Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределен­ного интеграла равен подынтегральному выражению:

2. Неопределенный интеграл от дифференциала функ­ции равен этой функции, сложенной с произвольной по­стоянной, т. е.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же алгебраической сумме неопреде­ленных интегралов от каждой функции:

1.2. Основные формулы интегрирования

Из каждой формулы дифференцирования вытекает соответствующая ей формула интегрирования. Например, из того, что следует равенство

Ниже приведена таблица основных интегралов:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

Справедливость этих формул можно проверить дифференцированием.

Непосредственное интегрирование. Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример 1. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся определением степени с отрицательным показателем (а^-m=1/а^т, а0) и найдем неопределенный интеграл от степени:

Пример 2. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся определением степени с дробным показателем а>0) и найдем неопределенный интеграл от степени:

Пример 3. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся определением степени с дробным и отрицательным показателем и правилом умножения степеней с одинаковыми основаниями (a^maⁿ=a^m+n) и найдем неопределенный интеграл от степени:

Пример 4. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся определением степени с дробным показателем (a^m/n= а>0), правилами действий над степенями с одинаковыми основаниями (a^maⁿ=a^m+n, a^m:aⁿ=a^m-n), правилом деления суммы на число и найдем интеграл от каждого слагаемого отдельно. Имеем

Заметим, что произвольные постоянные, входящие по определению в каждый из слагаемых неопределенных интегралов, объединяются в одну произвольную постоянную.

Пример 5. Найти интеграл

Решение. Раскроем скобки по формуле (a-b)²=a²-2ab+b² и неопределенный интеграл от полученной алгебраической суммы функций заменим такой же алгебраической суммой неопределенных интегралов от каждой функции:

Пример 6. Найти интеграл

Решение. Для нахождения интеграла воспользуемся формулой и свойствами неопределенного интеграла:

1.3. Метод подстановки

Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то в этом случае пользуются методом подстановки.

Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной удается свести данный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно.

Для интегрирования методом подстановки можно использовать следующую схему:

1) часть подынтегральной функции надо заменить новой переменной;

2) найти дифференциал от обеих частей замены;

3) все подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл);

4) найти полученный табличный интеграл;

5) сделать замену.

Пример 7. Найти интеграл

Решение. Произведем подстановку 5-3х=t, тогда –3dx=dt, откуда Далее получаем

Пример 8. Найти интеграл

Решение. Сначала положим 2+cos x = t, тогда sin x dx = dt, откуда sin x dx = dt. Далее получаем

Пример 9. Найти интеграл

Решение. Положим 2+3е^х = t, тогда 3е^х dx = t откуда Далее получаем

Пример 10. Найти интеграл

Решение. Положим , тогдаоткудаdx = 2dt. Далее получаем

В практике интегрирования часто встречаются интегралы, для нахождения которых можно использовать следующие формулы (k0, n0  постоянные):

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

Так, при нахождении можно использовать формулугдеТогда