Обратная матрица

Квадратные матрицы А и В называются взаимно обратными если

А·B=B·A=E

то есть если их произведение перестановочно и равно соответствующей единичной матрице.

Матрицу, обратную к данной принято обозначать той же буквой, помечая её верхним индексом «-1». Например А и А^-1, В и В^-1 и т.д.

Квадратная матрица называется невырожденной, если ёё определитель отличен от нуля.

Теорема: Любая невырожденная квадратная матрица имеет обратную.

Можно показать, что обратная матрица А^-1 получается из исходной невырожденной матрицы А следующим образом:

1. Вычисляются ∆ = det (А) ≠ 0, и все А^*_ij.

2. Составляется так называемая присоединенная матрица - матрица, состоящая из алгебраических дополнений А^*_ij к соответствующим элементам а^*_ij.

3. транспортируется, т.е. выписывается матрица^Т.

4. Матрица ^Т умножается на число 1/∆. Полученная матрица и будет обратной к матрице А. Таким образом

Примеры: 1. В = ,

∆ = А^*₁₁ = 8, А^*₁₂ = 5, А^*₂₁ = -3, А^*₂₂ = -2,

В^Т = , В^-1 = - =.

Проверка В^-1 · В = ·=.

2. С = , ∆ == -6,

С^Т = , С^-1 = -,

Проверка:

С^-1 · С = .

Ранг матрицы.

Введенное выше понятие минора является более общим, нежели детерминант понятием имеющим место, как для квадратных, так и для произвольных матриц. К таковым же относится и понятие базисного минораи, наконец,рангаматрицы. Как уже говорилосьминором k – го порядка(не путать с «дополнительным минором2!) называется определитель квадратной матрицы k – го порядка, «встроенной» в данную, т.е. матрицы состоящей из элементов которые расположены на пересечении выделенных k строк и k столбцов. Их иногда обозначают символами вида

,

где i_s (j_s) - номера выделенных строк (столбцов) данной матрицы. Например

А = ,,,

,.

Очевидно, что часть таких миноров отлична от нуля, а часть возможно и равна нулю. Так вот

Базисным минором называется любой такой минор, если он отличен от нуля, но все миноры высшего порядка равны нулю или не существуют. Наконец рангом матрицы, обозначаемым как Rang (А) называется порядок (размерность) такого базисного минора. Так, в последнем примере, Rang (А) = 2, так как имеется отличный от нуля минор второго порядка, но все четыре минора третьего порядка равны (проверь) нулю, а высшего чем три – не существует. Заметим здесь же, что ранг невырожденной квадратной матрицы равен ее порядку, так как ее базисный минор это её собственный определитель. Ранг же матрицы столбца (строки) равен 1. Отметим здесь также, что определитель так называемой треугольной матрицы k – го порядка, т.е. матрицы Т_k у которой t_ij=0, если i>j, но все t_ss≠0, равен (проверь) произведению диагональных элементов, а, следовательно, отличен от нуля и значит ранг её равен k.

Т_(k) =

Для нахождения ранга матрицы можно применить так называемые элементарные преобразования матриц не меняющие её ранга: это - перестановка строк (столбцов); умножение строки (столбца) на отличное от 0 число; прибавление к одной строке «линейной комбинации» остальных строк, т.е. последовательное или одновременное добавление к ней всяких других строк данной матрицы, предварительно умноженных на какие – либо числа. Матрицы, получаемые одна за другой с помощью таких преобразований, называют эквивалентными матрицами. Любая (m x n) матрица может быть преобразована с помощью цепочки таких элементарных преобразований в так называемую трапециевидную матрицу изображённую ниже. Это матрица Т_r у которой в левом верхнем углу встроена треугольная матрица k – го порядка, где k≤min {m¸n}, а все строк5и лежащие под k – ой строкой (если они существуют) целиком забиты нулями. Очевидно, что минор det (Т_k) базисный и ранг Т_r равен k.

Процедура приведения к такому виду состоит из нескольких шагов и заключается в следующем. Доля того чтобы на s – ом шаге (s = 1,2,...k) привести s-ый столбец к виду (*) то есть сделать все t_{s+r s}=0¸r= 1,2,...m-s; надо при а_ss≠0 (а «это» можно «организовать» перестановкой строк или столбцов) вычесть из s+r – ой строки s – ую строку, умноженную на λ = а_{r+s s}/а_{s s}. Описанная процедура нахождения ранга называется процедурой Гаусса.

Пример

Rang A₁ = Rang Tr₁ = 2