1.5. Ранг матрицы

В матрице А размера mxn вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы k-го порядка, где k min(m;n). Определители таких подматриц называются минорами k-го порядка матрицы А.

Например, из матрицы А_3х4 можно получить подматрицы первого, второго и третьего порядков.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Ранг матрицы А обозначается rang(A), или r(А).

Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие:

1. Отбрасывание нулевой строки (столбца).

2. Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.

3. Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4. Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

5. Транспонирование матрицы.

Теорема: Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к так называемому ступенчатому виду.

Матрица А называется ступенчатой, если она имеет вид:

, где а_ii0, i=1,2,…,r; rk.

В матрице А обозначим ее строки следующим образом:

е₁=(a₁₁a₁₂…a_1n), e₂=(a₂₁a₂₂…a_2n),…, e_m=(a_m1a_m2…a_mn)

Строка е называется линейной комбинацией строк е₁,е₂,…,e_m матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа: е=k₁e₁+k₂e₂+…+k_me_m ,где k₁, k₂,…,k_m

Строки матрицы е₁,е₂,…,e_m называются линейно зависимыми, если существуют такие числа k₁, k₂,…,k_m не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке: k₁e₁+k₂e₂+…+k_me_m=0 , где 0=(00…0).

Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных.

Теорема о ранге матрицы: Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные строки (столбцы).

2. Системы линейных уравнений

2.1. Основные понятия и определения

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

(1)

где а_ij, b_i (i=1,..,m; j=1,2,…,n) – произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Запишем систему (1) в матричной форме. Обозначим:

; ;

где А – матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы, Х – матрица-столбец переменных; В – матрица-столбец свободных членов.

Запишется в виде: А*Х=В (2)

Теорема Кронекера-Капелли: Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

1). Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r=n, то система (1) имеет единственное решение.

2). Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. r<n, то система (1) неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

2.2. Метод Крамера

Теорема (Крамера): Пусть  - определитель матрицы коэффициентов при переменных, а _i – определитель матрицы, полученный из матрицы  заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если 0, система имеет единственное решение и находится по формулам:

(j=1,2,…,n)

Пример 5. Решить систему уравнений методом Крамера:

Решение: ищем определитель основной матрицы

т.к. 0 система определена и имеет единственное решение.

где

₁- определитель, полученный из основной матрицы тем, что вместо первого столбца берется столбец свободных членов.

₂- определитель, полученный из основной матрицы тем, что вместо второго столбца берется столбец свободных членов.

₃- определитель, полученный из основной матрицы тем, что вместо третьего столбца берется столбец свободных членов.

X₁=-14/14=-1, x₂=14/14=1, x₃=0/14=0

проверка:

ответ: х₁=-1, х₂=1, х₃=0.