2.2. Теоретичні положення:

Процеси теплопровідності, за якими температурне поле змінюється з часом, називаються неусталеними або нестаціонарними. Температурне поле (просторова зміна температури) ― це сукупність миттєвих значень температури в усіх точках тіла або системи тіл в даний момент. Температурне поле, що описується рівнянням t=f(x, y, z, ) (де t ― температура, x, y, z ― просторові координати,  ― час), називається нестаціонарним. В цьому випадку температура в кожній точці тіла змінюється з часом.

Нестаціонарні процеси теплопровідності відбуваються при нагріванні або охолодженні тіл, речовин, газових середовищ і супроводжуються зміною ентальпії. Нестаціонарний та стаціонарній процесі нагріву тіла за рахунок внутрішнього джерела теплоти, електричного нагрівача, розглядаються в лабораторній практиці визначення теплофізичних властивостей матеріалів, тіл речовин і де охолодження відбуватися за рахунок оточуючого повітря. Для таких процесів зміну температурного поля в часі можливо поділити на такі стадії:

― перша стадія відповідає початку процесу нагрівання ― поширенню теплових збурень. На цій стадії швидкість зміни температури в тілі неоднакова і залежить від початкового розподілу температур, відповідно його температурне поле має більшу напруженість біля нагрівача. Такий режим називається нерівноважним. Нерівноважним можна вважати також початок охолодження, але з тою різницею, що збурення виникають з одного боку за рахунок продовження прогріву матеріалу з іншого охолодження за рахунок зовнішнього середовища.

― З часом швидкість зміни температури в середині тіла стає постійною величиною, але ще не досягнуто поверхнею тіла температури нагрівача. Енергія з постійною інтенсивністю проходить крізь тіло і виходить на зовні. При цьому в тілі рівномірно, за певною залежністю зростає температура та значення різниці температур по товщині t теж залишається постійним . За цими умовами маємо зв’язок з проходженням теплоти за рахунок теплопровідності та процесом накопиченням енергії тілом, пов’язаний з теплоємністю та густиною (об’ємною теплоємністю с=с’, Дж/(кг К)) тіла

Такий режим зміни температурного поля називають регулярним. Регулярним режимом можливо вважати і процес охолодження тіла за рахунок оточуючого середовища, через певний час після вимкнення електронагрівача.

― Після тривалого часу внутрішнього нагріву (теоретично нескінченно великого часу) настає стаціонарний режим, за яким не відбувається зміни температурного поля в тілі в часі. При припиненні нагрівання з середини можливе досягнення стану рівноваги, коли температура всередині тіла дорівнює температури довкілля.

До рішення задач нестаціонарної теплопровідності входять визначення зміни температурного поля і кількості теплоти, що отримує тіло за час . Ці задачі вирішуються розв’язанням диференціального рівняння теплопровідності спільно з умовами однозначності. Умови однозначності ― це математичний опис особливостей конкретного процесу.

Диференціальне рівняння теплопровідності Фур'є ― Кірхгофа має загальний вид:

(2.1)

де ― комплекс теплофізичних властивостей, який характеризує швидкість зміни температури у часі та у просторі, тому він має назву ― температуропровідність;  ― час процесу; ― оператор Лапласа.

Комплексним вимірюванням та визначенням теплофізичних характеристик ТФХ (властивостей ТФВ), таких як об’ємна теплоємність с, теплопровідність  і температуропровідність а, в промисловості та наукових дослідженнях надається перевага. Бо вони дозволяють одночасно визначати ТФХ для матеріалу за однакових параметрів тиску, температури, вологості, неоднорідності та засипки матеріалу тощо порівняно, що до окремих вимірювань цих властивостей. Для комплексних вимірювань ТФХ використовуються умови для нестаціонарного ― регулярного режиму першого та другого роду, які мають загальну властивість ― незалежність від часу відношення густини теплового потоку q в будь якій точці тіла до густини теплового потоку на його поверхні q_п:

Співвідношення для одномірних задачах теплопровідності згаданих умов, справедливе за наявністю постійного джерела теплоти та регуляризації кінетики нагрівання, чи охолодження за сталих зовнішніх умов, яка відбувається не тільки за температурними полями, а й за тепловими потоками і тому їх можна не поділяти на першого та другого роду, а розглядати як регулярний режим.

Закон Фур'є (див. лабораторну роботу № 1) справедливий як для стаціонарного, так і нестаціонарного режиму перенесення теплоти, але в останньому випадку треба враховувати також здатність матеріалу накопичувати чи втрачати енергію, тобто його теплоємність. Диференціальне рівняння для сферичної стінки має такий вигляд:

(2.2)

Для розв'язання рівнянь типу (2.1) найчастіше застосовують граничні умови третього роду, коли відома температура навколишнього середовища t_п (повітря) та інтенсивність його взаємодії з поверхнею тіла, тобто коефіцієнт тепловіддачі :

(2.4)

де t_с ― температура на поверхні тіла (стінки).

Навіть для найпростіших умов (коли с, ρ, λ, , t_п ― є незмінними величинами) розв’язок диференціальних рівнянь теплопровідності є сумою нескінченного ряду членів, кожний з яких має коефіцієнти з характеристичного рівняння, що має відповідно нескінченне число рішень. Для порожнистої кулі це рішення наведене у праці [1]. Однозначно перетворити його відносно величин λ, с, чи а неможливо, тому вдаються до методів теорії подібності. В нашому випадку рівняння подібності має такий вигляд:

(2.5)

де ― відносна надлишкова температура, або температурний критерій,

(2.6)

де відповідно t ― поточна та t₀ ― початкова температура в будь-якій точці, і t_п ― температура оточуючого повітря (виміряна неподалік від дослідного об’єкта на стенді);  ― відношення внутрішнього та зовнішнього радіусів кульового прошарку, Fo―безрозмірний час процесу, або число Фур'є:

(2.7)

Ві ―число подібності граничних умов, або число Біо ―

(2.8)

де λ ― теплопровідність матеріалу, що визначили на початку досліду. Сумарна або складна тепловіддача вроботівизначається за емпіричною формулою :

(2.9)

де ― середня температура зовнішнього прошарку в зазначений час вимірювань.

Графічне розв'язання рівняння (2.5) показано на рис. 2.1 для внутрішнього прошарку сферичної оболонки ( r₁ = 0,130/2 = 0,065 м). Ця номограма дає можливість визначати число Фурьє: в якусь мить часу  вимірюють температури t_п, , , обчислюють значення відносної надлишкової температури , йдуть по горизонталі до обчисленого значення Ві та опускаються на вісь Fo, за яким в подальшому визначають температуропровідність а прошарку матеріалу:

(2.10)

Об'ємну теплоємність сρ можна визначити за регулярним режимом 1 роду, для якого логарифм надлишкової температури  = t – t_п змінюється з часом за лінійним законом. Тобто ця температура зменшується з часом за експоненціальним законом:

де m ― має назву темп охолодження та характеризує швидкість охолодження.

Величина m є додатною і має постійне значення, та визначається розмірами і формою тіла, значеннями теплових параметрів: а, , с,  та умовами теплообміну, t_п і .

Рис.2.1. Графік для визначення відносної надлишкової температури в центрі кулі.

Темп охолодження визначають за графіком (рис.2.2), вибираючи досить довгий лінійний відрізок за різні моменти часу₁ та ₂ та розраховують за рівнянням:

(2.11)

Диференційне рівняння Фур’є заміняємо балансовим рівняння теплоти:

В свою чергу темп охолодження пов’язаний з коефіцієнтом тепловіддачі та об’ємною теплоємність с рівнянням:

―перша теорема Кондратьєва, (2.12)

де (2.13)

відповідно зовнішня поверхня кулі та її об'єм ; ψ ― коефіцієнт нерівномірності температурного поля тіла, відношення середніх надлишкових температур поверхні та об'єму тіла. Цей коефіцієнт є функцією числа Біо; для кулі ця залежність наведена на рис. 2.3.

2.3. Лабораторна установка та вимірювальні прилади використовуються ті самі, що і під час виконання лабораторної роботи № 1 (рис.1.1). Для створення рівномірного температурного поля у прошарку на початку досліду, при попередньому нагріванні, кулю ізолюють від навколишнього середовища. Додатковим приладом є лише секундомір.