- •Волжская государственная академия водного транспорта
- •Основные понятия из линейной алгебры и дифференциального исчисления.
- •В. Даль «Толковый словарь…» матричная азбука Основные определения и обозначения
- •Действия с матрицами
- •Определители матриц.
- •Таким образом, по определению для любого натурального n имеем
- •Свойства определителей
- •Обратная матрица
- •Ранг матрицы.
- •Решение систем
- •I. Метод обратной матрицы.
- •II. Правило Крамера.
- •III. Метод Гаусса
- •Векторная азбука Основные определение и обозначения
- •Линейные действия с векторами.
- •Базис и координаты.
- •Система координат «точечного» пространства.
- •Задача о делении отрезка в данном отношении.
- •Правило вычисления векторного произведения
- •Основные приложения векторного произведения
- •Смешанное произведение векторов.
- •Азы аналитической геометрии. Уравнения прямой на плоскости.
- •Угол между прямыми.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •Уравнения плоскости в пространстве.
- •Расстояние от точки до плоскости.
- •Уравнение прямой в пространстве.
- •Параметрические уравнения прямой –
- •Канонические уравнения прямой
- •Расстояние от точки до прямой
- •Замечания о взаимном расположении.
- •Кривые второго порядка.
- •Азбука дифференциального исчисления. Переменные величины.
- •Предел переменной
- •«Монотонная и ограниченная последовательность имеет предел»
- •Характеристический признак существования предела.
- •Сравнение бесконечно малых переменных величин.
- •Характеристическое свойство бесконечно малых
- •Непрерывность.
- •Асимптоты функции
- •Свойства непрерывных функций
- •Производные фоункции
- •Правило дифференцирования сложной функции
- •Дифференциал функции.
- •Арифметические свойства дифференциала
- •Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Приложения производных к исследованию функций.
- •Азы дифференциального исчисления функции нескольких переменных. Основные определения
- •Производные функции многих переменных.
- •Дифференцирование неявных функций
- •Дифференциал функции двух переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •Старшие производные
- •Экстремумы функций двух переменных.
- •Векторная функция скалярного аргумента
- •Задания к контрольной работе № 1
- •Задания на контрольную работу № 2
- •Литература
«Монотонная и ограниченная последовательность имеет предел»
Классическим примером, которым можно проиллюстрировать признак Вейерштрасса, яаляется последовательность
.
Выстраивая члены этой последовательности в “ряд” замечаем (и это можно строго доказать), что ее члены монотонно возрастают и ограничены “сверху” числом 3. Следовательно, она имеет предел. Этот называется Эйлеровым числом и обозначается буквой. Заметим попутно, что логарифм любового числапо основаниюназывается натуральным логарифмом и обозначается. Итак, по определению
=
Последнее выражение часто называют вторым замечательным пределом. Введя новую переменную , второй замечательный предел можно переписать так:
Эту запись читается так: “предел функции у = (1+х) в точке х0 = 0 равен ”. Заметим, что фукция здесь не определена в точке х0 = 0. “Обозвав” “дельта окрестностью точки х0” интервал (х0 – δ, х0 + δ) и обозначив этй окрестность символом δокр (х0) определим lim f (х) в очке х0 так
Число
А называется пределом функции f (х)
в точке х0
(при х→х0),
если по любому ε> 0 найдется такая
δокр
(х0)
будет выполнять неравенство |f(x)
- А|<ε
Этот факт записывается так:
Если под окрестностностью понимать интервал (к,), то приведенное определение “годится” и для случая, что “разрешает” запись
.
Примеры: 1. ; 2., 3..
Последний пример, приведенный здесь без доказательства, называется первым замечательным пределом. Заметим (второй и третий примеры), что переменные истремятся к 0, то есть
и .
Назовем такие переменные, имеющие пределом ноль, бесконечно малыми (б.м.) переменными величинами. Их обычно обозначают греческими буквами - α, β, γ,... Из определения предела переменной (последовательности, функции) следует так называемый
Характеристический признак существования предела.
Для
того чтобы число А являлось пределом
переменной у, необходимо и достаточно
чтобы переменная была представима
в виде у
= А +
где
- бесконечно малая переменная
величина.
Свойства бесконечно малых.
Конечная сумма бесконечно малых есть бесконечно малая.
Произведение бесконечно малых на величину ограниченную есть бесконечно малая.
С их помощью можно доказать
Свойства переменных, имеющих предел
lim ( х + у) = lim х + lim у,
lim ( х · у) = lim х · lim у,
.
Если переменная в процессе изменения делается и остается больше любого задуманного положительного числа М, то она называется бесконечно большой переменной, что записывается так:
lim у = ∞
Соответственно уточняются понятия
Очевидно, что величины обратные бесконечно малым положительным переменными будут бесконечно большими переменными и наоборот.
Свойства бесконечно больших.
Сумма бесконечно больших переменных величин есть бесконечно большая переменная величина.
Произведение бесконечно больших п.в. на величину ограниченную есть бесконечно большая переменная величина.
Однако, если х и у бесконечно большие п.в., а α и β бесконечно малые п.в., то ничего заранее нельзя сказать про значения:
; ;;
; ;.
Эти “не найденные” значения обозначают “неопределенностями” м обозначают соответственноКроме них есть еще одна “замечательная” неопределенность, обозначаемая символом. Это “ещё” на найденный, где.
К ней относился бы и второй замечательный предел: до его вычисления. Проиллюстрируем правила раскрытия неопределенностей несколькими примерами:
1.
2.
,
3.
.
Заметим, что мы во всех примерах использовали “арифметические” свойства пределов лишь после уничтожения всех неопределенностей.
Введем ещё несколько практически важных понятий. Прежде всего опишем