3.2. Наибольшее и наименьшее значения функции

Наибольшим значением функции называ­ется самое большое, а наименьшим значением — самое меньшее из всех ее значений.

Функция может иметь только одно наибольшее зна­чение и только одно наименьшее значение или может не иметь их совсем.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывных функций основывается на следующих свой­ствах этих функций:

1) если в некотором открытом промежутке a<.х<b (конечном или бесконечном) функция y=f(x) непрерыв­на и имеет только один экстремум и если это максимум, то он и является наибольшим значением функции, а ес­ли минимум — наименьшим значением функции в этом промежутке;

2) если функция y=f(x) непрерывка на отрезке а  х  b, то она обязательно имеет на этом отрезке наи­большее и наименьшее значения. Эти значения достигаются ею либо в точках экстремума, лежащих внутри отрезка, либо на концах этого отрезка.

Поэтому, чтобы найти наи­большее и наименьшее значения функции на отрезке ахb, где она непрерывна, следует:

1) найти экстремумы функции на данном отрезке;

2) найти значения функции на концах отрезка: f (a) и f(b);

3) из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 19. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке –2 x  4.

Решение. 1. Найдем экстремумы функции, для чего найдем производную функции и критические точки 1 рода из условия у' =0:

y =0 при x₁=0, x²-2x-3=0, D = b²-4ac,

D = 4-4 (-3) = 16, x = (24) / 2, x₂ = -1, x₃ = 3.

Отметим критические точки 1 рода х = -1, x=0, x = 3 на числовой прямой.

Исследуем знак производной в каждом из получен­ных интервалов: у'=(-2)<0, у' (-0,5) >0, y (l)<0, y (4)>0. Таким образом,

y_max = y(0) = 2;

2. Найдем значения функции на концах отрезка:

Так, наибольшее значение функции у_наиб= у (-2) = а наименьшее значение функцииу_наим= у (3) =

3.3. Вогнутость. Точки перегиба

Направление вогнутости и точки пере­гиба кривой: Говорят, что на промежутке а<х<b кривая обращена выпуклостью вверх или выпукла (), если она лежит ниже касательной, проведенной в любой ее точке.

Говорят, что на промежутке b<х<с кривая обраще­на выпуклостью вниз или вогнута (), если она лежит выше касательной, проведенной в любой ее точке.

Точкой перегиба непрерывной кривой называется точ­ка А, при переходе через которую, кривая ме­няет свою вогнутость на выпуклость или наоборот.

Достаточное условие выпуклости (вогнутости) кривой: Гра­фик дифференцируемой фун­кции y=f(x) является вы­пуклым на промежутке а<х<b, если вторая про­изводная функция отрица­тельна в каждой точке это­го промежутка: f”(х)<0 при а<х<b.

График дифференцируемой функции y=f(x) явля­ется вогнутым на промежутке b<х<с, если вторая про­изводная функции положительна в каждой точке этого промежутка: f"(x)>0 при b<х<с.

Точки, в которых вторая производная функции равна нулю, или бесконечности, или не существует, называют­ся критическими точками II рода.

Если при переходе через критическую точку II рода х=x₀ вторая производная функции меняет знак, то х=x₀  абсцисса точки перегиба. Ордината точки пере­гиба равна значению функции в точке x₀. Точка (x₀, f(x₀))  точка перегиба графика функции y=f(x). Чтобы найти направление вогнутости и точки переги­ба кривой, следует:

1) найти область определения функции;

2) найти вторую производную функции и критичес­кие точки II рода;

3) отметить границы области определения и крити­ческие точки II рода на числовой прямой.

4) исследовать знак второй производной в каждом из полученных интервалов;

5) записать промежутки выпуклости и вогнутости, абсциссу точки перегиба и вычислить ее ординату.

Пример 20. Определить направление вогнутости и точки перегиба кривой у=х⁴+2х³-12х²-5х+2.

Решение. 1. Областью определения функции слу­жит множество всех действительных чисел, т.е. xR.

2. Найдем вторую производную функции и критиче­ские точки II рода из условия у"=0:

у = 4х³+23х²-122х-5 = 4х³+6х²-24^х-5;

у" = 43х²+62х-24 = 12x²+12x-24;

y" = 12 (х²+х-2);

у" = 0 при x²+x-2 = 0,

х₁ = -2, х₂ = 1.

3. Отметим критические точки II рода х = -2 и х=1 на числовой прямой.

4. Исследуем знак второй производной в каждом из полученных интервалов: у"(-3)>0, у"(0)>0, у"(2)>0.

5. Кривая вогнута при х<-2 и х>1, кривая выпук­ла при –2 <х< l;

х_т.п.= -2, у_т.п.=у(-2) = 16-28-124+52+2 = -36;

х_т.п.= 1, у_т.п.= у(1) = 1+2-12-5+2 = -12.

Точки перегиба: (-2, -36), (1, -12).