книги по релейке часть 1 / ТОЭ / Демирчян К.С. Нейман Л. Р. Теоретические основы электротехники / Теоретические основы электротехники том 2

Ответы на вопросы, решения упражнений и задач 543

2. Индуктивность неискажающей линии должна быть равной L rC/g0,02 Гн/км, так что дополнительно подключаемые катушки должны иметь индуктивность L 0,02 Ãí – 0,002 Ãí 0,018 Ãí.

17.3. Режимы холостого хода и короткого замыкания длинной линии

ВОПРОСЫ

1. Так как волновое сопротивление и коэффициент распространения длинной линии зависят в общем случае от частотû íàпряжения, òî è величины Z0 è Zê, связанные с ними соотношениями Z Z 0 Z ê , th Ξl Z ê Z0 , также зависят от

частоты. Определяя величины Z0, Zê, можем моделировать однородную линию одним звеном, содержащим резисторы, катушки индуктивности и конденсаторы. Входное сопротивление такой электрической цепи зависит от частоты как в режиме холостого хода, так и в режиме короткого замыкания.

3. Âõîäíîе сопротивление Zê короткозамкнутой линии без потерь, равное jZ tg Πl (Z LC — волновое сопротивление линии), обращается в бесконечность (в этом

случае ток в начале линии равен нулю) при длине линии, равной Χ/4, 3Χ/4, 5Χ/4 и т. д. Хотя в этих случаях ток в начале линии равен нулю, он отличен от нуля во всей линии, т. е. при любом расстоянии от начала линии.

5. Ïðè	çàäанных параметрах линии и частоте	напряжения длина волны
l 1 (f	LC) 250 м. В приведенной ниже таблице	указана длина линии без по-

терь, при которой ее входное сопротивление в режиме холостого хода (Z 0) или короткого замыкания (Z ê) имеет заданное значение либо имеет требуемый характер. Подставляя в таблицу значение Χ 250 м, получаем искомую длину линии.

Режим	0		Индуктивный характер	Емкостный характер
Z 0	0,25Χ	0,5Χ	0,25Χ < l < 0,5Χ	0 < l < 0,25Χ
Z ê	0,5Χ	0,25Χ	0 < l < 0,25Χ	0,25Χ < l < 0,5Χ

УПРАЖНЕНИЯ

1. Ток на входе линии равен i1(t) (Um/z) sin ( t – !). Так как сопротивление приемника равно волновому сопротивлению линии, то

U 2 U1 exp (–Ξl ), I 2 (U1/Z ) exp (–Ξl ), u2(t) Um exp (– l )sin ( t – Πl ),

i2(t) (Um/z)exp (– l ) sin ( t – Πl – !).

На рис. P17.3 показано распределение напряжения вдоль линии в различные моменты времени, построенное в соответствии с выражениями

	#
à) u(0, x) Um exp (– x) sin (–Πx); á) u			, x
4

	#			#				#
â) u			, x	Um exp (– x) sin		Πx ;	ã) u			, x
					2
2

	#
Um exp (– x) sin		Πx ;
	4
	Um exp (– x) sin (# – Πx).

Ðèñ. P17.3

544 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

При уменьшении длины линии до 0,5l комплексные напряжение и ток в конце линии изменятся в 0,5Ξl ðàç:

U 2 U1exp (–0,5Ξl ), I 2 I1 exp (–0,5Ξl), u2 Um exp (–0,5Ξl ) sin ( t – 0,5Πl),

i2 (Um/z) exp (–0,5 l ) sin ( t – 0,5Πl – !). Отдаваемая источником активная мощность при изменении длины линии не изменяется, так как напряжение и ток на ее входе остаются теми же. Активная мощность в нагрузке увеличивается в exp ( l ) раз, так как в конце линии амплитуды напряжения и тока возрастают в exp (0,5 l ) раз каждая.

2. Òàê êàê Z — вещественное, то линия является не-

искажающей. Вследствие заданного условия Zïð 0 имеем I2 2I !2 2U !2 /Z,

i2(t) (2Um/Z ) sin ( t – Πl ), Π LC 2#f/v.

После подстановки численных значений получаем i2(t) 1 sin ( t – #/3).

4. Èñêîìые величины равíû

Z LC 500 Îì, v 1LC 2,5 108 ì/ñ,

Χ v/f 6,25 104 ì, Π 2#fLC 0,1 êì–1.

Для условий варианта à имеем u2(t) 500 sin t Â, i2(t) 1 sin t А, варианта á: u2(t) 1000 sin t Â, i2(t) 0, варианта â: u2(t) 0, i2(t) 2 sin t А. Амплитуда U2m напряжения в конце линии не зависит от частоты и при изменении последней меняться не будет.

18.1. Переходные процессы в одной длинной линии

УПРАЖНЕНИЯ

2. Зависимости i!(x, t1), u (x, t2 ) приведены на рис. P18.1.

Ðèñ. P18.1

4. Энергия электрического поля равна энергии магнитного поля, и при условии

		1	0,75l
	варианта à Wý Wì		Cu2 dx 3375 Дж. Учитывая, что при условии вариан-
		2
			0

3. Выражая мощности p!1, p!2 через напряжение u!1 и волновые сопротивления z1, z2 и проверяя возможность выполнения неравенства p!2 > p!1, приводя-

щего к неравенству 4z2 8 1 , получаем соотношение (z1 – z2)2 < 0, которое

(z1 z2 )2 z1

не может быть выполнено ни при каких сопротивлениях z1, z2. Таким образом p!2 не может превышать p!1.

Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

545

	òà á в момент времени t0			0,75l		3,9 10–4 с напряжение U(t0, x) распределено
				v
	вдоль линии по закону U(t			, x) 105 exp[ 103 (t			0		x v)], получаем
		0
				0,75l				3 x
	Wý Wì		1	1010 Ce 2 103 t0 e2 10						dx 2348 Äæ.
									v
		2
				0
	18.2. Переходные процессы при соединении
	нескольких длинных линий
	ВОПРОСЫ
	1. à) Из соотношения | u	1| u!2				следует, что 2z2 | z2 – z1 |, откуда получаем
	z1 3z2 èëè z1 –z2.

á) Из соотношения | i 1 | i!2 следует, что 2z1 | z1 – z2 |, откуда находим z2 –z1 èëè z2 3z1.

â) Òàê êàê p 1 u21/z1 0, то имеем u . 0, что справедливо при z2 z1.

	ã) Выражая величины u .					1	u!1 è u!2	3	u!1 через сопротивления z1, z2
						2		2
	z2	z1	0,5;	2z2	1,5, получаем соотношение z2 3z1.
		z1
	z2			z2 z1

ä) Выражая величины i 1 0,5i!1, i!2 1,5i!1 через сопротивления z1, z2

	z1	z	2	0,5;	2z1			1,5, находим: z1 3z2.
	z1	z	2		z1 z	2

УПРАЖНЕНИЯ
2. Из выражения u!2			2z2u!1	, связывающего падающую и преломленную
		z1	z2 r0

волны напряжений, находим, что соотношение u!1 u!2 оказывается выполнен-
ным при условии, что 2z2 z1 + z2			+ r0 èëè r0 z2		– z1. Ïðè ýòîì p/p!1 (z2 – z1)		z1	.
							z2
					2
3. Используя выражение u!2				2z2u!1		, можем связать токи i!1, i!2 ñî-
			z1 z2 z1z2 r0
отношением i!2		2z1i!1		, из которого следует, что условие i!1 i!2
	z1	z2 z1z2 r0

546 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

	выполнено при r0							z1z2		. Искомое отношение p/p!1 получается равным
								z1 z	2
	(z	z		)	z	2	.
					z
	1		2			2
				1

4. Учитывая, что в месте сопряжения линий справедливы равенства u1 u!1 + u 1

u

!2

u

!3

, i

u!1

u 1

u!2

u!3

, найдем, используя их, искомые величины

1

z1

z1

z2

z3

u

z2 z3 z1z2 z1z3

u

!1

, u

!2

u

!3

2z2 z3

u

,

1

z1z2 z1z

3 z2 z3

z1z2 z1z3 z2 z3

!1

i 1 –

u 1

, i!2

u!2

, i!Σ

u!3

.

z1

z2

z3

5. В момент времени достижения волнами напря-

жения и тока оконечных зажимов 1 –1 первой ли-

нии можем записать соотношения, связывающие

падающие

è

отраженные волны

в точках 1 –1

u1 u!. + u ., z1i u!. – u ., из которых получаем

уравнение 2u!. z1i + u1. Ему можно поставить в со-

Ðèñ. P18.2

ответствие электрическую цепь с сосредоточенными

параметрами, изображенную на рис. P18.2.

Времени t 0 соответствует момент достижения падающей волной напряжения u!1 зажимов линии 1 –1 , или момент замыкания ключа.

В результате расчета переходного процесса в этой цепи находим зависимости
i(t), u1(t), u!2(t), u 1(t) u1(t) – u!1, i!2(t) u!2 (t), i 1(t) u1(t) u!1 .
z2	z1

Так как по условию следует получить выражения для волн напряжения и тока для момента времени t0 t0 0,5l2 v2 , когда преломленные волны достигнут середины второй линии, то при построении зависимостей u!2(t0, x), i!2(t0, x) в выражениях u!2(t), i!2(t) следует выполнить замену аргумента t t0 xv2 (здесь

v2 — скорость распространения волн во второй линии). При этом координату x отсчитываем вдоль линии 2 от ее зажимов 2–2.

Зависимости u 1(t0, x), i 1(t0, x) для отраженных волн напряжения и тока в первой линии получаем, заменив в выражениях u 1(t), i 1(t) аргумент t íà t0 xv1, причем координату x отсчитываем, как и для преломленных волн, в направлении движения волн, т. е. вдоль линии 1 от ее оконечных зажимов 1 –1 к входным зажимам 1–1.

Для варианта 1, à электрическая цепь для расчета волн напряжения и тока изображена на рис. P18.3.

Ðèñ. P18.3

Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

547

	Рассчитывая переходный процесс, получаем i(t)		2u!1			e t Γ 444e t À,
		z	1	z	2

ãäå C(z1 + z2) 4,5 10–5 ñ, u!2(t) i(t)z2 Γ 2,2 104e t Â,

						2z1
u 1(t) u1(t) – u!. u!			1
	1				z1 z2
Кривые искомых зависимостей
4							x
				0
u!2 (t0 , x) 2,24 10 exp ) t							v2
		(

				5			t
e	t		10		(1 – 1,78 e				) Â.
						u!2 (t0		, x)
	,	, i!2 (t		0	, x)					,
						z2
	+

	5	4			x		0			u 1(t0 , x)
		2				2
u 1(t0 , x) 10							, 1 ,	i 1(t0	, x)
		51 178,exp ) t0			v					z
		2	(				2
		6			1		+ 3			1

изображены на рис. P18.4.

Ðèñ. P18.4

548 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

Эквивалентная электрическая цепь для расчета волн напряжения и тока при условиях варианта 6, à показана на рис. P18.5.

Искомые выражения имеют вид
		2z		2					x
u!2 (t0	, x)										, , i!2
							0
		z1	z2		u!1 exp ) t
					(				v2 +

u!2 , z2

Ðèñ. P18.5

						4			2z								x		0				u 1			L(z z			)
						2					2								2									2
u		(t		, x) u		5	1						exp ) t						,1,	i				,		1				.
									z	z							v						z			z z
	1		0		!1	2						2	(		0				2		1						2
						6			1								1		+3				1			1

18.3. Отражение волн от конца длинной линии

ВОПРОСЫ

1. При сопротивлении нагрузки линии, равном волновому, коэффициенты отражения напряжения и тока равны нулю и в линии не будет отраженных волн в любой момент времени.

В момент достижения падающими волнами оконечных зажимов линии отраженные волны будут отсутствовать, если линия нагружена, например, на электри- ческую цепь: à) из последовательно соединенных конденсатора и волнового сопротивления линии или á) параллельно соединенных катушки индуктивности и волнового сопротивления линии.

2. Вариант à. Ïðè r z имеем qu 0, u 0. Вариант á. Это равенство, как и равенство варианта ã, не может быть выполнено ни при каких значениях сопротивления r. Вариант â. Ïðè r 3z имеем qu 0,5è u 0,5u!. При этом получаем qi –0,5 è i –0,5i!, так что условие варианта ä также выполняется при r 3z. Вариант å. Ïðè r получаем qi –1 è i –i! .

3. Вариант à. Ïðè r z имеем i 0. Условия вариантов á è â не могут быть выполнены ни при каких значениях r. Вариант ã. Ïðè r 3z имеем qu 0,5, qi – 0,5 è i –0,5i!. При этом же соотношении выполняется условие варианта å. Вариант ä. Ïðè r 0 имеем qu –1 è u –u! .

УПРАЖНЕНИЯ

1. Вариант à. Зависимость напряжения u(t) è òîêà i(t) в точке õ 0,5 показана на рис. Р18.6. На рис. Р18.7 изображены зависимости напряжения u(x) è òîêà i(x) вдоль линии в указанные моменты времени.

Ðèñ. P18.6

Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

549

Ðèñ. P18.7

4. Для варианта à, когда нагрузкой линии является катушка индуктивности, выражения

z

t

u (t)

2e

L

1

u!

(здесь u! UΙ), i

u

записываем в виде

z

l1

z

l

x

1

L

v

v

)

,

u

2e

u! ,

, x 1

,

v

)

(

+

l1

z

l

x

1

)

L v v

, u!

i

, x

1 2e

.

v

)

,

z

(

+

t

u

Для варианта á выражения u

1 2e

zC

u! , i

принимают вид

z

l u 1

v

					l1		x
		)	2e		v		v		,
, x		1			zC		,			u! , i
		)
		)					,
		(					+

l		1			)
			, x		1
v					)
					)
					(

l1 x 2e vzCv , u! .

,, z

+

5.Качественная зависимость u(x) показана на рис. Р18.8.

6.На рис. Р18.9 через Ò обозначено время пробега всей линии волнами напряжения и тока.

8. Приведем решение для случая, когда между линиями вклю-
чена цепь варианта 6 (см. рис. В18.8), нагрузкой второй линии
является цепь варианта 4, напряжение на входе первой линии	Ðèñ. P18.8
u 100 ê const (ðèñ. 18.10).

2,2 104 e t 1 , ãäå

550 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

Ðèñ. P18.9

Рассчитаем зависимости u(t0, x), i(t0, x) для первой линии. Отсчитывая время от момента достижения волнами напряжения и тока зажимов 1 –1 первой линии (t0 2l13v1) и составляя эквивалентную схему для этого момента времени

(рис. Р18.11), получаем выражение uL (t) 2u!1 z2 e t 1 z1 z2

L(z1

z2 )

2,25 10–4 c,

1

z1z2

2z

2

t

5

t

1

1

u

1(t) uL(t) – u!1

u!1

1

e

Γ 10

(–1 + 0,22e

) Â,

z1

z2

	i!1	u!1	250 À, i 1(t)	u 1	(t)	250(1 – 0,22e	t
							1 ) À.
		z1		z1

Ðèñ. P18.10

Ðèñ. P18.11

При построении зависимостей u 1(t0, x), i 1(t0, x) координату õ следует отсчитывать от конца первой линии к ее началу:

t0 x v1

x

u

1

(t

, x) u!

1 0,22e

1

105

1 0,08e67,5

Â,

0

1

i 1(t0, x) – u 1(t0 , x) À. z1

Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

551

Для расчета переходного процесса во второй линии находим преломленные волны напряжения и тока:

z2

t

u

(t) u

2

(t) 2u

e t 1

2,2 104 e 2,25 10

4 Â,

!2

2

!1 z

z

2

1

u!2 (t)

t

i

!2

(t)

444e

2,25 10

4 À.

z2

При расчете напряжений и токов во второй линии время от- считываем от момента достижения преломленными волнами оконечных зажимов второй линии. Для этого момента времени эквивалентная схема принимает показанный на рис. P18.12 вид.

Для расчета напряжения u2(t) воспользуемся операторным

Ðèñ. P18.12

методом:

Z(p) Z2 +

1

, I(p)

2U !2

( p)

,

Z(p)

Cp

U

(p) I(p)

1

4u!1

1

178, 10

8

.

2

z

Cp

(z

)C

1

1

(p 4444)(p 4000)

2

1

p

p

z

1

2C

Используя теорему разложения, получаем

u2(t) 2,4 105(e–4000t – e–4444t) Â,

u 2(t) u2(t) – u!2(t) 4 105e–4000t – 4,22 105e–4444t Â,

i 2(t) –

u

2 (t)

8,44 103e–4444t – 8 103e–4000t

À.

z2

l

2

l

2

l

2

l

2

Преломленные волны напряжения u

!2

, x è òîêà i

, x

âî âòî-

3v2

!2

3v2

v2

v2

рой линии определяются выражениями

	x		x
u!2(3,3 10–4, x) 5,05 103 e	45	Â, i!2(3,3 10–4, x) 101e	45	A,

причем координату õ следует отсчитывать от начала 2–2 второй линии к ее концу.

Отраженные волны во второй линии равны

						l	2
u									, x		2,87 105e0,02x 2,9 105e0,022x Â,
		2
					3v2
					l	2
i								, x		5,8 103e0,022x 5,74 103e0,02x À.
	2
				3v2

552 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

Координату õ отсчитываем от зажимов 2 –2 второй линии в сторону распространения отраженных волн, т. е. к началу второй линии.

10. Для вариантов à, â è ä, когда rïð z, имеем I ïð

E

.

rïð

z

z

1

4E

Для варианта á получаем q

, I

ïð

.

r

z

3z

u

3

ïð

Для условия варианта ã имеем q

1

è I

I

2E

.

ïð

ïð

u

3

3z

Для вариантов á è ã в силу условия rΙ z отраженные от источника волны отсутствуют.

19.1. Параметры элементов нелинейных электрических цепей

ВОПРОСЫ

1. При действии на входе электрической цепи синусоидального напряжения ток в ней может иметь отличную от нуля постоянную составляющую, если вольтамперная характеристика нелинейного элемента несимметрична, когда uíý(+i) –uíý(–i). Такую характеристику имеют выпрямительные элементы, в частности, полупроводниковые диоды, которые используют для преобразования переменных токов и напряжений в постоянные.

3.В точке 0 имеем rä > 0, в точке À — rñò > 0, rä > 0, в точке Â rñò > 0, rä > 0, в точке Ñ rñò > 0, rä 0, в точке D rñò > 0, rä < 0.

4.В точке À выполнено соотношение rä > rñò, в точке Â rä rñò, в точках Ñ, D

rä < rñò.

УПРАЖНЕНИЯ

7. Так как напряжение на резисторе должно составлять ur u1 – u2 10 Â ïðè òîêå ir i2 + i0 0,1 A + 0,2 A 0,3 A (здесь i2 u2/r2, i0 — ток нелинейного элемента в средней точке горизонтального участка его характеристики), то искомое значение сопротивления резистора составляет r ur/ir Γ 33 Îì (ðèñ. Ð19.1).

Ðèñ. P19.1

8. При токе нелинейного элемента i 0,15 A имеем ir 0,15 A + 0,1 A 0,25 A,

u 8,25 B, u		u u	2	18,25 B (ñì. ðèñ. Ð19.1), à ïðè òîêå i 0,25 A — соответст-
r	1	r
венно i	0,35 A, u		11,55 B, u 21,55 B. Таким образом, при изменении напря-
r		r		1
жения на входе цепи на u 21,55 B – 18,25 B 3,3 B ток в нагрузке сохраняет

постоянное значение. При напряжении на входе цепи, равном u1 20 B, íàè-
меньший ток в нагрузке i	0,05 A (r u	2	0,05 200 Ом) имеем при токе
2	2