2. Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма: Если функция y=f(x) определена и дифференцируема на интервале (a,b) и достигает в точке с(a,b) своего наибольшего или наименьшего значения, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е.

Геометрический смысл теоремы Ферма заключается в том, что касательная параллельна оси О_х.

Теорема Ролля: Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема х(a,b) и f(a)=f(b), тогда существует точка х=с(a,b), в которой

Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в том, что в (a,b) найдется точка, в которой касательная параллельна оси О_х (угловой коэффициент обращается в ноль).

Теорема Лагранжа: Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема х(a,b), тогда существует точка х=с(a,b), такая, что выполняется условие

Геометрический смысл теоремы Лагранжа заключается в том, что на любой дуге гладкой кривой найдется точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей дугу.

Теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля.

Теорема Коши: Пусть функции y=f(x) и y=g(x) непрерывны, определены на отрезке [a,b] и дифференцируемы х(a,b). Пусть также тогда существует точка х=с(a,b), такая, что для нее выполняется условие .

Правило Лопиталя: Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки х₀ (за исключением, быть может, ее самой), причем . Тогда еслиили, то

при условии, что предел правой части существует. Это правило применимо и в том случае, когда x.

Пример 16. Вычислить предел

Решение. Здесь имеет место неопределенность вида . Применяем правило Лопиталя.

3. Приложения производной

3.1. Условие возрастания и убывания функции. Экстремум функции

Условие постоянства функции: Диффе­ренцируемая функция y=f(x) постоянна на промежутке Х тогда и только тогда, когда f (x) = 0 внутри X.

Условие возрастания функции: Диффе­ренцируемая функция y=.f(x) монотонно возрастает на промежутке Х тогда и только тогда, когда ее производ­ная не отрицательна внутри этого промежутка: f (x)  0, причем производная f' (x) обращается в нуль в конечном числе точек, лежащих внутри промежутка X.

Это условие геометрически означает, что касательная к графику монотонно возрастающей функции образуете положительным направлением оси Ох острый угол или параллельна ей.

Условие убывания функции: Дифференци­руемая функция y=f(x) монотонно убывает на проме­жутке Х тогда и только тогда, когда ее производная не положительна внутри этого промежутка: f (x)  0, при­чем производная f' (x) обращается в нуль в конечном числе точек, лежащих внутри X.

Это условие геометрически означает, что касательная к графику монотонно убывающей функции образует с положительным направлением оси Ох тупой угол или параллельна ей.

Экстремумы функции. Говорят, что функция y=f(x) имеет максимум в точке х₁ (рис. 26), если зна­чение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках, достаточно близких к x₁, т.е. если f(x₁+х) < f (х₁) для любых х, как положительных, так и отрицательных, но достаточно малых по модулю. Таким образом, x=x₁  точка максимума, a y_мах = f (x₁)  максимум функции.

Говорят, что функция y = f (x) имеет минимум в точ­ке х₂, если значение функции в этой точке мень­ше, чем ее значения во всех точках, достаточно близких к х₂, т.е. если f (х₂+х) > f (x₂) для любых х, как поло­жительных, так и отрицатель­ных, но достаточно малых по модулю. Таким образом, х=х₂  точка минимума, а у_min = f (x₂)  минимум функции.

Если в некоторой точке функция имеет максимум или минимум, то говорят, что в этой точке имеет место экст­ремум. Значение функции в этой точке называется экст­ремальным.

Замечание: Следует помнить: 1) что максимум (минимум) не является обязательно наибольшим (наи­меньшим) значением, принимаемым функцией; 2) функ­ция может иметь несколько максимумов или минимумов; 3) функция, определенная на отрезке, может достигать экстремума только во внутренних точках этого отрезка.

Необходимое условие экстремума: Если функция y=f(x) имеет экстремум при х=х₀, то ее про­изводная. в этой точке равна нулю или бесконечности ли­бо вовсе не существует, при этом сама функция в точке х₀ определена.

Из этого следует, что точки экстремума функции сле­дует разыскивать только среди тех, в которых ее пер­вая производная равна нулю, или бесконечности, или не существует. Эти точки называются критическими точка­ми I рода.

Этот признак экстремума является только необходи­мым. Поэтому, определив критические точки I рода, на­до каждую из них в отдельности исследовать на основа­нии достаточных условий экстремума.

Первое достаточное условие существования экстремума функции: Пусть точка х = х₀ является критической точкой 1 рода функции y=f(x), а сама функция дифференцируема во всех точ­ках некоторого промежутка, содержащего эту точку (за исключением, возможно, самой этой точки). Тогда:

1) если при переходе слева направо через критическую точку 1 рода х=х₀ первая производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция достигает максимума, т.е. х=х₀  точка максимума, y_max = f (x₀);

2) если при переходе слева направо через критиче­скую точку 1 рода х=х₀ первая производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке функция достигает минимума, т. е. х=х₀  точка минимума, y_min = f (х₀);

3) если при переходе че­рез критическую точку 1 рода первая производная не меняет знака, то в этой точке экстремума нет.

Для исследования функции на экстремум по первой производной следует:

1. Найти область определения функции.

2. Найти первую производную функции и критические точки 1 рода.

3. Отметить границы области определения и крити­ческие точки 1 рода на числовой прямой.

4. Исследовать знак производной в каждом из полу­ченных интервалов.

5. Выписать точки экстремума и вычислить экстрему­мы функции.

Пример 17. Найти экстремумы функции у= (1-х²)³.

Решение. 1. Областью определения функции слу­жит множество всех действительных чисел, т.е. хR.

2. Функция имеет производную всюду, поэтому опре­деляем критические точки из условия f (x)=0. Нахо­дим производную:

у = 3(1-х²)² (1-х²) = 3(1-х²)² (-2х) = -6х (1-х²)²;

у = 0, -6х (1-х²)² = 0, х₁ = 0, х₂ = -1, х₃ = 1.

3. Отмечаем эти критические точки на числовой пря­мой.

4. Исследуем знак производной у' = -6х (1-х²)² в каждом из полученных интервалов: у' (-2) > 0, у (-0,5) > 0, у(0,5) < 0, y (2) < 0.

5. Точка х=0  точка максимума, так как при пе­реходе через нее слева направо производная меняет знак с плюса на минус: у_max = у(0) = l. Точки х = -1 и х = 1 не являются точками экстремума.

Второе достаточное условие существования экстремума функции: Если в точке х=х₀ первая производная функции равна нулю (f' (х₀) = 0), а вторая производная отлична от нуля, то х=х₀  точка экстремума.

При этом если вторая производная в этой точке поло­жительна (f”(x₀) > 0), то х=х₀  точка минимума; если вторая производная в этой точке отрицательна (f"(х₀) < 0), то х=х₀  точка максимума.

Для исследования функции на экстремум по первой и второй производной следует:

1. Найти область определения функции.

2. Найти первую производную функции и стационар­ные точки, т. е. точки, в которых она обращается в нуль.

3. Найти вторую производную функции и исследовать ее знак в каждой стационарной точке.

4. Выписать точки экстремума и вычислить (если нужно) экстремумы функции.

Пример 18. Найти экстремумы функции f (x)=x³-3х²+1.

Решение. 1. Областью определения функции слу­жит множество всех действительных чисел, т.е. хR.

2. Функция имеет производную всюду, поэтому кри­тические точки определяем из условия f'(x)=0:

f (x) =3x²-6x, f (x) = 0, 3x²-6x=0, 3x(x-2)=0, x₁=0, x₂=2.

3. Находим вторую производную функции f" (x) = 6х-6. Исследуем знак второй производной в каждой критической точке; f” (0) = -6 < 0; значит, х=0  точ­ка максимума, у_max=у(0)=1;

f"' (2)=6>0, значит, х=2  точка минимума, y_min= у(2) =2³-32²+1 = 8-12+1 = -3.