2.2. Непосредственное вычисление определенного интегра­ла

Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный инте­грал, служит формула НьютонаЛейбница

,

т. е. определенный интеграл равен разности значений лю­бой первообразной функции при верхнем и нижнем пре­делах интегрирования.

Из этой формулы виден порядок вычисления опреде­ленного интеграла:

1) найти неопределенный интеграл от данной функции;

2) в полученную первообразную подставить вместо аргумента сначала верхний, затем нижний предел интеграла;

3) из результата подстановки верхнего предела вы­честь результат подстановки нижнего предела.

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение. Применив указанное правило, вычислим данный определенный интеграл:

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение. Воспользуемся определением степени с дробным и отрицательным показателем и вычислим оп­ределенный интеграл:

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение. Интеграл от разности функций заменим разностью интегралов от каждой функции:

Пример 4. Вычислить интеграл

Решение. Воспользуемся определением степени с дробным показателем, правилом деления суммы на чис­ло и вычислим определенный интеграл от каждого сла­гаемого отдельно:

= 2(81) + 2(21) = 14 + 2 = 16.

2.3. Вычисление определенного интеграла методом под­становки

Вычисление определенного интеграла методом подстановки состоит в следующем:

1) часть подынтегральной функции заменить новой переменной;

2) найти новые пределы определенного интеграла;

3) найти дифференциал от обеих частей замены;

4) все подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться таб­личный интеграл);

5) вычислить полученный определенный интеграл.

Пример 5. Вычислить интеграл

Решение. Введем подстановку 8x=t, тогда dx=dt, dx=dt. Определим пределы интегрирования для переменной t. При х=0 получаем t_н=80=8, при x=7 получаем t_в=87=1.

Выразив подынтегральное выражение перейдя к новым пределам, получим

Пример 6. Вычислить интеграл

Решение. Произведем подстановку ^x3+2=t, тог­да 3x²dx=dt, . Определим пределы интегри­рования для переменной t. При х=1 получаем t_н=1³+2=3, при x=2 получаем t_в=2³+2=10.

Выразив подынтегральное выражение через t и dt перейдя к новым пределам, получим

Пример 7. Вычислить интеграл

Решение. Положим cos x=t, тогда sin x dx=dt и sin x dx=dt. Определим пределы интегрирования для переменной t : t_н = соs 0 = 1, t_в = соs (/2) = 0.

Выразив подынтегральное выражение через t и dt и перейдя к новым пределам, получим

Пример 8. Вычислить интеграл

Решение.

1 cos x = t,

sin x dx = dt.

Пример 9. Вычислить интеграл

Решение. Сначала преобразуем подынтегральное выражение: sin³x = sin²xsin x = (1cos²x)sin x = sin x  cos²x sin x.

Затем вычислим интеграл от разности функций, заме­нив его разностью определенных интегралов от каждой функции:

Вычислим каждый интеграл отдельно:

cos x = t,

t_н = cos 0 = 1,

t_в = = 0,

 sin x dx = dt,

sin x dx = dt.

Тогда

3. Приложения определенного интеграла

3.1. Площади плоских фигур

Понятие определенного интеграла широко применяется для вычисления различных геометрических и физических величин.

Площадь криволи­нейной трапеции аАВb, ограниченной графиком непрерывной функции y=f(x) (где ахb), отрезком аb оси Ох и отрезками прямых х=а и х=b, вычисляет­ся по формуле

где (1)

Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограничен­ной гиперболой ху=1, осью Ох и прямыми х=1 и х=е.

Решение. Применяя формулу (1), получаем

S = 1 кв. ед.

Пример 11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = х², прямыми х = 1, х = 2 и осью абсцисс.

Решение. Применяя формулу (1), получаем

S = 3 кв. ед.

Площадь фигуры ABCD, ограниченной графиками непрерывных функций y=f₁(x) и y=f₂(x) (где ахb) и отрезками прямых х=а и х=b, вычисляется по формуле

где (2)

Пример 12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой у = 6х  х²  5 и осью Ох.

Решение. Найдем пределы интегрирования, т.е. абсциссы точек пересечен6ия графиков функций у = 6х  х²  5 и у=0 (ось Ох). Для этого решим систему

Имеем 6х  х²  5=0, х²  6х  5 = 0, х₁=1, х₂=5.

Теперь найдем искомую площадь по формуле (2):

S = 10кв. ед.

Пример 13. Вычислить площадь фигуры, ограничен­ной линиями у=х² и у²=х.

Решение. Найдем пределы интегрирования, т. е. абсциссы точек пересечения графиков функций у=х² и у²=х. Для этого решим систему

Имеем (х²)²=х, х⁴х=0, х(х³1)=0, х₁=0, х₂=l.

Искомую площадь вычисляем по формуле (2) при f₁(x)=x²,

кв. ед.

Пример 14. Вычислить площадь фигуры, ограничен­ной параболами у=4х² и у=х²2х.

Решение. Найдем пределы интегрирования, т. е. абсциссы точек пересечения графиков функций у=4х² и у=х²2х. Для этого решим систему

Имеем 4x² = x²2x, 2х²2x4 = 0, x²x2 = 0,

х₁=1, х₂=2.

Искомую площадь вычисляем по формуле (2):

S = 9 кв. ед.