытекает из лекго доказываемого векторного равенста

Проекция вектора на вектор или ось

Проекцией вектора на вектор( или ось, со направленную с) назовем, обозначив её символом, число

=

где φ – угол между и.

Можно показать (смотри нижний рисунок), что

т.е. проекция линейной комбинации векторов равна линейной комбинации проекций этих векторов.

Произведение векторов.

Скалярное произведение.

Скалярным произведение векторов иназывается число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначив скалярное произведение символами ( ,) или·по определению, имеем (,) = || · || · cosφ

Можно показать, что скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1. ( ,) = (,); 2. (+) ·=+;

3.

Из них, частности, вытекает следующее

Правило вычисления скалярного произведения в декартовом базисе.

Для заданных в декартовом базисе {i¸ j¸ k} векторов = (х_а, у_а, z_а) и = (х_b, у_b, z_b)

Эту формулу используют, в частности, когда применяют

Основные приложения скалярного произведения

Последнее означает, что в декартовом базисе координаты вектора и соответствующие проекции - суть одно и тоже.

Пример. Для треугольника (рис.) с вершинами А (2,4,0)В (6,5,8), С (-4,6,3)

найти , где К - основание высоты.

Решение:

Векторное произведение

В

екторным произведением векторовиназывается новый вектор, наделенный свойствами:

1. его длина ; а значит численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах;

2. вектор перпендикулярен ки;

3. векторы ;иобразуют так называемую поворот первого «сомножителя»против часовой стрелки до совмещения со вторым вектор сомножителемвидится нам «с конца» векторакратчайшим, то есть (смотри рисунок) меньшим 180º.

Векторное произведение обозначается символамиили

и обладает свойствами:

1. = - ,

2. ,

3. .

Из этих свойств вытекает