- •Волжская государственная академия водного транспорта
- •Основные понятия из линейной алгебры и дифференциального исчисления.
- •В. Даль «Толковый словарь…» матричная азбука Основные определения и обозначения
- •Действия с матрицами
- •Определители матриц.
- •Таким образом, по определению для любого натурального n имеем
- •Свойства определителей
- •Обратная матрица
- •Ранг матрицы.
- •Решение систем
- •I. Метод обратной матрицы.
- •II. Правило Крамера.
- •III. Метод Гаусса
- •Векторная азбука Основные определение и обозначения
- •Линейные действия с векторами.
- •Базис и координаты.
- •Система координат «точечного» пространства.
- •Задача о делении отрезка в данном отношении.
- •Правило вычисления векторного произведения
- •Основные приложения векторного произведения
- •Смешанное произведение векторов.
- •Азы аналитической геометрии. Уравнения прямой на плоскости.
- •Угол между прямыми.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •Уравнения плоскости в пространстве.
- •Расстояние от точки до плоскости.
- •Уравнение прямой в пространстве.
- •Параметрические уравнения прямой –
- •Канонические уравнения прямой
- •Расстояние от точки до прямой
- •Замечания о взаимном расположении.
- •Кривые второго порядка.
- •Азбука дифференциального исчисления. Переменные величины.
- •Предел переменной
- •«Монотонная и ограниченная последовательность имеет предел»
- •Характеристический признак существования предела.
- •Сравнение бесконечно малых переменных величин.
- •Характеристическое свойство бесконечно малых
- •Непрерывность.
- •Асимптоты функции
- •Свойства непрерывных функций
- •Производные фоункции
- •Правило дифференцирования сложной функции
- •Дифференциал функции.
- •Арифметические свойства дифференциала
- •Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Приложения производных к исследованию функций.
- •Азы дифференциального исчисления функции нескольких переменных. Основные определения
- •Производные функции многих переменных.
- •Дифференцирование неявных функций
- •Дифференциал функции двух переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •Старшие производные
- •Экстремумы функций двух переменных.
- •Векторная функция скалярного аргумента
- •Задания к контрольной работе № 1
- •Задания на контрольную работу № 2
- •Литература
Правило дифференцирования сложной функции
В «старых» учебниках его еще называют «цепным» правилом. Итак если у = f (u), а u = φ (х), то есть
у = f (φ (х))
сложная - составная функция (композиция функций) то
где , после вычисления рассматривается приu = φ (х).
Примеры:
. Здесь у = u2; u=sin x. Тогда
.
. Теперь . Тогда
.
Отметим, что мы здесь брали «разные» композиции из одних и тех же функций, и результат дифференцирования естественно оказался зависимым от порядка «смешивания».
Цепное правило естественным образом распространяется и на композицию из трех и более функций. При этом «звеньев» в «цепочке», составляющей производную будет соответственно три или более. Здесь и аналогия с умножением: «у нас» - таблица производных; «там» - таблица умножения; «у нас» - цепное правило а «там» - правило умножения «столбиком». При вычислении таких «сложных» производных никаких вспомогательных аргументов (u¸v и пр.), конечно же, не вводится, а, отметив для себя число и последовательность участвующих в композиции функций, «нанизывают» в указанном порядке соответствующие звенья.
Примеры:
. Здесь с «иксом» для получения значения «игрека» проделывают пять операций , то есть, имеет место композиция из пяти функций: «внешняя» (последняя из них) - показательная - е ; далее в обратном порядке степенная . (♦)2; тригонометрическая sin (); степенная. ()3 и наконец логарифмическая ln.(). Поэтому
.
Следующими примерами будем «убивать пары зайцев»: потренируемся в дифференцировании сложных функций и дополним таблицу производных элементарных функций. Итак:
4. Для степенной функции - у = хα - переписав её с помощью известного «основного логарифмического тождества» - b=e ln b - в виде хα = хα ln x получаем
.
5. Для произвольной показательной функции применяя тот же приём будем иметь
.
6. Для произвольной логарифмической функции используя известную формулу перехода к новому основанию последовательно получаем
.
7. Чтобы продифференцировать тангенс (котангенс) воспользуемся правилом дифференцирования частного:
.
Для получения производных обратных тригонометрических функций воспользуемся соотношением которому удовлетворяют производные двух взаимообратных функций, то есть функций φ (х) и f (х) связанных соотношениями:
Вот это соотношение
Именно из этой формулы для взаимно обратных функций
и ,
, получаем
Под конец сведём эти и некоторые другие, так же легко получаемые производные, в следующую таблицу.
1. |
|
8. |
|
2. |
|
9. |
|
3. |
|
10. |
|
4. |
|
11. |
|
5. |
|
12. |
|
6. |
|
13. |
|
7. |
|
14. |
|