- •Волжская государственная академия водного транспорта
- •Основные понятия из линейной алгебры и дифференциального исчисления.
- •В. Даль «Толковый словарь…» матричная азбука Основные определения и обозначения
- •Действия с матрицами
- •Определители матриц.
- •Таким образом, по определению для любого натурального n имеем
- •Свойства определителей
- •Обратная матрица
- •Ранг матрицы.
- •Решение систем
- •I. Метод обратной матрицы.
- •II. Правило Крамера.
- •III. Метод Гаусса
- •Векторная азбука Основные определение и обозначения
- •Линейные действия с векторами.
- •Базис и координаты.
- •Система координат «точечного» пространства.
- •Задача о делении отрезка в данном отношении.
- •Правило вычисления векторного произведения
- •Основные приложения векторного произведения
- •Смешанное произведение векторов.
- •Азы аналитической геометрии. Уравнения прямой на плоскости.
- •Угол между прямыми.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •Уравнения плоскости в пространстве.
- •Расстояние от точки до плоскости.
- •Уравнение прямой в пространстве.
- •Параметрические уравнения прямой –
- •Канонические уравнения прямой
- •Расстояние от точки до прямой
- •Замечания о взаимном расположении.
- •Кривые второго порядка.
- •Азбука дифференциального исчисления. Переменные величины.
- •Предел переменной
- •«Монотонная и ограниченная последовательность имеет предел»
- •Характеристический признак существования предела.
- •Сравнение бесконечно малых переменных величин.
- •Характеристическое свойство бесконечно малых
- •Непрерывность.
- •Асимптоты функции
- •Свойства непрерывных функций
- •Производные фоункции
- •Правило дифференцирования сложной функции
- •Дифференциал функции.
- •Арифметические свойства дифференциала
- •Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Приложения производных к исследованию функций.
- •Азы дифференциального исчисления функции нескольких переменных. Основные определения
- •Производные функции многих переменных.
- •Дифференцирование неявных функций
- •Дифференциал функции двух переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •Старшие производные
- •Экстремумы функций двух переменных.
- •Векторная функция скалярного аргумента
- •Задания к контрольной работе № 1
- •Задания на контрольную работу № 2
- •Литература
Свойства непрерывных функций
1. Сумма и произведение непрерывных функций есть непрерывная функция.
2. Частное непрерывных функций есть непрерывная функция для всех точек в которых знаменатель отличен от нуля.
3. Функция непрерывная на отрезке: а ) ограничена; б) достигает на этом отрезке своих неибольшего и наименьшего значений; в) принимает на отрезке любое из промежуточных между своими наимельшим и наибольшем значение.
4. Если и- непрерывны функции, то их композиция - сложная (стоставнаяяя0 функция- также непрерывна на соответствующем отрезке.
Последнее свойство может быть объяснено (и доказано) с помощью определения непреывности в точке, переписанного в следующей форме:
Из перечисленных свойств следует, что непрерывнымси являются функции
, ,,и подобные.
Производные фоункции
Пусть переменная х например, (аргумент функции), имевшая некое начальное значение х0, приняла значения х. Разность х – х0 назовем приращением переменной (аргумента) ч в точке х0 обозначив его ∆ х. Итак, по определению
∆ х = х – х0.
Если функция у = f (х) определена как при х = х0, так и при х = х0 + ∆ х, то разность f (х0 + ∆ х) - f (х) ≡ ∆ у называют приращение функции у = f (х) в точке х = х0, которое отвечает приращению аргумента на ∆ х. Заметим, что как ∆ х, так и ∆ у могут быть как положительными, так и отрицательными величинами. Нетрудно увидеть, что если у = f (х) непрерывна в точке х0, то при ∆ х → 0 соответствующее ∆ у также стремится к нулю. Поэтому уверждение это принимается как второе определение непрерывности. Можно предположить, что величины ∆ у = f (х0 + ∆ х) – f (х) взятые для разных непрерывных в точке х0 функций и по “разному” вслед за ∆ х (“быстрее” или “медленее”), стремясь к нулю, несут в себе некую информацию о поведении функци в точке х0. Для выявления этой информации рассмотрим переменную величину и вычмслим ее предел при ∆ х → 0, обозвав этот предел производной функции. Итак
Производной
от функций у = f
(х) в точке х0
называют предел к которому стремится
приращение функции к приращению
аргумента, когда последний стремится
к нулю.
О бозначив проиводную одним из общепринятых символов у'(х);f' (х); ;, по определению имеем:
Отметим три самых важных “смысла” производной функций, имеющих некую физическую или геометрическую “суть”.
1. Пусть замкнутый интервал [a¸x] обозначает кусок метериального неоднородного по массе, достаточно (чтобы пренебречь толщиной) тонкого стержны - “отрезка [a¸b] (рис. 3), а m (х) - масса этого куска (очевидно, m (а) = 0). Тогда величина
согласно известному физическому определению выражает плотность массы этого неоднородного стержны в точке.
2. Пусть t – время, а S (t) - зависимостьпути прямолинейного движения от времени (S (0=). Тогда физически очевидно, что
выражает мгновенную скорость этого прямолинейного движения в данный момент времени.
3. Рассмотрим график (γ) функции у = f (х) и определим касательную к этому графику (и вообще кривой) как предельное положение секущей (М0, М), кодга М “бежит” к М0 по (γ), если такое “положение” существует и не зависит от “стороны” на (γ) по которой М бежит М0 (см. рис.).
Тогда, считая М имеет абсциссу х0 + ∆ х, и устремляя ∆ х к 0 (следи за рис. 4) имеем:
; .
Итак, из определения следует, что величина это угловой коэффициент касательной (р) к графику (γ) в точке М0. Отсюда уравнение этой касательной можно записать так:
Пример. Написать уравнения касательных к графику функции у = х2
а) в точке с абсциссой х = 3; б) в произвольной ее точке х0.
Итак, f (3) = 32, f (3+∆х)=(3+∆х)2. Тогда по определению
Таким обоазом, к = 6 и уравнение искомой касательной - у – 9 = 6 (х-3).
б) по определению
Таким образом, уравнение касательной к графику у = х2 в общем виде
у – х02 = 2 х0 · (х – х0).
По ходу решений примера сы выяснили, что производная функции х2 в любой фиксированной точке х (“без нолика”) равна 2х. Точно также можно показать, что (х3)' = 3 х2 и т.д.
Это наводит на мысль о том, что производная любой функций - это некая вполне определенная для нее функция. Поэтому, чтобы для вычисления производных - “по научному - дифференцирования” - не прибегать каждый раз к определению - вычислению “скучных” пределов вполне естественно составить список - таблицу производных самых распространённых - элементарных функций. Для примера:
1.
.
2.
Перед тем как продолжить составление таблицы, приведем несколько общих правил дифференцирования. Прежде всего из свойств пределов легко следует, что если - дифференцируемые функции, а С - константа, то
;
;
;
;
.
Это, так сказать, «арифметические» правила дифференцирования. Однако правилом наиважнейшим, позволяющим превратить дифференцирование в алгебраическое действие - «исчисление», а некотором смысле схожее, например, с операцией умножения десятичных чисел «столбиком» является