4.2. Частные производные

Если u=f(x,y,z), есть функция нескольких, например трех, независимых переменных x, y, z непрерывная относительно каждой из них, то могут существовать производные от одной функции по x, у, z, которые носят название «частных производных» и обозначаются:

и или u_x, u_y, u_z ; при нахождении частной производной, например по х, переменные y, z берем как постоянные.

Пример 3. Найти частные производные функции u=xy.

Решение. Эта функция зависит от двух аргументов x и y, поэтому для нее можно найти две частные производные: по переменной х и по переменной у. Находим полагая при этом, что у сохраняет постоянное значение:

Находим , теперь полагаем, что х сохраняет постоянное значение:. Таким образом,и=х

4.3. Частный дифференциал и полный дифференциал

Произведение частной производной на приращение независимого переменного, или дифференциал независимого переменного, называется частным дифференциалом. Обозначаются частные дифференциалы так: ии т.д.

Сумма частных дифференциалов функций по всем независимым переменным называется полным дифференциалом:

Пример 4. Полный дифференциал для функции u=xy имеет вид: .

Необходимое условие экстремума. Если функция z=f(x,y) имеет максимум или минимум в точке (х₀,у₀), то ипри этих значениях х и у.

Пример 5. Найти экстремум функции z=x²+xy+y²-3x-6y.

Решение. Находим частные производные: ;

Воспользовавшись необходимым условием экстремума, находим стационарные точки:

, откуда находим х=0, у=3; М(0,3)

Вопросы и упражнения для самопроверки.

1. Дайте определение дифференциала функции.

2. Чему равен дифференциал независимой перемен­ной (аргумента)?

3. По какому правилу находят дифференциал функ­ции?

4. Найдите дифференциалы функций: а) у=(2х²-1) (3-5х²); б) v = ln sin³ 2.

5. Частные производные. Частный и полный дифференциал.

6. Найти частные производные функции z=x³y²-2xy³.

7. Найти частные производные функции z=ln(x²+2y³)

8. Найти полный дифференциал функции z=(1+x²)^y

IV. Интегральное исчисление

1. Неопределенный интеграл

1.1. Понятие неопределенного интеграла. Свойства

Напомним, что дифференцирование — это действие, с помощью которого по данной функции находится ее производная или диф­ференциал. Например, если F(x)=x⁵, то F' (x)=5x⁴, dF (x)=5x⁴ dx.

Как мы знаем, нахождение производной имеет боль­шое практическое значение. Так, по данному закону дви­жения тела s=s(t) мы путем дифференцирования нахо­дили скорость v(t)=s_t, а затем и ускорение a(t)=s_t по данному уравнению кривой y=f(x) определяли угло­вой коэффициент касательной, проведенной к этой кри­вой: k=f' (x).

На деле, однако, часто приходится решать обратную задачу: по известной скорости движения тела устанав­ливать закон его движения, по данному угловому коэф­фициенту касательной к кривой находить уравнение этой кривой и т. п., иначе говоря, по данной производной отыскивать функцию, от которой найдена эта производ­ная, т. е. выполнять действие, обратное дифференцирова­нию. Это действие называется интегрированием. С помощью интегрирования по данной производной или диф­ференциалу функции находится сама функция. Напри­мер, если F' (x) =9x⁸, то F (x)=x⁹, так как (x⁹)' =9x⁸.

Дифференцируемая функция F (x), a<x<b называ­ется первообразной для функции f(x) на интервале а<х<b, если F' (x) = f(x) для каждого а<х<b.

Так, для функции f(x)=cos x первообразной служит функция F(x)=sin x, поскольку (sin x) =cos x.

Для заданной функции ее первообразная определяет­ся неоднозначно.

Справедлива теорема: если F (x)  первообразная для f (x) на некотором промежутке, то и функция F (x) + С, где С  любая постоянная, также является первооб­разной для функции f (x) на этом промежутке. Обратно: каждая функция, являющаяся первообразной для f (x) в данном промежутке, может быть записана в виде F (x) + C.

Значит, достаточно найти для данной функции f (x) только одну первообразную функцию F(x), чтобы знать все первообразные, так как они отличаются друг от друга только на постоянную величину.

Совокупность F (х) + С всех первообразных функций f(x) на интервале a<.x<.b называют неопределенным ин­тегралом от функции f(x) на этом интервале и пишут Здесьf (x) dx  подынтегральное вы­ражение; f (x)  подынтегральная функция; х — пере­менная интегрирования; С — произвольная постоянная.

Например, так как

Если функция f (x) имеет на некотором промежутке хотя бы одну первообразную, то ее называют интегриру­емой на этом промежутке. Можно доказать, что любая функция, непрерывная на отрезке ахb, интегрируе­ма на этом отрезке.