книги по релейке часть 1 / ТОЭ / Демирчян К.С. Нейман Л. Р. Теоретические основы электротехники / Теоретические основы электротехники том 2

Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

523

		1		1 Z Y				1		1
					1
						2						2
		Z 2		2Z1	Z			Z 2		2Z1	Z
Y						1 Y						1 Y		.
		1		1				1		1 Z Y
											1
						2						2
		Z 2		2Z1	Z			Z 2		2Z1	Z
						1 Y						1 Y

Аналогично можно получить решения и для вариантов ä è å.

Четырехполюсник варианта æ представляем в виде двух последовательно соединенных Т-образных четырехполюсников (рис. P13.7), матрицы Z-параметров которых складываем:

	Z			1				1					Z			1				1					Z		Z					1				1
		1		2Y				2Y						2		2Y				2Y						1			2
Z																															Y				Y							.
			1			Z			1						1			Z			1							1					Z		Z					1
			2Y				2		2Y						2Y				1		2Y													1			2
																											Y												Y

13.5. Передаточные функции четырехполюсников

ВОПРОСЫ

2. Переходя к операторным изображениям входящих в дифференциальное уравнение входной и выходной величин и принимая начальные условия нулевыми, получаем в общем случае уравнение

(an pn + an–1 pn–1 + ... + a0)X2(p) (bm pm + bm–1 pm–1 + ... + b0)X1(p), из которого находим передаточную функцию

K(p) X 2 (p) bm pm bm 1 pm 1 b0 . X1(p) an pn an 1 pn 1 a0

4. Передаточная функция K(ð) цепи совпадает с операторным изображением Xâûõ(ð) сигнала xâûõ(t), åñëè Xâõ(ð) 1. Так как операторное изображение X(ð) 1 имеет −-функция, то, следовательно, сигнал xâûõ(t) является импульсной характеристикой цепи, а ее операторное изображение — передаточной функцией цепи.

6. Выражение K		(p)	U	1	(p)	, обратное передаточной функции K(p)	U	2	(p)	÷å-
	1		U	2 (p)			U	1(p)

тырехполюсника, не является передаточной функцией цепи, входное воздействие в которой приложено к выходным зажимам 2–2 цепи, а выходной сигнал определяется на входных зажимах 1–1. Для нахождения передаточной функции цепи при замене местами ее входных и выходных зажимов следует, прикладывая импульсное воздействие к выходным зажимам, найти операторное изображение реакции цепи на ее входе.

7. Вещественному корню полинома знаменателя передаточной функции K(ð) пассивного четырехполюсника соответствует изменение аргумента arg K(j ) амплитудно-фазовой частотной характеристики K(j ) öåïè íà óãîë – 0,5# при изменении частоты от 0 до , а паре сопряженных комплексных корней — на угол

–#. Если порядок полинома знаменателя равен n, òî arg K(j ) составит –0,5#n.

524 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

Аналогично, вещественному корню полинома числителя функции K(ð), лежащему в левой полуплоскости, соответствует изменение arg K(j ) íà óãîë 0,5#, а паре сопряженных комплексных корней — на угол #. Åñëè m1 корней полинома числителя лежат в левой полуплоскости, а m2 корней — в правой, то при изменении частоты от 0 до изменение функции arg K(j ) составит 0,5(m1 – m2)#. Таким образом, при изменении частоты от 0 до получаем arg K(j ) 0,5(m1 – m2 – n)#. Поскольку n 5, m1 + m2 4, 0,5(m1 – m2 – n)# –2,5#, то число m2 нулей полинома числителя, лежащих в правой полуплоскости: m2 2.

8.Если нули полинома знаменателя передаточной функции лежат в левой полуплоскости, то при изменении частоты от 0 до имеем arg K(j ) –4,5# + + 0,5#m –3#, если четырехполюсник минимально-фазовый. Поскольку задано значение arg K(j ) –4#, то один нуль полинома знаменателя лежит в правой полуплоскости и, следовательно, четырехполюсник не является минимальнофазовым.

9.С точки зрения технологии изготовление конденсаторов для низковольтных устройств малой мощности, в которых находят применение дифференцирующие и интегрирующие rL- è rC-цепи, существенно проще, чем катушек индуктивности. По этой же причине катушки индуктивности в ряде случаев заменяют такими электрическими цепями, содержащими резисторы, усилители и конденсаторы, в которых напряжение и ток на их входе связаны таким же соотношением, что и в катушках индуктивности.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Z-параметры четырехполюсника, который можно представить как Г-образное звено (рèñ. P13.8), íаходим, пользуясь соотношениями Z11 Z10, Z22 –Z20,

Z12 (Z1ê Z11)Z 22 : Z11 Z1 + Z2, Z22 –Z21, Z12 –Z2, Z21 Z2.

Рассматривая Z-параметры как функции оператора ð, используем для нахождения передаточной функции выражение

K(p)

U 2 (p)

Z 21(p)Z ïð (p)

U

1

(p)

Z (p)Z

ïð

(p) Z

(p)Z

22

(p) Z

12

(p)Z (p)

11

11

21

Z ïð (p)

Ðèñ. P13.8

Z1(p)

.

)1

, Z ïð

(p)

Z1(p)

Z

(

2 (p)+

Варианты: à) K(p)

1

; á) K(p)

r

;

â) K(p)

1

;

p2 LC prC 1

2pL r

prC r

ã) K(p)

pL

; ä) K(p)

rCp

.

2pL r

rCp 2

2. Вариант à: X1(p)

U 0

, X2(p)

I 0

, K(p)

I 0

p

.

p

p

U 0

p

Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

525

Вариант á: X1(p)

U 0

, X2(p)

U 0

, K(p)

.

p

p(p )

p

Вариант â: X1(p) I m

, X2(p) I m

p

, K(p)

I m 2

p

.

1

p2 2

2 p2

2

I

m1

3. Для нахождения амплитудной и фазовой частотных характеристик выполняем замену ð j в выражении для K(p) и выделяем модуль K(j и аргумент arg K(j ):

вариант à

K( j )

I 0

j

I 0 2 j

I 0

, ! ) –arctg

2 2 , K( )

K( j )

,

U 0

j

U 0

U 0

2 2

( j )

, ! ) arctg

,

вариант á

K( )

j

2 2

2 2

вариант â

K( )

I m2

, ! ( ) #

I m

2

1

5. Используя схему замещения усилителя (рис. P13.9, à), получаем для варианта à электрическую цепь, изображенную на рис. P13.9, á.

Ðèñ. P13.9

Записывая уравнение метода узловых напряжений для узла à и учитывая соотношение Uâûõ(p) kUa(p), получаем после простых преобразований искомую передаточную функцию:

1

U a (p) )

(Z1(p)

K(p)

1

U1(p)

1

U

2 (p)

1

0,

,

Z 2

(p)

Z

1(p)

Z

2 (p)

+

U 2

(p)

kZ 2 (p)

.

U1(p)

Z1(p) Z 2 (p) kZ1(p)

При больших значениях коэффициента усиления k усилителя имеем

K(p) Z 2 (p).

Z1(p)

Ïðè Z1(p) r, Z2(p) Cp1 получаем передаточную функцию K(p) – rCp1 , êîòî-

рая показывает, что изображенная на рис. P13.10, à электрическая цепь обладает свойством интегрирования подаваемого на ее вход сигнала.

526 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

Åñëè Z1(p) Cp1 , Z2(p) r (соответствующая этим элементам электрическая

цепь изображена на рис. P13.10, á), то передаточная функция цепи принимает вид K(p) –rCp. Как видно, напряжение на выходе цепи пропорционально производной входного напряжения, что свидетельствует о возможности ее использования в качестве дифференцирующей цепи.

Ðèñ. P13.10

Ðèñ. P13.11

Заменяя усилитель электрической цепи варианта ã его схемой замещения (рис. P13.11) и записывая уравнения метода узловых напряжений для узлов à, b

		1		1			1		1
U a						U1(p)C1 p U 2 (p)		U b (p)		0,
	(p) C1 p			r2			r1		r2
		r1

		1			1
U b				U a (p)		0,
	(p) C2 p	r2			r2

получаем после преобразований передаточную функцию

K(p)				kT1 p					, T1 r1C1, T2 r2C2.
	T T		p2	(T T		C
		2			2		2	r )p 1 k
1				1				1

Применяя аналогичный подход для решения задачи варианта ä (рис. P13.12) и записывая уравнение метода узловых напряжений

	U (p)		1			1
	a			1		r2
	r
		1		C1 p

C2 p U1(p)

1						1
			U	2				0,
1					(p)		C2 p
					r2
r1
	C p
1

получаем, учитывая соотношение U2(p) kUa(p), искомую передаточную функцию

K(p)						C1r2 kp					, T1 r1C1, T2 r2C2.
		k)T T		p2	p[(1	k)(T	T
(1			2					2	) C r ] 1 k
		1				1			1	2

Ðèñ. P13.12

Ðèñ. P13.13

Ðèñ. P13.14

Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

527

6. Электрическая цепь варианта á со схемой замещения усилителя изображена на рис. P13.13.

Записывая уравнение метода узловых напряжений для узла 3

			1		1			1
U	3						U 2 (p)		0,
		(p)			r2			r1
		r1

и учитывая соотношение U2(p) k[U3(p) – U1(p)], после преобразований нахо-

дим выражение K(p) U 2 (p) (r1 r2 )k , которое при k переходит в иско-

U1(p) kr2 r1 r2

ìîå: K(p) r1 r2 . r2

На рис. P13.14 изображена схема электрической цепи варианта â, в которой усилитель представлен его схемой замещения.

Уравнения метода узловых напряжений, записанные для узлов à è â

1

1

U b (p)

0,

U a (p)

C2 p

r2

r2

1

1

1

1

1

U b

(p)

C1 p

U1(p)

r1

U a

(p) U 2 (p)C1 p 0

r1

r2

r3

r2

и дополненные уравнением k[U 2 (p) U a (p)] U 2 (p), которое при k переходит в соотношение U2(p) Ua(p), позволяют найти передаточную функцию

U 2 (p)

1

K(p)

.

U

1

(p)

2

r r

r

1 2

1

r1r2C1C2 p

C2 p r1 r2

1

r3

r3

ЗАДАЧИ

1. Для варианта ã имеем:

1

1

r

Cp

Cp

p 1

Z11 Z10

Z20

1

, Z21

Z 20

(Z10 Z

1k )

,

2)

r

2

p(p 2)

p(p

Cp

r

1

Z1ê

Cp

1

,

KU (p)

Z 21r

1

.

1

p

Z11r

Z11Z 22 Z12 Z 21

p 2

1

r

Cp

Заменяя оператор ð íà j , находим частотные характеристики цепи:

KU (j&

1

2 j

, KU ( )

1

, ( ) arctg (–0,5 ).

j

2

4 2

4 2

528 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

Соответствующие качественные кривые изображены на рис. P13.15.

Ðèñ. P13.15 Ðèñ. P13.16

Из выражения для передаточной функции по току

K I

(p)

Z 21

1

Z ïð

Z 22

p2

3p 1

получаем аналогично

KI (j&

1

,

KI ( )

1

, ( ) arctg

3

.

2

1 2 j3

(1 2 )2 9 2

1

Полученные зависимости изображены на рис. P13.16.

Z ïð

2. Функцию K(j ) можем найти используя выражение K(p)

,

(1 Z Z

1)Z

ïð

Z

1

1

2

полученное в решении упр. 1. С учетом того, что Zïð , имеем

K(j )

Z 2 ( j )

.

Z ( j ) Z

2

( j )

1

Такое же выражение получаем, рассчитывая вначале напряжение

U2(j )

U1( j )

Z2(j ),

Z ( j ) Z

2

( j )

1

ãäå Z

( j ) r Z

( j )

r

(вариант à), Z

( j )

jr L

(вариант á),

2

2

1

1

1 jr C

r

j L

и затем амплитудно-фазовую частотную характерис-

òèêó K(j ) U2(j )/U1(j ). Для варианта à получаем

(сравните с решением задачи 1)

K(j )

1

1

exp (– j0,5 rC).

2 j rC

4 2 r 2C2

При 0 имеем K(0) 0,5, 0, à ïðè —

Ðèñ. P13.17

K( ) 0, –0,5#. Годограф характеристики K(j )

изображен на рис. P13.17.

Для условия варианта á имеем

K(j )

j L

2 2 L2

jr L

L

r

, K( )

, ( ) arctg

.

r j2 L

r 2 4 2 L2

4 2 L2 r 2

2 L

Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

529

3. Операторное изображение напряжения на катушке индуктивности

		aL		La				r	t
	UL(p) I(p)pL		, òàê ÷òî uL(t)			1 e		L		.
		p(r pL)		r

Из условия 1 e

r

L

L

t1 0,9 находим момент времени t1 –

ln 0,1

Γ 2,3

. Ïðè t > t1

L

r

r

искомая погрешность будет менее 10 %.

4. Момент времени t1 находим из соотношения

U 0 t1

t1

U 0 t1

U

1 e

rC

0,1

,

rC

0

rC

t1

1,1T: t

Γ 0,2 Ò.

для чего решаем уравнение t

+ 1,1Te T

1

1

Ïðè t > t1 погрешность интегрирования превысит 10 %.

13.6. Обратные связи

УПРАЖНЕНИЯ

1. Передаточную функцию системы находим с помощью соотношения

K (p)	K(p)
	1 W (p)K(p)

à) K (p)

ä) K (p)

k

k

;

á) K (p)

k

k

;

k

p Πk

k

Tp 1 Πk

p

1

Π

(Tp 1)

1

Π

p

Tp 1

k

kp

.

Πk

T T

2

p3

(T T

2

)p2

p Πk

(T1 p 1)(T2 p 1)

1

1

1

p(T p 1)(T

p 1)

2

1

2. Обозначив через k коэффициент усиления усилителя, охваченного обрат-

ной связью, а также вводя обозначения k

1

k + k, k k k , из выражения

kk1

k'

1

k 1

k

k1

k

находим величину

k

.

1

Πk

1 Πk

k(1 Πk )

k'

1 Πk

1

1

1

Как видно из полученного соотношения, при охвате усилителя отрицательной обратной связью (Π < 0) величина k k уменьшается в 1/(1 – Πk1) раз, его чувствительность к изменению коэффициента усиления снижается, а стабильность повышается. В случае положительной обратной связи величина 1 – Πk1 становится меньше 1 и отношение k k возрастает, что свидетельствует о повышении чувстительности усилителя и снижении его стабильности.

3. Из выражения K (p)		k					k			следует, что
			k				Tp
	(Tp 1) 1	Π		,		(1 Πk)		1
	)		(Tp 1)				1 Πk
	(			+

характеризующая инерционность усилителя величина Ò уменьшается в 1 – Πk

530 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

ðàç (Π < 0), однако при этом во столько же раз уменьшается его коэффициент усиления.

4. Записывая передаточную функцию устройства, охваченного обратной связью

K' (p)

k

k

,

k

p kT1 T 1

(Tp 1)

1

T p

Tp 1

1

из условия

T

n находим величину T

1

T(n 1).

T kT1

1

kn

14.1. Характеристические параметры четырехполюсника

ВОПРОСЫ

2. Действующий на входе первого четырехполюсника источник тока с проводимостью Y можем заменить на эквивалентный ему источник ЭДС, внутреннее сопротивление которого 1/Y. Таким образом, при согласованном соединении четырехполюсников входное сопротивление Z1âõ первого звена должно быть связано с проводимостью источника тока соотношением Z1âõ 1/Y.

5. Коэффициент фазы (угол сдвига по фазе между напряжениями на входе и выходе четырехполюсника) может быть как положительным, так и отрицательным, но его модуль всегда меньше значения #/2, так как в электрической цепи с одним реактивным элементом угол сдвига между током и напряжением лежит в пределах от –#/2 äî #/2.

Аналогичное рассуждение приводит к выводу, что при наличии двух реактивных элементов модуль коэффициента фазы не превышает угла #, а при наличии n реактивных элементов — угла n#.

7. В общем случае входные и выходные сопротивления звеньев цепной схемы, как и сопротивление приемника и внутреннее сопротивление источника, являются функциями частоты. Поэтому согласование соединения четырехполюсников при некоторой частоте еще не гарантирует его сохранения при других частотах.

Для согласования четырехполюсников при любой частоте величины Zk âõ, Zk âûõ, Zã , Zïð должны иметь одинаковые частотные характеристики. Это достигается, в частности, если схема содержит только резисторы.

8. В общем случае при произвольной частоте напряжения согласование соединения звеньев цепной схемы отсутствует, так как входные и выходные сопротивления звеньев цепной схемы есть функции частоты. Поэтому входящие в выражения для передаточных функций KU è KI величины Z1c, Zn+1,c уже не будут являться характеристическими, и их использовать для вычисления этих функций нельзя.

9. Определяя меру передачи соотношением Ρ		U k I k	, получаем выражение
k	U k 1I k 1

для меры передачи n каскадно соединенных четырехполюсников:

Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

531

Ρ	U1I1		U1I1		U 2 I 2		U ï 1I ï 1		Ρ Ρ Ρ .
U ï I ï U 2 I 2 U 3 I 3							U	1 2		n
								ï I ï

10. Величины KU, KI не могут удовлетворять неравенствам варианта â, так как мощность в нагрузке четырехполюсника не может превосходить мощности во всей цепи, включающей в себя четырехполюсник и нагрузку.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Для электрической цепи варианта 9 имеем: A 1 + Y2 Z0 1 + j3,14 10–4, B Z0 10 Îì,

C Y1 + Y2 + Y1Y2 Z0 10–5 – j3,2 10–2 Ñì, D 1 + Z0Y1 1 – j0,318,

	Zâõ ñ	AB		10,2 + j14,0 Îì, Zâûõ ñ			DB	14,7 + j10,7 Îì,
		CD					CA
	Ρ ln(					) 0,42 – j0,37.
		AD			BC

Сопротивления в режимах холостого хода и короткого замыкания

Z

1

0,8 10–6

+ j31,5 Îì,

Z

1

9,1 + j2,9 Îì,

1ê

1

10

Y1 Z 0 Y2 1

Y1 Z 0 1

Z

1

10,0 + j31,44 Îì,

Z

1

10 – j3,14 10–3

Îì.

20

2ê

1

Y2 Z 0 Y1 1

Y2

Z 0 1

Характеристические параметры имеют значения:

Zâõ ñ

10,2 + j14,0 Îì,

Zâûõ ñ

14,7 + j10,7 Îì,

Z10 Z1ê

Z 20 Z 2ê

Z1ê

Ρ arsh

0,42 – j0,37.

Z10

Z1ê

2. Для схемы варианта 9 передаточные функции по напряжению и току, выражаемые через характеристические параметры, равны:

KU	Z âûõ ñ	e– 0,66 + j0,14, KI	Z âõ ñ	e–Ρ 0,55 + j0,32.
	Z âõ ñ		Z âûõ ñ

Вычисления отношений напряжений и токов на входе и выходе цепи приводят к выражениям

	K I		1	, KU		Z ïð	, Z ïð Z âûõ ñ .
		1 Z ïðY2	(Z 0 Z 0 Z ïðY2 Z ïð )Y1		Z 0	(1 Z ïðY2 ) Z ïð
	При подстановке значений входящих в эти выражения величин
	получаем передаточные функции, совпадающие с рассчитанными
	âûøå.
	4. Заданные цепи можем рассматривать как полученные при кас-
	кадном соединении Т-образных звеньев (рис. P14.1), меру пере-						Ðèñ. P14.1

тота сигнала первой гармоники, получаем

532 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

äà÷è Ρ 1,06 + j0,9 каждого из которых рассчитываем аналогично рассмотренному в упр. 1. Получаем:

à) KU KI e–2Ρ – 0,028 – j0,12; á) KU KI e–3Ρ – 0,038 – j0,017.

5. Параметры эквивалентной Т-образной схемы четырехполюсника, получаемые в результате преобразования соединения треугольником в звезду (элементы r1, r3, r1 íà ðèñ. Ð14.2):

Z1 Z2

r1r3

ch Ρ 1

Zc , Y0

(2r1 r3 )r3

1

sh Ρ.

2r

r

Z

sh Ρ

2r 2

(r r )

c

1

3

1

1 3

Решая эти уравнения относительно величины r1, получаем

r 2

Ðèñ. P14.2

r1

Z12

2Z

1

100 Îì, r3

2Z

c

172 Îì, r2

58 Îì.

1

Y0

Ρ

r3

cth

1

2

14.2. Электрические фильтры

ВОПРОСЫ

4. Электрические цепи вариантов à è á не обладают фильтрующими свойствами, так как напряжения на их выходах подобны входным напряжениям и соотношения амплитуд и фазовых сдвигов любой из гармоник на их выходах точно такое же, как и на входах. Электрическая цепь варианта â является фильтром низкой частоты, так как высшие гармоники хотя и присутствуют в выходном сигнале, однако выражены слабее, чем во входном сигнале.

6.Сигнал проходит через фильтр без искажений, если фильтр является идеальным, т. е. если коэффициент затухания равен нулю и зависимость Π( ) — линейная.

7.Сигналы на входе и выходе идеального фильтра в полосе его пропускания одинаковы, если частотный спектр входного сигнала располагается внутри полосы пропускания фильтра, поэтому одинаковы как их амплитудные, так и фазовые частотные характеристики. Если при прохождении через идеальный фильтр фаза

k-й гармоники входного сигнала изменяется на угол k, то форма сигнала на выходе фильтра будет такой же, что и на входе, при условии, что фаза гармоники порядка m изменяется в диапазоне полосы пропускания на угол m (m/k) k . Поэтому получаем m/m k/k const Ñ. Учитывая, что m m 1, ãäå 1 — ÷àñ-

m ( m 1)C mC1.

8. Аргумент амплитудно-фазовой частотной характеристики K(j ) U2(j )/ U1(j ) изображенной на рисунке мостовой цепи, изменяясь от 2# до нуля при изменении частоты сигнала от нуля до бесконечности, не является линейной функцией частоты, в связи с чем цепь не может рассматриваться как идеальный фильтр. Хотя амплитудные частотные спектры сигналов U1(j ) è U2(j ) совпадают, их фазовые частотные спектры различаются, что и ведет к различию форм входного u1(t) и выходного u2(t) сигналов.