- •Волжская государственная академия водного транспорта
- •Основные понятия из линейной алгебры и дифференциального исчисления.
- •В. Даль «Толковый словарь…» матричная азбука Основные определения и обозначения
- •Действия с матрицами
- •Определители матриц.
- •Таким образом, по определению для любого натурального n имеем
- •Свойства определителей
- •Обратная матрица
- •Ранг матрицы.
- •Решение систем
- •I. Метод обратной матрицы.
- •II. Правило Крамера.
- •III. Метод Гаусса
- •Векторная азбука Основные определение и обозначения
- •Линейные действия с векторами.
- •Базис и координаты.
- •Система координат «точечного» пространства.
- •Задача о делении отрезка в данном отношении.
- •Правило вычисления векторного произведения
- •Основные приложения векторного произведения
- •Смешанное произведение векторов.
- •Азы аналитической геометрии. Уравнения прямой на плоскости.
- •Угол между прямыми.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •Уравнения плоскости в пространстве.
- •Расстояние от точки до плоскости.
- •Уравнение прямой в пространстве.
- •Параметрические уравнения прямой –
- •Канонические уравнения прямой
- •Расстояние от точки до прямой
- •Замечания о взаимном расположении.
- •Кривые второго порядка.
- •Азбука дифференциального исчисления. Переменные величины.
- •Предел переменной
- •«Монотонная и ограниченная последовательность имеет предел»
- •Характеристический признак существования предела.
- •Сравнение бесконечно малых переменных величин.
- •Характеристическое свойство бесконечно малых
- •Непрерывность.
- •Асимптоты функции
- •Свойства непрерывных функций
- •Производные фоункции
- •Правило дифференцирования сложной функции
- •Дифференциал функции.
- •Арифметические свойства дифференциала
- •Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Приложения производных к исследованию функций.
- •Азы дифференциального исчисления функции нескольких переменных. Основные определения
- •Производные функции многих переменных.
- •Дифференцирование неявных функций
- •Дифференциал функции двух переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •Старшие производные
- •Экстремумы функций двух переменных.
- •Векторная функция скалярного аргумента
- •Задания к контрольной работе № 1
- •Задания на контрольную работу № 2
- •Литература
Расстояние от точки до прямой.
Расстояние d от точки до прямой (см. рис.), заданной общим уравнениемможет быть найдено по формуле
Пример: В треугольнике (рис.) с вершинами О(0,0), А(12,5) и В (6,8) найти уравнение сторон, высоты (В, К) биссектрисы (О, Е) угол , длину (В, К)
Решение: Используя (5), получим
или ;
или ;
или ;
Так как (В, К) (А, О), то (24,3) .
Отсюда получаем (В, К) у – 8 = или 12х + 5у – 112 = 0. Для нахождения уравнения (О ,Е) найдем координаты точки Е, используя то, что Е (конец биссектрисы) делит отрезок ВА в отношении . Так как длины |ОВ| = 10; |ОА| = 13, тои по формуле деления отрезка в данном отношении получаем.
Отсюда, опять используя уравнения прямой проходящей через две точки, получаем уравнение (О, Е) : 7х – 9у = 0. По последней формуле для угла между прямыми - θ = - имеем
Наконец длину высоты найдем используя формулу расстояния точки В до прямой (О, А) : .
Уравнения плоскости в пространстве.
Плоскость (Р), вложенную в д.с.к. пространства (рис. 14), вполне определяют лежащая на ней фиксированная точка М0 (х0,у0,z0) и любой ее так называемый нормальный вектор , перпендикулярный (Р). Условием принадлежности текущей точки М (х,у,z) (рис. 14) этой плоскости (Р) является равенство переписанное в виде
(1, а)
или (1,б)
оно именуется как векторное уравнение плоскости. Расписав в координатной форме (1,а) и (1,б) последовательно, получим: уравнение плоскости с нормальным вектором ,содержащей точку М0 (х0,у0,z0) –
А
· (х-х0)
+ В · (у-у0)
+ С · (z-z0)
= 0
; (2)
и общее уравнение плоскости –
А
· х + В · у + С · z + D = 0
: (3)
Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние d от точки М* (х*,у*,z*) до плоскости (рисунок ниже), заданной общим уравнением
А
· х + В · у + С · z + D = 0
может быть найдено по формуле
Пример:
Найти: уравнение плоскости (Р0) (рис), содержащей точки А (1,1,1); Е(5,-1,1) и С(5,0,0); расстояние от D(6,2,2) до этой плоскости и уравнение плоскости (Р1), которая параллельна (Р0) и содержит точку D.
Решение: Возьмем сначала
Сжав его в два раза получим . Отсюда используя соответствующее уравнение плоскости получаем
(Р0): (х-1)+2(у-1)+2(z-1) = 0 или х+2у+2z –5=0
(Р1) : (х-6)+2(у-2)+2(z-2) = 0 или х+2у+2z-14=0
Теперь по формуле для расстояния от точки до плоскости расстояние D до (Р0):
/