Вопросы и упражнения для самопроверки

1. Что называется множеством?

2. Приведите примеры множеств.

3. Перечислите основные операции над множествами.

4. Что называется отображением?

5. Приведите примеры отображения.

6. Что называется функцией?

7. Приведите пример функции.

8. Перечислите числовые множества.

2. Пределы и непрерывность функции

Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число a_n, то говорят, что задана числовая последовательность {a_n}: a₁,a₂, … a_n …

Число А называется пределом числовой последовательности {a_n}, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа >0, найдется такой номер N (зависящий от , N=N()), что для всех членов последовательности с номерами n>N верно неравенство a_n-A<. Обозначается

Число А называется пределом функции у=f(x) при х, стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа >0, найдется такое положительное число S>0 (зависящее от , S=S()), что для всех х таких, что х>S, верно неравенство: f(x)-A<. Обозначается

Число А называется пределом функции у=f(x) при х, стремящемся к х₀, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа >0, найдется такое положительное число S>0 (зависящее от , S=S()), что для всех х, не равных х₀ и удовлетворяющих условию х-х₀<S выполняется неравенство f(x)-A<. Обозначается .

Переменная х может стремиться к х₀, оставаясь меньше х₀, что записывается в виде х х₀-0, или, оставаясь больше х₀, что записывается в виде х х₀+0.

Предел называется пределомфункции у=f(x) при х, стремящемся к х₀ слева, а предел - пределомфункции у=f(x) при х, стремящемся к х₀ справа.

Функция (х) называется бесконечно малой величиной при хх₀, или при х, если ее предел равен нулю:

Свойства бесконечно малых величин.

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая.

3. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

Функция называется бесконечно большой величиной при хх₀, если для любого, даже сколь угодно большого положительного числа М>0, найдется такое положительное число S>0 (зависящее от М, S=S(M)), что для всех х, не равных х₀ и удовлетворяющих условию х-х₀<S, будет верно неравенство: f(x)>M.

Свойства бесконечно больших величин.

1. Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая.

2. Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая.

3. Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел в точке х₀, есть величина бесконечно большая.

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами:

Теорема: Если функция (х) есть бесконечно малая величина при хх₀ (х), то функция f(x)=1/(х) является бесконечно большой при хх₀ (х). И обратно, если функция f(x) бесконечно большая при хх₀ (х), то f(x)=1/(х) есть величина бесконечно малая при хх₀ (х).

Основные теоремы о пределах.

1. Функция не может иметь более одного предела.

2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е.

3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е.

4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций. (В0)

5. Если , то предел сложной функции

6. Если в некоторой окрестности точки х₀ f(x)<(x), то

Признаки существования предела.

Теорема 1: Если числовая последовательность {a_n} монотонна и ограниченна, то она имеет предел.

Теорема 2: Если в некоторой окрестности точки х₀ (или при достаточно больших значениях х) функция f(x) заключена между двумя функциями (х) и (х), имеющими одинаковый предел А при хх₀ (или х), то функция f(x) имеет тот же предел А.

Первым замечательным пределом называется

Второй замечательный предел: или

Пример 5. Найти

Решение:

Пример 6. Найти

Решение:

Непрерывность функции.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если она удовлетворяет следующим трем условиям: 1) определена в точке х₀ (т.е. существует f(x₀)); 2) имеет конечный предел функции при хх₀; 3) этот предел равен значению функции в точке х₀ т.е. .

Точка х₀ называется точкой разрыва функции f(x), если эта функция в данной точке не является непрерывной. Точка разрыва первого рода – когда существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при хх₀, не равные друг другу, модуль разности между односторонними пределами слева и справа точек разрыва первого рода называют скачком функции. Точка разрыва второго рода – когда хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует. К точкам первого рода относятся также точки устранимого разрыва, когда предел функции при хх₀ существует, но не равен значению функции в этой точке. У точек устранимого разрыва скачок функции равен нулю.