Сравнение бесконечно малых переменных величин.

1. Скажем, что бесконечно малые переменные величины α и β это б.м. одного порядка малости если

& ∞

2. Скажем что α большего, чем β порядка малости если

.

3. Скажем что α и β - эквивалентные бесконечно малые, если

.

Обозначим последнее как α ≈ β.

Примерами “замечательных” эквивалентных бесконечно малых являются в частности пары: и,и, пристремящимся к нулю. Сведем их и некоторые другие наиболее распространенные эквивалентные б.м. в следующую таблицу.

Таблица замечательных эквивалентных бесконечно малых.

sin α ≈ α	ln (1+α) ≈ α
tg α ≈ α	ln а (1+α) ≈ αlna
arcsin α ≈ α	е^α – 1 ≈ α
arctg α ≈ α	а^α - 1 ≈ αlnа
π/2 - arccos α ≈ α	1 – cos α ≈ α^2 / 2

Характеристическое свойство бесконечно малых

Разность эквивалентных бесконечно малых есть бесконечно малая высшего, чем любая из них порядка малости.

Практически это свойтсво позволяет во многих случаях заменять при вычислении пределов одну бесконечно малую на эквивалентную ей другую бесконечно малую.

Примеры

1. ,

2. .

Непрерывность.

Как уже отмечалось, фукция у = (1+х)не определена в точке х₀ = 0, однако

,

то есть предел функции в этой точке существует. То же самое можно сказать и про функцию :- не существует, но

.

Поэтому если доопределить последню в точке х₀ = 0 значением 1, то есть считать что =1, то её “вполне” можно считать непрерывной. И вообще по определению

Функция непрерывна в точке х = х₀, если:

1. Существует ; 2. Существует;

3. = .

Для практической провекри функции на непрерывность первое условие делят на два:

1. а) существуют - (предел “слева”) и

1. б) существуют - (предел “справа”).

Тогда третье условие можно переписать так (рис. 1):

= =

Пример: Проверить на непрерывность в точке х =2 функцию

=

1, а) =,

1, б) == 10 – 6 = 4,

2. f(2)=10 – 6 = 4, 3) “4 = 4 = 4” значит наша функция в точке х₀ = 2 непрерывна.

В случае нарушения одного из перечисленных выше условий функция называется разрывной в точке х₀. Положив

- = R

для R≠ 0, ∞ будем говорить, что в точке х₀ функция имеет конечный разрыв или разрыв первого рода. Если R = 0, но f(x₀) не существует, то разрыв называют устранимым. Если R = + (-) ∞ (или бесконечны оба “односторонних” предела), то разрыв в точке называется бесконечным или разрывом второго рода.

С бесконечными разрывами (и вообще пределами) связаны такие важные характеристики функции, как асимптоты. Забегая вперед, поговорим о них здесь.

Асимптоты функции

Асимптотой кривой (графика (функции)) называется прямая, к которой сколь угодно близко приближаются точки кривой (графика) при неограниченном удалении их от начала координат.

Различают вертикальные и наклонные (горизонтальные в частности) асимптоты.

Прямая х – х₀ = 0 - вертикальная асимтота, если хоть один из то есть если х₀ - точка разрыва второго рода.

Если прямая у = к х + в наклонная асимтота, то можно показать, что её параметры к и в находятся по формулам

,

(если к = 0, то асимтота горизонтальна).

Найти асимптоты графика функций :

а) вертикальная асимтота х = 0 (точка разрыва). Действительно ;

б) для наклонной асимптоты

, .

Итак, у= х - наклонная асимптота. График функции и ее асимптоты показаны на рисунке.

Вернемся к разговору о непрерывности и скажем, что функция непрерывна на отрезке, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка (“в смысле” первого определения).

Для непрерывных как в точке, так и на отрезке функций имеют место следующие