RII_OCR[1]

1.7.	z=arccos(x+y).			1.8. z=3x+y/(2-x+y).
1.9.	z =-У9 - х2 -		у2.	1.10.	z =	In (х2 +у2_ 3).
1.11.	z =-У2х2 - у2.			1.12.	z =	4ху/(х - 3у + 1).
1.13.	z =-{-;у((х2		±у2).	1.14.	z =	arcsin (х/у).
1.15.	z =	In (у -	х ).	1.16.	z =	х3у/(3 + х -	у).
1.17.	z =	arccos (х + 2у).		1.18.	z...:.. arcsin (2х -		у).

1.19.z=ln(9-x2 _ y 2). 1.20. z=-Y3-x2_y2.

1.21.z=I/-Ух2+у2-5. 1.22. z=4x+y/(2x-5y).

1.23.Z=-Yзx-2f/(X2+y2+4).

1.24.z = 5/(4 - х _ у2).

1.25.z = In(2x - у). 1.26. z = 7хЗу/(х - 4у).

1.27.z=-YI-x-y. 1.28. z=e-Ух'+у'-l.

+у2 - 6). 1.30. z = 4ху/(х2 _ у2).

2. Найти частные производные и частные дифферен-

циалы следующих функций.						arcsin -v;y.
2.1.	z =	In(y2 - е-Х).		2.2.	z =
2.3.	z =	arctg (х2 +у2).		2.4.	z =	cos (хЗ - 2ху).
2.5. z=siп-Уу/хЗ.				2.6.	z =	tg (х		З	+у2).
2.7. z=ctg-УхуЗ.				2.8.	z = е-Х' + У'.
2.9.	z =	In (3х2 _	у4).	2.10.	z =	arccos (у/х).
2.11.	z =	arcctg (ху2).		2.12.	z =	cos -Ух2 + у2.
2.13.	z =	sin -Ух _	уЗ.	2.14.	z =	t~,(~:!/).
2.15.	z =	ctg (3х -	2у).	2.16.	z =	eZ'			.
2.17.	z =	In (~- 1).		2.18.	z =	arcsin (2хЗу).
2.19.	z =	arctg (х2/уЗ).		2.20.	z =	cos (х - -W).
2.21.	z =	sin х + у •		2.22.	z =	tg	2х - у2
		х-у							Х

2.23.	z =	ctg-v	х .
		In (3х2	х-у
2.25.	z =		_ у2).

zхЗ

2.27.= arcctg - .

у

2.24. z =	е--Ух' -t' У'.
2:26. z =	arccos (х _ у2).
-	cos	х-у
228. . z -		2 2'

Х +у

2.29. z = sin -v	у •	2.30. z = е-(х3 + УЗ).
	х+у
3. Вычислить значения частных производных fi(M o),
f~(Mo), f~(Mo) для	данной	функции f(x, у, z) в точке

223

Мо(Хо, Уо, zo) с точностью до двух знаков после запятой.

3.1.

{(х,

у,

z)=z/-VХ2+у2, Мо(О, -1,

1).

(Ответ:

ЩО, -1, 1)=0, f~(O, -1, 1)= 1, f~(O,

-1, 1)= 1.)

3.2. f(x, у,

z) =

Iп(х + %г)' Mo(l, 2,

1).

(Ответ: f~(I, 2,

1)=0,5, f~(I, 2,1)=0,25, f;(I, 2,1)= -0,5.)

3.3.

f(x,

у,

z)=(sinx)Yz, Mo(~, 1, 2).

(Ответ: f~( ~ ,

1,2) =0,87, fK ~,

1,2) = -0,35, f;( ~, 1,2) =

-0,17)

3.4. {(х,

у,

z) =

In(x3 + 2у3 -

Z3),

Мо(2, 1,

О).

(Ответ:

f~(2, 1, О) =

1,2, n(2, 1, О) = 0,6,

fi(2, 1,

О) =

о.)

3.5.

f(x, у,

z) =

X/-Vy2+ Z2, Mo(l,

О, 1). (Ответ: ЩI, О,

1)= 1, f~(I, 0,1)=0, ЩI, 0,1)= -1.)

3.6.

f(x,

у,

z) =

In cos (х2у2 + z), Мо(О,

О, :). (ответ:

f~(О, о,

:) =

О, n(О, О, :) = О,

fi( О, о,

:) =

-

1-)

3.7.

{(х,

у,

z) =

27 3 х + у2 +

Z3,

Мо(3,

4,

2).

(Ответ:

Щ3, 4,

2) =

1,

n(з, 4, 2·

= 8, /i(3, 4,

2)~ 12.)

3.8.

f(x,

у,

z) = arctg (ху + z),

Мо(2,

1,

О).

(Ответ:

fi(2, 1, О) =

0,2, n(2, 1,

О) = 0,8,

Щ2, 1,

О) =

0,2.)

3.9.

f(x,

у,

z) =

arcsin (х2/у -

z),

Мо(2, 5,'О).

(Ответ:

f~(2, 5, О) =

1,33, f~(2, 5,

О) = - 0,27,

Щ2,

5,

О) =

- 1,67.)

3.10. f(x,

у, z) =-,Гz sin (у/х),

Мо(2,

О,

4). '(Ответ: f~(2,

О, 4) =

О, n(2,

о, 4) = 1,

Щ2, О, 4) =

о.)

3.11. {(х,

у, z)=y/-VX2+Z2, Mo(-I, 1, О). (Ответ:

f~(-I, 1,0)= 1, n(-I, 1,0)= 1, Щ-I, 1,0)=0.)

3.12. f(x,

у, z) = arctg (XZ/y2),

Мо(2,

1,

1). (Ответ: Щ2,

1, 1)=0,2, n(2,1, 1)= -0,8, Щ2, 1, 1)=0,4.)

3.13. f(x, у, z)=lnsin(x-2y+zj4). Мо(l,

1/2, n).

(Ответ: ЩI,

1/2, n)= 1, f~(I, 1/2, n)= -2, 1;(1,1/2, n)=

=0,25.)

3.14. f(x,

у, z) =JL. + ~ -~,

Mo(l,

1,

2).

(Ответ:

х

у

z

ЩI, 1,2)=-1,5, n(l, 1,2)=-1, Щl, 1,2)=1,25.)

3.15. f(x, у, z)= 1/-Vx2+y2-z2, Mo(l,	2, 2). (Ответ:
ЩI, 2, 2)= -1, f~(I, 2, 2)= -2, fi(l, 2',2)=2.)
3.16. f(x, у, z) = In (х +у2) -#Z2~	Мо(5, 2, 3).

224

(Ответ: fi(5,	2, 3)--.:. -1,14, n(5, 2, 3)=0,44, f~(5, 2, 3)=
= 0,75.)	,

3.17. f(x, у, z) =-ГzxY, Мо(l, 2, 4). (Ответ: f~(I, 2, 4) = 4,

n(1, 2, 4)=0, fi(l, 2, 4)=0,25.)

-{2,

-{2).

3.18. f(x,

у,

z) = _z/-vГ-х:2:--+-у-:2О,

Мо(-{2,

(Ответ: f~(-{2, -{2, -J2) =

О,25,n(-{2,

-{2,

-{2)

=

0,25,

f;(-{2, -{2, -{2) =

-

0,5.)

+-\IY- z),

3.19.

f(x,

у,

z) =

'п (х

3

МО(2,

1,

8).

(Ответ:

fx(2,

1,

8) =12,

n(2,

1, 8)

== 0,33,

fi(2,

1,

8) =

-

1.)

3.20. {(х,

у,

z) =

z/(x4 +у2),

Мо(2,

3,

25).

(Ответ:

Щ2,

3,

25) =

-

1,28,

f~(2,

3,

25) =

-

0,24,

Щ2,

3; 25) =

=

0,04.)

,

у,

Мо(3,

1).' (Ответ:

3.21. f(x,

z) =

8-VX3 +у2 + z,

2,

Щ3,

2,1)=2,7, n(3, 2,1)=0,4,

fi(3,

2,

1)=0,1.)

3.22. f(x, у, z)=ln(.v;+-yy-.z), Mo(l, 1, 1). (Ответ:

f~(I,

1,

1)=0,2, n(1,

1, 1)=0,25, fi(l,

1, 1)= -1.)

,

3.23.

f(x,!.,

z) =

-;2х/1/2 + Z2,

Мо(?,

О,

1).

(Ответ:

fx(3,

О, 1)- -2,

fy(3,

,

1)-0,

М3,

О,

1)-6.)

3.24. f(x,

у,

z) =ze-(x' + у2)/2,

Мо(О,

О,

1).

(Ответ:

ЩО, 0,1)=0, n(О, 0,1)=0, ЩО, 0,1)= 1.)

.

3

.

25

'f(

х,

у,

z

) .

sin (х -

у)

'

М

о

(n

n

... Г?:\З'

('О

•

=

z

2'3'V V

J.

твет:

fi(;

,~ ,-Гз) = о,5,n(; , ~ ,-гз) = -0,5, f i (

~,

~,-гз) =

=

-0,17)

,

,

3.26. f(x,

у,

z) =-Гzln(..(x +-/У),

Мо(4,

1, 4). (Ответ:

fi(4,

1,4)=0,17, n(4,

1,4)=0,33. Щ4, 1,4)=0,27.)

3.27. f(x,

у,

z)=xz/(x-y), Мо(3,

1,.1).

(Ответ:

Щ3,

1,' 1)= -0,25, n(з, 1, 1)=0,75, Щ3, 1,

1)=1,5.)

3.28. f(x,

у, z)=-VХ2+у2_2хусоsz,

Мо(З,

4,

;).

( OTBeT."f~{3, 4, ;) =

0,6, n(3,

4,

;) =

0,8,

fi( 3, 4,

;) =

=

2,4.)

.

.

3.29. f(x,

у, z) = ze-XY,

Мо(О, 1, 1). (Ответ: fi(O,

1,

1) =

= -1, n(О,

0,1)=0, fi(O,

1, 1)= 1.)

3.30. f(x,

у,

z) =

arcsin (x-fY) - уг2,

Мо(О,

4,

1).

(Ответ: f~(O,

4, 1) =

2,

n(О, 4,

1) = -1,

fi(O,

4,

1) =

-8.)

4. Найти полные дифференциалы указанных функций.

225

4.1.

z =

2х3у - 4ху5.

4.2.

Z =

х2у sin х -

3у.

4.3.z =

arctg х +-.fi.

. 4.4.

z =

arcsin (ху) -

3ху2.

4.5.

z =

5ху

4

+

27"

z = cos(x

2

-

2

+ х

3

.

2х У .

4.6.

у )

4.7.

z =

ln (3х2 -

2!/).

4.8.

z =

5ху2 - 3х3у4.

4.9.

z =

arcsin (х

+

у).

4.1.0.

z = arctg (2х -

у).

4.11. z=7x3y - #

4.12. z=-VХ2 +у2_2ху.

4.13. z=ex+y -

4

•

4.14. z=cos(3x+y)-x2.

4.15. z =

tg «х + у)/(х -

у».

4.16.

z =

ct~ (у/х).

+ 1.

4.18. z =

lп (х + ху _ у2).

4.17.

z =

ху

-

3х2у

4.19.

z =

2х2у2 +хЗ

-

у3.

4.20. z =-V3X2 -

2у2 + 5.

4.21.

z =

arcsin«x +

у)/х».

4.22.

z =

arcctg (х - у).

4.23.

z =-V3X2 -

у2+ Х.

4.24. z = у2 -

3ху _

х4.

4.25.

z =

arccos (х +

у).

4.26. z =

ln (у2 -

х2 + 3).

4.27.

г= 2 _х3 -

у3

+ 5х.

4.28.

z =

7х _ х3у2 + у4.

4.29. z = eV-х •

4.30. z =

arctg (2х -и.

5. Вычислить значение производной сложной функции

и = u(х, у),

где х =

x(t), У = y(t),

при 1 = to с точностью до

двух знаков после

запятой.

~=t3, to=O. (Ответ: 1.)

5.1. и=ех -2у,

х=siпt,

5.2. u=ln(ex+e-Y), x=t, y=t3,

to= -1. (Ответ:

-2,5.)

y=el / 2,

1.)

5.3. u=r/,х=lп(t....:..I),

'o=2.~ (Ответ:

5.4.

u =

еу -2х +2,

х= sin t,

у = cos t, to =

n/2. (OTBer:

-1.)

u = х2еУ,

х =

eos t,

у=

sin t, to ---:- n. (Ответ:

-

1.)

5.5.

5.6.

u = ln(~

+ e!l}.

х = t 2,

у = t 3,

ta = 1.

(Ответ:

2,5.)

5.7.

u =

х9, Х =

е, У= 'п t,

/0 =

}. (Ответ: .. 1.)

5.8.

u =

еу-2х, х = siп t,

У =

t3,

to = О.(Ответ:

-2.)

5.9~

u =x2e-!l, х

= sin t,y = sin2 1,

10 =

лj2. (Ответ: О.)

5.10.

u =

'П (е-Х

+ eI'),

х =

[ 2,

у =

13, to =

-1. (Ответ:

2,5.)

Х = cos "

'о = л/2.

5.11. u = eY-2х -l ,

У =siл "

(ОТ­

вет: 2.)

5.12.

u =

arcsin (х/у),

х =

siп t,

У =

cos t,

'о =

'л. (ОТ­

вет: 1.)

х = sin t,

5.13.

и =

arccos (2х/у),

у =cos t,

to =

Л..

(Ответ: -2.)

х2/(у + 1),

5.14.

u =

Х= 1 -

2t,

У ="arctg 1,

10 =

О.

(Ответ: -5.)

226

5.15.	и=х/у, x=el , у=2-е21, 10=0.	(Ответ:	3.)
5.16.	u = ln (е-Х + е-2у). х = 12, У ={-р,	10 = 1	(ОТ­

вет: -2.)

5.17. и=../х+у2+3, x=ln/, y=/2, 10=1. (Ответ:

1,25.)

5.18. u = arcsin(x2/у),

х =

sin t,

у =

cos t,

/0 = n.

(Ответ: О.)

У= 1 +arctg t,

5.• 9.

и=у2/х,

х= 1-2t,

10=0.

(Ответ:

4.)

5.20.

u =..!!... -~, х = sin t,

у =

cos t,

to = ~. (Ответ:

-4.)

х

у.

4

5.21. и=../

х2 +у+3,

x=ln t,

у

_t2

,

to= 1. (Ответ:

0,5.)

..

5.22.

u = arcsin ~, Х= siл t,

У = cosi,

to = n. (Ответ:

0,5.)

5.23. и=~-..!!..., x=sin2t,

y=tg;!t, {o=~. (Ответ:

-8.)

у

х

4

5.24. u =../х +у +3,

Х = 'П t.

у =

f,

to = 1.

(Ответ:

0,75.)

.

.

5.25.

и=у/х, x=et, .у= l-е21, to=O. (Ответ: -:2.)

5.26.

u =

агсsiл (2х/у).

х= sin t,

!J =

cos "

to = n.

(Ответ:

2.)

.

5.27.

u =

ln (е2Х + еУ), х = t2, J1 = t4, to -

1. (QTBeT: 4.)

5.28.u=arctg(x+y), x=t +2,

y=4-t~,

10=1.

(Ответ;' О.)

5.29. и=../

х2 +у2+3,

x=lnt, y=t3,

10=1. (Ответ:

1,5.)

arctg (ху), х = 1+ 3,

у == е/,

to = {).

5.30. u =

(Ответ:

0,4.)

6. Вычислить значения частных ПРОИ'3водных ФУНJ{ЦИИ z(x, у)' заданной неявно, в данной точке Мо(Хо, Уо, zo) с точ~

ностью до двух знаков после запятой.

6.1. X 3+Y3+ Z 3_3xyz=4,				Мо(2,	1,	1).	(Ответ:
z~(2, 1, ч=з, z~(2, 1, 1)= -I.}
6.2.	х + у2 + Z2 -	ху = 2,		Мо(-1, О,		1).	(Ответ:
z~(-I, О, 1)=-1, z~(-I, 0,1)=0,5.)
6.3.	3х - 2у + z =	xz	+ 5,	Мо(2, 1.	-	1).	(Ответ:
z~(2, 1,	-1) = 4, z~(2,	1,	-1) =	-2.)

227

6.4.

е

г

+ х + 29

+ z = 4, Мо(l, 1, О). (Ответ: zi(I;I, О) =

-0,5, z~~l, 1,0)= - 1 . )",

'

6.5.

х

+у2 + Z2 -

Z -'4= О,

Mo(l,

1,

-1).

(Ответ:

z~(I, 1, -1)=0,67, z~(I, 1, -1)=0,67.)

6.6. z3+3xyz+3y=7,

Мо =(I,

1,

1).

(Ответ:

z~(I, 1,,1)= -0,5, z~(1, 1, 1)= ~0,5.)

6

•

7

•

cos

2

х

+

2'+ 23М

о

(n

3n

n )

.

cos

у

,'cos z =

"2'

Т'

т ' "4

(Ответ:

z;(л/4, 3л/4,

л/4) =

-1, z~(л/4, 3л/4,

лj4).= 1.)

6.8.

ег - I =

cos х cos у + 1,

Мо(О,

л/2,

1).

(ОТ8ет:

z;(O, л/2, 1)=0, Zq(O, л/2, 1)= -1.)

2,

1).

6.9.

х2 +у2+ г

---6х=0,

Мо(l,

(Ответ:

z~(·I,

2,

1)=2, z~(I,

2,

1)= ~2.)

,

6.10. xy=z2-l,Мо(0, 1, -1). (Ответ: z;(O,I, -1)=

=-0,5, ~(O, 1, -1)=0.)

6.11.х -2у2.+зz2 :--уz+у=2, МОО, 1, 1). (Ответ:

z;(1, 1,

1) =

-0,4,

z~(I, 1, 1) =

0,8.)

6: 12.

х2 + у2 + Z2 +

2хг ~ 5,

Мо(О, 2,

1).

(OtBeT:

z;(o, 2, 1)= -1, z~(O, 2, 1)= -2.)

,6;18. k<:os у +У cos z + z cos х = л/2,

Мо(О,

л/2,

л).

('Ответ: z;(0,л/2, л) =0, z;(O, л/2, л) = 1.)

,

6.14.

3х2у2+ 2xyz2-

2х z

+

4y 3z =

4,

Мо(2,

1,

2).

(Ответ: Z;~2,

1, 2) = 7,

г~(2, 1, 2} =

-16:)

Mo(l,

1,

6.15. х -21/+Z2-4x+2z+2=0,

1).

(Ответ: z~(I,I, I}=О,'5, z~(l, 1, 1)= 1.)

6.16. х +у + z + 2= хуг,

M()(2~

-1,

-1).

'(Ответ:

z;(2, -1, - I) , О, z~(2, -1, -1)= -1.)

6.17. х2 +у2 + Z2 -

2xz =

2,Мо(О"

1,

-1),

(Ответ:

Zx(O, 1,

-1) = 1, z~(O,

1, -1) =

1.)

6.18.

ег -

xyz -

х +1 = О,

Мо(2,

1,

О).

"(OTBe':r:,

z;(2, 1,

О) =

-1, zH2,

1, О) == О.)

6.19. х3 +2у3 + Z3 -

3xyz -

2у - 15 =

О, МОО,

-1,2).

(Ответ: z;(1, -1,2)= -0,6, z~(I, -1,2)=0,13.)

6.20. х2 -

2ху -

3у2 + 6х - 2у + Z2 -

8z + 20 = О,

"

Mo(O,~2, 2',.. (Ответ: z;(O, -2,2)

=

2,5,

z~(O, -2, 2)~

=25.)

','

'

"

,

6;21'~

х2 +i? +Z2'

у - z + 3,

мор,

2,

O)~

('Ответ:

z;(I, 2,

О) =

-2, z~(l, 2, О) =

-3.)

6.22.х2 +y2+:z2 + 2ху -

уг - 4х'- 3у - z

'

О,

МОО,

-1, 1). ('Ответ: z;(l; -1; 1)=2, z~(I,

-1,

1)':"-2.)

6.23. X2 _ y2_ Z2+6z+2x-4у+ 12~0,

Мо(О,

1,

-1). (Ответ: z;(O,

1,

-1) =

-'-0,25,

г~(o,

1,

-1) =

= 0,75.) .

.

228

	~			+ Z2 -			Мо(4,		1). (Ответ:
6.24.		х2 +-у2			3z =	3,		3,
zi(4, 3,	1) = 0,8,		z~(4, 3,		1) =	0,6.)
6.25. х2 +2у2			+3z2 =		59, Мо(3, 1,4). (Ответ: zi(3, 1,4 =
= -0,25, z~(3, 1,4)= -0,17.)
6.26. х2 +у2 +Z2 - 2ху- 2xz -							2yz =	17,	Мо(-2,

-1,2). (Ответ: zi(-2, -1, 2)=0,6, z~(~2, -1,2)=0,2.)

6.27.

х3 +3xyz -

Z3 =

27,

Мо(3,

1,

3).

(Ответ:

zi(3, 1,

3) =

2,

z~(3,

1,

3) =

1,5.)

6.28.lnz=x+2y-z+ln3, Mo(l, 1, 3). (Ответ:

zi(l, 1, 3)=3/4, z~(I, 1,3)=3/2.)

6.29.

2х2

+

2у2

+ Z2 -

8xz""": Z +6 =

О,

Мо(2,

1, 1).

(Ответ:

zi~2,

1,

1) =

О,

z~(2,

1,

1) = 0,27.)

6.30.

z =

ху -

z +

х

-

4,

Мо(2,

1,

1).

(Ответ:

zi(2, 1,

I)~ 1,67,

z~(2,

1,

1)~0,67.)

Решение типового варианта '

1. Найти область определения функции z = Iп (х2 _

-3у+6).

~ Логарифмическая

уфункция определена только .

при положительном значении

аргумента, поэтому х2 -3у+
. +6 > О,	или 3у < х2 +6.
Значит,	границей области

будет линия х2 -3у+6=0, ИЛи х2 = 3у - 6, т. е. пара-

Рис. 10.4

бола. Область определения данной функции состоит - из внешних точек пара,болы (рис. 10.4). ~

2. Найти частные производные и частные дифферен-

циалы функции z - e-Vx' + 5у'. .

~ Вначале - найдем частнЬ{е производные функции, использовав формулу дифференцирования сложной функ­

ции одной переменной:

дг =	e-Vx' + 5У'( __Цх2 +5у2)-2/3. 2х) =
дх	3

229

	= _ 10у e-J,Jх' + 5у'		1
	3	V(x2 + 5у2?
Теперь находим частные дифференциалы;
dxz=aZ dx =	_2xe-J,JХ'+5у2	1	dx
дх	3	V(x2 + 5у2?		'
dyz . dz dy= _ 10у e-J,Jх'+5у'			l'dy. ~
dy	3	V(x2 +5у2?
3. Вычислить значения частных производных f~(Mo),
f~(Mo), ЩМо)	д,ля данной функции t(x,			у, z) =,r;ycos z

в точt<е Мо(1, 1, n/З) с точностью до двух знаков.после

запятой.

.~ Находим частные производные данной ФУI;IКЦИИ,

затем вычисляем их значения в точке Mo(l, 1, n/З):

t;(x, у, z)

=

!:;::os Z,: f~(I,

1,

п/З) = 0,25,

2 ху

.

.

'~(x,

у,

z) =

!:;;:os z,

ПО,

1,

~/З) =

0,25,

.

2

ху .

Щх,

у,

z) = -,r;ysin z,

f~(I,

1, n/З)=

-0,86.

~

4. Найти

полный

дифференциал' фующии

z =

=arctg#y.

~ Находим частные производные данной Функции:

дг_

1

1

1_

у

v;

1_-../iix

дх -1 +х/у

2wY

у -

х+у

2-';;'-У -2(х+у)'

дг _ 1

1

(

-

х) _ у -УУ.(

-

х)_ WY .

ду -1 +х/у 2-..;;;у

у2

-х+ у 2,д

у2 . -

-:.2(х+у)·

Согласно формуле (10.1),

имеем

dz =.уу;;

dx -

-V;;;

d

.

~.

2(х

+ у)

2(х +у)

у. ~

5. Вычислить значение производной сложной функции

~	где х =	1 + In 1, У =	,	при 10 =	1
z = arccos-,			-2e- t + 1,

у

сточностью до двух знаков после запятой.

~На основании формулы (10.4) имеем

		- 1			(_~) (-2е-t'+I)(-2t).
			-../1 _		x 4 j y2	У		,
	При to =		1 получаем,			что 'х =		1, У = -		2,
					dZI	=_4_		~
					dt1t=ol'		-Гз'
6.		Вычислить значения чаСТНЫХПРОИ3ВОДl:lЫХ функции
z(x,	У), заданной				неявно	уравнением 4х3			-	3У3 + 2xyz -
- 4xz '--3 -			Z2, В точке Мо(О, 1, -					1) с точностью до двух
знаков после запятоЙ.								z) = 4х3 -		3У3 +2xyz -
•		В данном случае Р(х, У,
~ 4х?		+Z2 -		3, поэтому				. '
		p~ =		12х2 +2yz - 4z, p~ = - 9у2 + 2xz,
					Fi = 2ху -		4х +2z.
	Следовательно, по формулам (10.7):
дг _		. p~ _		12х2 + 2уг - 4г дг _				Р; _		- 9у2 + 2хг
дх -	-	p~ -	-	2ху - 4х + 2г ' ду -				- p~ -	-	2ху - 4х + 2г

Вычисляем значения :~ и· ~; в точке Мо(О, 1, - 1):

дг(О. 1. -1)=1 дг(О. 1.-1)=-45 ~.

дх	' . ду	, .
	ИДЗ-l0.2

1. Найти уравнения касательной плоскости и нормали

к заданной повеRХНОСТИ S в точке Мо(хо, Уо, zo).

1.1.	S:	X2 +y2+ Z2+6z-4х+8=О,	Мо(2, 1, -1).
1.2.	S:	х2 + Z2 - 4f2 = -2ху, Мо(-2,	1, 2).

1.3.S: X2+y2+ Z -xy+3z=7, Mo(I, 2·,1).

1.4.S: X2+y2+ Z2+6y+4x=8, Mo(-I, 1,2).

1.5.S: 2X2_f2+Z2_4z+y= 13, Мо(2, 1, -1).

1.6.	S:	х2 +у +z2-6y+4z+4=0, Мо(2, 1, -1).
1.7.	S:	х2 + Z2 - 5yz + ЗУ = 46; Mo(I, 2, -3).

1.8.	S: х22 +у2 - xz - yz = О, Мо(О, 2, 2).
1.9.	S: X +y2+2yzZ2+ y -2z=2, Mo(l, 1, 1).

1.10.S: y2_ Z2+ X2_2xz+2x=z, Mo(l, 1, 1).

1.11.S: z=x2 +y2-2ху+2х-у,Мо(-I, -1, -1).

1.12.S: Z=y2_ X2+2xy-3у, Mo(I, -1, 1).

1.13.S: Z=X2 _ y2_2xy-х-2у, Мо(-I, 1,1).

+Z2 + xz - 4у = 13, Мо(3, 1, 2).

1.15. S:

4y2_ Z2+4xy-хz+3z=9,

Мо(l, -2,1).

1.16. S: Z=X2ty2_3xy-х+у+2, Мо(2, 1, О).

1.17. S:

2х2

-

if + 2z2+

ху + xz = 3,

Мо(l,

2,

1).

1.18. S:

2

-

у + Z2

-4х + 2у =

14, Мо(3, 1, 4).

х2

1.19. S:

X +y2_ Z2+ xz

+4y=4, Мо(l, 1,2).

1.20. S:

х2 - у2 - Z2

+ XZ

+ 4х =

-5, Мо(-2, 1, О).

1:21. S:

X2+y2_XZ+Yz-3х= 11,

Мо(l,

4,

-1).

1.22. S:

х2

+

2if2 + Z2 -

4xz =

8, Мо(О,

2, О).

1.23. S: х2

_у -2z2

-2y=0, Mo(-I, -1, 1).

1.24. S:

2

2

+xy= -2z, Мо(l, 0,1).

X +y2_3z

1.25. S:

2х2 -

if2 + Z2 -

6х +

2у +6 =

О, Мо(l,

-1,

1).

1.26. S:

х2

+у -z2+6xy-z=8, М (l, 1,

О).

1.27. S:

z =

2х

2 -

3у2

+ 4х -

2у + 10, о Мо(-1,

1"

3).

1.28.

S:

z =

х2

+

у2 -

4ху + 3х -

15, Мо( - 1, 3, 4).

1.29. S:

z=x2+2y 2+4xy-5y-IO, Мо(-7, 1, 8).

1.30. S:

z=2х2 -3у2+ ху +зх+ 1,

Мо(l,

-1,

2).

2. Найти вторые частные производные указанных

функций. Убедиться в том, что z':y =

z'Jx.

2.1.

Z=e"'_y2.

2.2.

z=ctg(x+y).

2.3.

z =

tg (xjy).

2.4.

z =

cos (ху2).

2.5.

z =

siп(х2 - у).

2.6. z =

arctg (х +у).

2.7.

z =

arcsin (х - у).

2.8. z =

arccos (2х

+ у).

2.9.

z =

arcctg (х - 3у).

2.10. z = ln (зх2 -

2у2).

2.11.

z =

ёх'+ у2.

2.12. z =

ctg (yjx).

2.13.

z=tg#

2.14. z=cOS(X2y2_5).

2.15.

z =

siп...;-;зу.

2.16. z =

arcsin (х - 2у).

2.17.

z = arccos (4х -

у).

2.18. z = arctg (5х + 2у).

2.19.

z =

arctg (2х -

у).

2.20. z =

ln (4х2 -

5у3).

2.21.

z=e,,}x+ y.

2.22.z =

arcsin(4x+ у).

2.23.

z = arccos (х -

5у).

2.24. z = sin#

2.25.z = cos (зх2 - у3). 2.26. z = arctg(3x + 2у).

2.27.z~ In (5х2 - 3у4). 2.28. z = arcct~ (х '4-у).

2.29. z = In (3ху - 4). 2.30. z = tg (ху ).

3. Проверить, удовлетворяет ли указанн6му уравнению

данная функция и.

232