9.4 Составление уравнений погрешностей

Вывод уравнений погрешностей при уравнивании триангуляции по направлениям сводится к установлению зависимости между поправками координат и поправками измеренных направлений. Ранее после дифференцирования уравнения

_{получено уравнение}

_.

Дифференцируя исходное уравнений tg  = f (x, y) получим:



Учитывая, что x_i – x_k = S_k-i · cos _k-i

y_i – y_k = S_k-i · sin _k-i

где S_k-i – длина стороны между пунктами i-k находим

Для получения  _k-i в секундах необходимо правую часть уравнения умножить на ”. Если S_k-i выражено в километрах, то для получения  x и  y в дециметрах в уравнении

принимаем  = 20,6265”.

Тогда обозначая

получим уравнение:

 _k-i = a_k-i  x_k + b_k-i  y_k – a_k-i  x_i – b_k-i  y_i.

В этом уравнении пункты k и i являются определяемыми. Т.к. поправки в исходные координаты не вводятся, то если пункт і является исходным, то:

 _k-i = a_k-i  x_k + b_k-i  y_k .

Если оба пункта являются исходными, то  _k-i = 0.

Таким образом, мы получили так называемые непреобразованные уравнения погрешностей, в которых неизвестными являются поправки  x и  y к приближенным значениям координат x’ и y’ определяемых пунктов и ориентирные поправки  z:

1. измеренному направлению с исходного пункта k на исходный пункт i соответствует уравнение:

-  z_k + l_k-i = v_k-i.

2. измеренному направлению с определяемого пункта k на исходный пункт i соответствует уравнение:

-  z_k + a_k-i  x_k + b_k-i  y_k + l_k-i = v_k-i.

Направлению с исходного пункта i на определяемый пункт k соответствует уравнение:

-  z_k + a_k-i  x_k + b_k-i  y_k + l_i-k = v_i-k.

3. измеренному направлению с определяемого пункта k на определяемый пункт i соответствует уравнение:

-  z_k + a_k-i  x_k + b_k-i  y_k – a_k-i  x_i – b_k-i  y_i + l_k-i = v_k-i.

Веса всех преобразованных уравнений погрешностей равны между собой, т.е. направления измерены равноточно. Число уравнений погрешностей равно общему числу измеренных направлений, включая и направления между исходными пунктами. Число неизвестных равно 2 р + q, где р – количество определяемых пунктов; q – количество отнаблюденных пунктов, равное числу поправок  z.

При уравнивании триангуляции по углам уравнения погрешностей получают как разности из уравнений для соответствующих направлений. Например, в пункте k между направлениями на пункты i и j имеем уравнения погрешностей для направлений:

-  z_k + a_k-i  x_k + b_k-i  y_k – a_k-i  x_i – b_k-i  y_i + l_k-i = v_k-i

-  z_k + a_k-j  x_k + b_k-j  y_k – a_k-j  x_j – b_k-j  y_j + l_k-j = v_k-j.

Для угла _k = _k-j - _k-i получим:

(a_k-i – a_k-j)  x_k + (b_k-i – b_k-j)  y_k – a_k-j  x_j – b_k-j  y_j + a_k-i  x_i – b_k-i  y_i + l_ = v_.,

где l_ = l_k-j – l_k-i = (’_k-j - ’_k-i) - _k.

При этом число уравнений погрешностей равно числу измеренных углов, а число неизвестных – удвоенному числу определяемых пунктов.