15. 7.3 Коррелатный способ уравнивания

Коррелатный способ основан на использовании функциональной связи между собой элементов геодезических построений X_i (i = 1, n). Эти уравнения связи называются условными уравнениями:

При коррелатном способе уравнивания вначале составляется система условных уравнений AV + W = 0,

где А – матрица коэффициентов системы условных уравнений;

V – вектор поправок в измеренные значения элементов сети;

W – вектор невязок условных уравнений.

При этом коэффициенты a_ij условных уравнений поправок определяются по формуле:

а невязки уравнений – по формуле:

где x_i (i = 1, n) – измеренные значения элементов геодезических построений.

При известной весовой матрице Р вначале вычисляют обратную весовую матрицу Q = P^-1, а затем от системы условных уравнений переходят к системе нормальных уравнений:

(AQA^T) K + W = 0.

Определив коррелаты К = - (AQA^T) W, вычисляют поправки V = QA^TK и уравненные значения измеренных элементов сети x* = x + v,

где х* – вектор уравненных значений;

х – вектор измеренных значений элементов геодезических построений.

8 Коррелатный способ уравнивания триангуляции

8.1 Виды условных уравнений в триангуляции при коррелатном способе уравнивания

Рассмотрим условные уравнения, возникающие при уравнивании углов триангуляции. При этом углы редуцированы на плоскость проекции Гаусса-Крюгера и исправлены за центрировку прибора и редукцию визирных целей.

8.1.1 Условие фигур. Сумма измеренных углов в замкнутой фигуре (например, в треугольнике) должна быть равна теоретической.

Рисунок 8.1 – Условие фигур

*₁ + *₂ + *₃ – 180⁰ = 0

v_1 + v_2 + v_3 + w = 0

w = *₁ + *₂ + *₃ – 180⁰

8.1.2 Условие суммы углов (условие станции). Условие возникает при измерении на станции углов между смежными направлениями и углов, являющихся суммой измеренных углов.

Рисунок 8.2 – Условие суммы углов

*₁ + *₂ - *₃ = 0

v_1 + v_2 - v_3 + w = 0

w = *₁ + *₂ - *₃

8.1.3 Условие горизонта. Возникает в случаях, когда на станции измерены углы с замыканием горизонта.

Рисунок 8.2 – Условие горизонта

*₁ + *₂ + *₃ + *₄ + *₅ – 360⁰ = 0

v_1 + v_2 + v_3 + v_4 + v_5 + w = 0

w = *₁ + *₂ + *₃ + *₄ + *₅ – 360⁰

8.1.4 Условие полюса (боковое условие). Полюсное условие заключается в требовании, чтобы длина стороны, вычисленная двумя независимыми путями из решения треугольников сети, имела одно и тоже значение.

Рисунок 8.4 – Условие полюса

Примем, что _i =  lg sin _i – изменение lg sin _i при увеличении угла _i на 1”.

Рисунок 8.5 – Частный случай условия полюса

8.1.5 Условие исходных дирекционных углов (азимутальное условие). Условие возникает в сети, в которой две или более сторон сети имеют значения дирекционных углов, не подлежащие изменению при уравнивании.

_BD = _AC - *₁ + *₂ - *₃ + *₄ - *₅ + *₆

-v_1 + v_2 - v_3 + v_4 - v_5 + v_6 + w = 0

w = - *₁ + *₂ - *₃ + *₄ - *₅ + *₆ - (_BD - _AC)

Рисунок 8.6 – Условие исходных дирекционных углов

При этом выбор ходовой линии не имеет значения. Частный случай:

v_1 + v_2 + v_3 + w = 0

w = - *₁ + *₂ + *₃ - (_AC - _AB)

Рисунок 8.7 – Частный случай условия исходных дирекционных углов

8.1.6 Условие базисов возникает в случаях, когда в сети имеется две или более сторон, длины которых не подлежат изменению в процессе уравнивания. Условие базиса заключается в требовании, чтобы длина одной исходной стороны, полученная от другой исходной стороны решением треугольников совпадала с заданным ее значением.

Рисунок 8.8 – Условие базисов

_{Частный случай:}

Рисунок 8.9 – Частный случай условия базисов

8.1.7 Условие координат возникает в том случае, если в сети имеется два и более разобщенных между собой исходных пункта с координатами, не подлежащими изменению при уравнивании. Для составления уравнений координат из сети выделяют простую и наиболее короткую цепь треугольников, соединяющих два исходных пункта.

Рисунок 8.10 – Условие координат

,

где - приращения координат по ходовой линии.



С учетом малости поправок и можем записать:

,

,

где - вычисленные приращения координат по неуравненным значениям S_i и _i.

Произведем замену:

,

где  lg S_i – изменение lg S_i, соответствующее поправке и выраженное в единицах 6-го знака логарифма;

М = 0,43429 – lg e – модуль натуральных логарифмов.

Следовательно:

.

Подставим эти уравнения в исходные условные уравнения и получим:

,

где - невязки в приращения координат.

Выразим длины и дирекционные углы ходовой линии через измеренные углы треугольников сети триангуляции:

Из этого следует, что _i и S_i независимы, так как _i вычисляются через промежуточные углы c_i, а стороны S_i вычисляются при помощи связующих углов a_i и b_i. Независимость поправок _i и S_i существенно упрощает составление условных уравнений координат. Определим поправки:

₁ = – v_c1

₂ = – v_c1 + v_c2

₃ = – v_c1 + v_c2 – v_c3

₄ = – v_c1 + v_c2 – v_c3 + v_c4

 lg S₁ = a₁ v_a1 - b₁ v_b1

 lg S₂ = {a_i v_ai - b_i v_bi}

 lg S₃ = {a_i v_ai - b_i v_bi}

 lg S₄ = {a_i v_ai - b_i v_bi}

Здесь a_i =  lg sin a₁

b_i =  lg sin b₁

Подставляя _i и  lg S_i в условные уравнения получим в окончательном виде:

уравнение абсцисс:

(X_B - X_A)·{a₁ v_a1 - b₁ v_b1} + k·(Y_B - Y_A)·v_c1 +

+ (X_B - X_A)·{a₂ v_a2 - b₂ v_b2} + k·(Y_B - Y_A)·v_c2 +

+ (X_B - X_A)·{a₃ v_a3 - b₃ v_b3} + k·(Y_B - Y_A)·v_c3 +

+ (X_B - X_A)·{a₄ v_a4 - b₄ v_b4} + k·(Y_B - Y_A)·v_c4 +

+ 434,29·w_X = 0

уравнение ординат

(Y_B - Y_A)·{a₁ v_a1 - b₁ v_b1} + k·(X_B - X_A)·v_c1 +

+ (Y_B - Y_A)·{a₂ v_a2 - b₂ v_b2} + k·(X_B - X_A)·v_c2 +

+ (Y_B - Y_A)·{a₃ v_a3 - b₃ v_b3} + k·(X_B - X_A)·v_c3 +

+ (Y_B - Y_A)·{a₄ v_a4 - b₄ v_b4} + k·(X_B - X_A)·v_c4 +

+ 434,29·w_Y = 0

где ;

v_ai, v_bi, v_ci – поправки в измеренные углы;

x_i, y_i – приближенные координаты в км;

a_i, b_i – изменения lg sin a_i и lg sin b_i, выраженные в шестом знаке lg;

M = 0,43429;

 = 206265”.