Вопросы и упражнения для самопроверки.

1. Какое действие называется интегрированием?

2. Какая функция называется первообразной для функции f (х) ?

3. Дайте определение неопределенного интеграла.

4. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.

5. Каким действием можно проверить интегрирование?

6. Напишите основные формулы интегрирования (табличные интегралы).

7. Найдите интегралы:

а) б)в)г)д)

е) ж)з)

О т в е т ы. 7. а) б)в)г)д)е)ж)з)

2. Определенный интеграл

2.1. Понятие определенного интеграла. Свойства

Пусть функция f(х) определена на отрезке ахb. Допустим для простоты, что функция f(х) в указанном промежутке неот­рицательна и а<b. Разобьем этот отрезок на п частей точками a=x_o<x₁<x₂<...<x_n=b. На каждом из час­тичных отрезков x_i-1xx_i (i=l, 2, 3, ..., п) возьмем произвольную точку c_i и составим сумму:

где х_i=x_i-x_i-1. Эта сумма носит название интеграль­ной суммы функции f(x) на отрезке axb.

Геометрически каждое слагаемое инте­гральной суммы равно пло­щади прямоугольника с ос­нованием х_i, и высотой f(c_i), а вся сумма равна пло­щади «ступенчатой фигуры», получающейся объединени­ем всех указанных выше прямоугольников.

Очевидно, что при все­возможных разбиениях от­резка ахb на части по­лучим различные интегральные суммы, а следовательно, и различные «ступенчатые фигуры».

Будем увеличивать число точек разбиения так, что­бы длина наибольшего из отрезков x_i-1xx_i стреми­лась к нулю. Во многих случаях при таком разбиении интегральная сумма будет стремиться к некоторому ко­нечному пределу, не зависящему ни от способа, каким выбираются точки деления x_i, ни от того, как выбира­ются промежуточные точки c_i.

Этот предел и называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке ахb.

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке ахb называется предел, к которому стремится ин­тегральная сумма при стремлении к нулю длины, наи­большего частичного интервала. Он обозначается символом и читается «интеграл ота до b от функции f(x) по dx» или, короче, «интеграл от а до b от f(x) dx». По определению,

Число а называется нижним пределом интегрирова­ния, число b — верхним; отрезок axb — отрезком ин­тегрирования.

Заметим, что всякая непрерывная на отрезке axb функция f(x) интегрируема на этом отрезке.

Если интегрируемая на отрезке axb функция f(x) неотрицательна, то определенный интеграл численно равен площади S криволинейной трапецииаАВb, ограниченной графиком функции y=f(x), осью абсцисс и прямыми х=а и х=b (рис. 1), т. е. S=. В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.

Основные свойства определенного интеграла.

Все свой­ства сформулированы в предположении, что рассматри­ваемые функции интегрируемы в соответствующих про­межутках.

1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

= 0.

2. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный:

=  .

3. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

=+, гдеa<c<b

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

=.

5. Интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же алгебраической сумме интегралов от всех сла­гаемых:

=.