3.4. Асимптоты графика функции

Асимптотой графика функции y=f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (x,f(x)) до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Теорема 1: Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀ (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при хх₀-0 (слева) или при хх₀+0 (справа) равен бесконечности. Тогда прямая х=х₀ является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x).

Вертикальные асимптоты нужно искать в точках разрыва функции y=f(x) или на концах ее области определения (a,b), если а и b – конечные числа.

Теорема 2: Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции . Тогда прямая y=b есть горизонтальная асимптота графика функции y=f(x).

Если ,функция может иметь наклонную асимптоту.

Теорема 3: Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших х и существуют конечные пределы и, тогда прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции y=f(x).

Пример 21. Найти асимптоты графика функции

Решение. График функции не имеет ни вертикальных асимптот (нет точек разрыва), ни горизонтальных: (). Найдем наклонную асимптоту.

.

Таким образом, наклонная асимптота графика функции имеет вид y=x.

3.5. Общая схема исследования функций

1. Найти область определения функции и поведение функции в границах области определения.

2. Выяснить вопрос о четности, нечетности и перио­дичности функции.

3. Найти точки пересечения графика функции с ося­ми координат.

4. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.

5. Найти направление вогнутости и точки перегиба графика функции.

6. Найти асимптоты графика функции.

7. Построить график функции, используя все полу­ченные результаты исследования. Если их окажется не­достаточно, то следует найти еще несколько точек графи­ка функции, исходя из ее уравнения.

Пример 22. Построить график функции

Решение. 1. Областью определения функции слу­жит множество всех действительных чисел, т.е. хR. Далее, находим ,.

2. Выясняем вопрос о четности или нечетности функ­ции:

, f(-x)f(x), f(-x)-f(x).

Значит, функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Находим точки пересечения графика функции с ося­ми координат:

4. Находим промежутки монотонности и экстремумы функции:

y^’=0 при x₁=0 и x₂=3

Отметим критические точки 1 рода х=0 и х=3 на числовой прямой и исследуем знак производ­ной в каждом из полученных интервалов: у'(—1)>0, y^’(1)>0, y^’(4)<0.

Функция возрастает при x<3 и убывает при x>3; x=3-точка максимума,

5. Находим направление вогнутости и точки переги­ба графика функции:

Итак, y"=0 при x₁=0, x₂=2.

Отметим критические точки II рода х=0 и х=2 на числовой прямой, и исследуем знак второй про­изводной в каждом из полученных интервалов: у"(-1)<0, у"(1)>0, у"(3)<0

График функции является выпуклым при x<0 и х>2 и вогнутым при 0<x<2;

х_т.п=0, у_т.п=у(0)=0; х_т.п=2, у_т.п=у(2)=3,2.

Точки перегиба графика функции (0, 0) и (2; 3,2).

6. График функции не имеет ни вертикальных асимптот (нет точек разрыва), ни горизонтальных (). Найдем наклонную асимптоту. Наклонной асимптоты нет (k=)

Отметим все полученные точки в системе координат и соединим их плавной кривой

Для уточнения графика найдем дополнительную точку у(-1)=-1.