14. 7.1 Сущность и задачи уравнивания

В любом геодезическом построении измеряются k необходимых величин, которых достаточно для отыскания неизвестных нам параметров. Например, в сети триангуляции достаточно знать один базис и по два угла в каждом треугольнике сети. Обработав эти измерения, можно получить координаты искомых пунктов.

Рисунок 7.1 – Схема триангуляционной сети с необходимыми измерениями

k = 10 – необходимые измерения;

r = 0 – избыточные измерения;

п = 10

Кроме того, измеряются еще r избыточных (дополнительных) величин. Например, в сети триангуляции измеряются выходной (последний в сети) базис и все третьи углы в треугольниках.

k = 10 – необходимые измерения;

r = 6 – избыточные измерения;

п = 16

Рисунок 7.2 - Схема триангуляционной сети с необходимыми и избыточными измерениями

Все измерения n = k + r элементов сети сопровождаются погрешностями (случайными и систематическими) и результаты измерений не удовлетворяют математическим соотношениям между ними. Например, сумма измеренных углов в треугольнике отличается от 180⁰.

Элементы геодезического построения связаны между собой различными геометрическими условиями, которые можно записать в виде:

,

где x_i (i = 1, n) – истинные значения элементов сети;

_j– функциональная зависимость между элементами сети (j = 1, r).

Эти условия называются условными уравнениями связи. При подстановке в условные уравнения измеренных значений х₁, х₂, …, х_п элементов сети получаем невязки:

.

Если невязки w_j не превышают допустимого значения, то измерения считаются выполненными правильно, надежно, с достаточной точностью. В этом случае измерения уравниваются для устранения невязок w_j, определения уравненных значений x_i* элементов сети и оценки их точности. Это и является основными задачами уравнивания. По результатам уравнивания вычисленные параметры приобретают лишь одно значение:

,

а невязки устраняются, т.е.:

.

Определение поправок в результаты измерений v₁, v₂, …, v_n производится при условии:

.

Т.е. уравнивание методом наименьших квадратов сводится к отысканию таких поправок в результаты измерений, которые при условии дают уравненные значения элементов x_i* = x_i + v_i (i = 1, n).

7.2 Параметрический способ уравнивания

Параметрический способ основан на использовании функциональной связи между элементами X_i (i = 1, n) геодезических построений (длин линий, углов и превышений) и независимыми между собой параметрами Y_j (j = 1, k) геодезических построений (координатами и высотами пунктов) т.е.:

X_i = f (Y₁, Y₂, …, Y_k),

где X_i (i = 1, n) и Y_j (j = 1, k) – истинные значения элементов Х и параметров Y геодезических построений.

При параметрическом способе уравнивания вначале составляется система параметрических уравнений поправок:

А Т + L = V,

где А – матрица коэффициентов параметрических уравнений поправок;

Т – вектор искомых поправок к предварительным значениям параметров;

L – вектор свободных членов уравнений поправок;

V – вектор поправок к измеренным значениям элементов сети.

При этом коэффициенты a_ij уравнений поправок определяются по формуле:

.

Свободные члены уравнений поправок вычисляются по формуле:

l_i = f (y₁, y₂, …, y_k) – x_i,

где x_i – измеренные значения элементов сети;

у_j – предварительные значения параметров.

При известной весовой матрице Р система параметрических уравнений поправок приводится к системе нормальных уравнений:

(A^TPA) T + (A^TPL) = 0.

Отсюда находим:

Т = - (А^ТРА)^-1 (A^TPL),

Y* = Y + T,

X* = X + V,

V = AT + L.

Контролем уравнивания является:

X* = f_i (Y*).