Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Математика 2013-2014 уч год к.р.1,2.doc
Скачиваний:
65
Добавлен:
10.06.2015
Размер:
4.83 Mб
Скачать

Векторная функция скалярного аргумента

Назвем вектор - функцией скалярного аргумента правило по которому каждому значению числовой (скалярной) переменной t ставится в соответствие единственный и четко определенный радиус вектор (см. рис.), записывая это так:

Ясно, что для того, чтобы задать вектор , достаточно задать три «скалярные» функции - координаты:, то есть

= ().

Естественно вектор называют приращением вектор - функции. Вектор

Называют производной вектор – функции скалярного аргумента.

Из свойств пределов и операций с координатами вектора следует, что

= ().

Кривая (траектория), которую описывает конец М радиус - вектор, называется годографом вектор - функции. Тогда, если трактовать t как время (а годограф - как траекторию движения), то вектор, очевидно, выражает вектор скорости движения «материализовавшейся» точки М вдоль соответствующего годографа.

Геометрически, и это следует из определения вектор направлен по касательной к годографу, почему каноническое уравнение касательной прямой к годографу («пространственной» кривой) с произвольной точкой касания можно записать в виде.

.

Рассмотрим «плоскую» вектор - функцию = ().

Тогда уравнения

которое определяют своеобразную зависимость «у от х» через «общий» аргумент t называют параметрическими уравнениями плоской кривой или уравнениями функции «у от х» «заданной параметрически». Естественно, и в этом случае можно говорить о производной «от у по х», то есть о . Можно показать, что она также является функцией заданной параметрически и определяется уравнениями

. (*)

Последнее уравнение здесь (в правой части - выражение «от t») и определяет параметрическую зависимость «у' от х». Эти же последние уравнения определяют и «методику» нахождения «старших» производных (второй, третьей и т.д.) от функции заданной параметрически. Нужно рассматривать каждую «предыдущую» производную, как «новую», параметрически заданную функцию, и записывать для нее соответствующие уравнения (*) как для «первой» производной.

Пример:

; ;;; .....

Задания к контрольной работе № 1

1. Решить систему тремя способами: а) с помощью обратной матрицы, б) по правило Крамера, в) с помощью процедуры Гаусса.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

21) 22)

23) 24)

25) 26)

27)

3. Для пирамиды А,В,С,D, координаты вершин которой заданы в таблице 2, найти: координаты и длины векторов ребер ,,угол ВАС, площадь гран (ВАС) и объём пирамиды; уравнения ребра (АD), грани (ВАС), а также высоту и длину высоты (DН).

Таблица 2

N

А

В

С

D

ха

уа

zа

хb

уb

zb

хс

ус

zс

хd

уd

zd

1

0

1

-1

6

-2

-3

4

5

-3

1

3,5

6

2

1

0

1

8

-2,5

0

4

4,5

0

2

4

9

3

1

-1

0

9

-5

-1

6

4,5

1

2

4

12,5

4

1

1

1

10

-4

0,5

4

3

1

3

2

7

5

-1

-1

-1

4

-1

-1

4

11,5

-2

1,5

-1

5

6

0

0

-1

7,5

-4

-1

2,5

6

-1

0,5

3

8

7

-1

0

0

5

-2,5

0

2

9

-0,5

-1

0

7

8

-1

0

-1

5

-3

-3

3

4

-3

0

2,5

6

9

0

-1

0

7

-3,5

-1

3

3,5

-1

1

3

8

10

0,5

0,5

0,5

8,5

-3,5

-0,5

5,5

6

-0,5

1,5

5,5

13

11

0,5

-0,5

0

9,5

-3,5

-0,5

3,5

3,5

0

2,5

2,5

6

12

0

0

0,5

5

0

0,5

5

12,5

-0,5

2,5

0

6,5

13

2

-1

-1

9,5

-5

-1

4,5

5

-1

2,5

2

8

14

1

-2

-1

7

-4,5

-1

4

7

-1,5

1

-2

6

15

0

-2

1

6

-5

-1

4

2

-1

1

0,5

8

16

0

0

-2

7

-2,5

-3

3

4,5

-3

1

4

6

17

0

-2

0

8

-6

-1

5

3,5

-1

1

3

12,5

18

1

0

1

10

-3

0,5

4

4

1

3

3

7

19

1

-1

0

6

-1

0

6

11,5

-1

3,5

-1

6

20

1

-1

1

8,5

-5

1

3,5

5

1

1,5

2

10

21

-1

-1

-1

5

-3,5

-1

2

8

-1,5

-1

-1

6

22

0

0

-1

6

-3

-3

4

4

-3

1

2,5

6

23

-1

0

0

6

-2,5

-1

2

4,5

-1

0

4

8

24

-1

0

-1

7

-4

-2

4

5,5

-2

0

5

11,5

25

0

-1

0

9

-4

-0,5

3

3

0

2

2

6

4. Построить кривые приведя их уравнения к каноническому виду

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

21) 22)

23) 24)

25)