RII_OCR[1]

(Ответ' а)	21;	б)	7 +21п 2)
9			4
2. а) ~	у -	1	dy; б) ~	xdx
4-fY+1			ol+-Гx
(Ответ: а)	23/3;		б) 16/3 - 2	'П 3.)

3.	а) ~9	(1	~:2)З ;б)	~9 -Г{;dx.
	4			01+ х
(Ответ: а)		3/16; б) 3 +41п 2.)
	9.2.		НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Если	фуикция		У = {(х)	непрерывна при а ~ х ~ + 00, то

в

~ f(x)dx = J (8) - иекоторая непрерывная функция 8 (р,и€ 9.3) Тогда

а

предел

	8
lim	~f(x)dx	(9.4)
8---.+ 00	а

иазывзется несо6ственным интегралом с бесконечным верхним nреде110М функции У =f(x) на интервале [а. + (0) и обозна<иется

+00

~ f(x)dx	(9.5)
а

у

	р и с	9.3
Следовательно, по определению·
+00			8
~	f(x)dx =	lim	~ ,(х)ах
а	В_ + 00		lJ
Если предел (9.4)	существует, то		иитеграл (9.5) иазывается

сходящимся, если же -предел {9.4) не существует, в частиости беско­

нечен,- расходящимся_

Аналогично определяются нес06ственный интеграл с бесконечным

143

нижним пределом и несобственный интеграл" с обоими бесконечными

пределами:

h			Ь
J", f(x)dx = Ali~00			j f(x)dx,
+00		с		/3
\ f(x)dx =	lim	\ f(x)dx + lim		\f(x)dx,
- 00	A~-oo А		В__ +00	с
где - 00 < с < + 00.				+00
	Если	сходится	интеграл	\ If(x)ldx, то

а

интеграл (9.5) называется абсолютно сходящимся. Для устаиовлеиия

сходимости интеграла (9.5) можно пользоваться следующими призна­

ками сравнения.

Теорема 1. Пусть для всех х;;;;' а справедливо неравенство O:S;;; :S;;; ((х) :S;;; <р(х). Тогда:

+00

1) если интеграл \ <p(x)dx сходится, то сходится и интеграл

а

+00

\f(x)dx, причем

а

+00 +00

\ f(x)dx:S;;; \ !p(x)dx;

аа

+00

2) если интеграл \ f(x)dx расходится, то будет расходиться

а

	+00
и интеграл	\ q>(x)dx.
	а

Отметим, что всккий абсолютио сходящийся иитеграл сходите•.

Прнмер 1. Даи	иитеграл	+ 00	dx
		\	-а (а. > О). Установить, прн каких
		1	х
зиачеииях а. этот иитеграл сходится, а				при каких - раСХDДИТСЯ.
~ Предположим, что а. =1= 1. Тогда
r d: =	I_xl-aI8 = __1_ (81-. _ 1),
8
J х	'-а.		1	'-а.
+00
~	dx	.		1	I-а)
	- =	11т	--- (8		-1.
	ха 8~+00		'-а.
Следовательио, если а. > 1, то
	+(00	dxl
	J	-:;;;-=a.-I'

144

т. е. даииый интеграл сходится; если о; < 1, '1'0

+00

~ ~~= + 00,

1

Т. е. интеграл расходится. При о; = 1 имеем

+00		8
r dx =		lim r~x=		limln 8 =
)	х	8-+00)	х	8_+00
1		1

т. е. даниый иитеграл расходится.

Отметим, что р.ассмотреииыЙ интеграл

личным. •

Прнмер 2. Вычислить несобственный иитеграл

или установить его расходимость.

~Имеем

+ 00;

-

отиоситси к таб-

+00

~dx

х2 +4х+ 13

+ 00

8

х + 2/8

r

х2

dx

_

lim

r

dx

l'

1

)

+ 4х+ 13 -

8- + 00 )(х

+ 2)2 + 9

8-':~

00 3 arctg -3-'1 =

I

1

= ~ lim

(arctg 8 + 2 _ arctg 1) = ~(~ _~) =~...

38-++=

3

3

2

4

12

+00

dx

3. Доказать,

~

Пример

что

интеграл

(х2 + l)eX

сходитси~-

.

1

1

1

~

Так как

2

+ I)e':

:s;;; - 2 -- пры·х ;;;;, 1 и иитеграл

(х

х + 1

+00

8

r ~= lim

(~= Ii'm arctg xl 8 =

)

х2

+ 1

8_+0о)х2 + 1

8-++00

1

1

l'

= 'lim

(arctg 8 - arctg 1) =~ -~ =~

8 - +

00

2

4

4

сходится, то исходиый иитеграл также сходИ'l!C1t"··~~.~­

ремы 1) . •

3 а м е ч а и и е. При-вычислении несо6СТlreннvхинтегралов с ~­

иечиым промежутком иитегрирования часто ,пользуются символи<JeCКИ'&

равеиством

+00

~	f(x)dx = F(x) и- 00,
а
где Р(х) = Нх) и F( + 00) =	lim F(x).
	Х-+ + 00

145

Пусть	функции у = {(х)		иепрерывна			во всех точках отрезка [а, Ь},
за исключением точки		х = с,		где	оиа	терпит бесконечный		разрыв
(рис. 9.4)	Тогда по определению
	ь	с -		EI			Ь
	( f(x)dx =	lim	(	f(x)dx + lim			(f(x)dx,	(9.6)
	)	EI_O	j			Е2-0	j
	а		а				с + Е2
где 8, > О;	82> о. Интеграл		(9.6)		называется		несобственным интегра­

лом от разрывной функции. Если оба предела, стоящие в правой

части равенства (9.6) существуют, то даииый иитеграл иазывается

сходящимся, а если хотя бы один из иих не существует,- расходя­

щимся. В случае, когда с = а или с = Ь, в правой части равенства (9.6) будет только одии предел.

р н с. 9.4

Пример 4. Найти, условия сходимости ирасходимости несобствен­

ного	иитеграла			d	.
				~ (а. = const > О)
				~хо.
				о
	.. Подынтегральная функция терпит беСКОl!еч.ныЙ разрыв п·ри х = о.
	Если	а. =1= 1,		то
I			I
(dx =		lim	(dx =		lim х-а +' 11 = liт (	1 _
jxa	__ o+ojxa				__ 0+0-a.+1 •• _0+0	-а.+'
о				1	.
_ 8-а+')=
				1_а.ПРИ a.<I,
-	а. + 1		{	00	при а. > 1
	Если	а. = 1,		то

In	Ixlll- = - __lim0+0Iп 8 = + 00-
		..
Итак, данный интеrрал	(который	также отиосится к табличиым
в 1'еОрии неСQбствеииых интегралов от		разрывных функций) сходится
при О < а. < 1 и расходитси	при а.;;;;' 1	•

146

	1
Пример· 5. Вычислить иесобствеиный иитеграл	( dx
	~-УI -х'

~Подынтегральиая фуикция терпит бесконечный разрыв в точке

х= 1. Следовательно, по определению

1			1-8
(_:..:---=		lim	(	(l-х)-,/2dх=lim(-2)(I-х),/2I'-' =
J-v I -	х	f -.. О	J	Е-О	О

Оо

= -2 lim (";'-1--1-+-е-	~= 2 lim (1 - .y;j = 2 (е> О),
. _ 0	8_0

т. е. даиный иитеграл сходится. •

Теорема 2. Пусть на отрезке [а; Ь] функции ((х), IjJ(X) терпят бес­

конечный разрыв в точке х = с		и во всех	точках отрезка		[а;	Ь], кроме
х = с,	выполняется неравенство IjJ(X);;;;' {(х);;;;' О.			Тогда
	ь
1)	если интеграл \ ljJ(x)dx	сходится,	то	сходится	и	интеграл

а

ь

\ f(x)dx;

а

ь

2) если интеграл \ f(x)dx расходится, то расходится и интеграл

а

ь

\ ljJ(x)dx.

а

Утверждения 1 и 2 иазываются также теоремами сравнения. Пример 6. Исследовать, сходится ли иитеграл

1

( dx

j ух+ 2хЗ'

о

~ Подынтегральиая фуикции терпит разрыв в точке х = о. Очевид­

ио, что при х ;;;;, О

--:~--:s;;;1_.

Ух+2хЗ ух

Так как несобствениый иитеграл

=~ lim (1 -	.y;j=~ (е> О),
3 ._0	3

т. е. сходится, то сходится и исходный интеграл (на осиоваиии утвержде­ ни!! 1 из теоремы 2). •

147

АЗ-9.2

Вычислить данные определенные интегралы.

е
1. ~	Iп xdx. (Ответ: 1.)
I	'
л

2. ~ х2 cos xdx. (Ответ: -2л.)

3. ICO~dX. (Ответ: -4.)

	-{3		.уз
4.•	~ х arctg xdx. (Ответ: 2; - -:- )
	I
5.	~ x2exdx. (Ответ: е -		2.)
Вычислить		несобственные интегралы или установить
{х расходимость.
	00
6. (~. (Ответ: 0,5.)
	Jx(ln х)
7.	~ хЗе-Х'dх. (Ответ: 0,5.)
	00
8.	f2 + sinx dx. (Ответ: расходится.)
	}-Гх
I/e
9.	(~. (OT(JeT: 1.)
	J x(ln х?	'
	о
	2'	"	'
10.	~~:d~ I	(Ответ.: 8/3.)
	I	'

Самостоятельная работа

1. 1) tlычислить интеграл

I

~ xe-xdx;

148

2) вычислить несобственныи интеграл или установить

его расходимос:гь:

•

f RX

~x~'

(Ответ: 1) 1-2/е; 2) 2.)

2. 1) Вычислить интеграл

л

~х sin xdx;

2)вычислить несобственныи интеграл или установить

его расходимость:

( xdx

) (1 + х)'

о

(Ответ: 1) л; 2) 0,5.)

3. 1) Вычислить интеграл

1

~хеЗХdх;

2)вычислить несобственныи интеграл или установить

его расходимость:

2

( dx

)х In х'

1

(Ответ: 1) (2е3 + 1)/9; 2) расходится.)

9.3.ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

КЗАДАЧАМ ГЕОМЕТРИИ

Вычисление площадей плоских фигур. Как отмеча;Jось в § 9.1, определенный интеграл в слу'ше, когда {(х) ~ О, х Е [а; Ь}, с геометр.и­

ческой точки зрения определяет площадь криволинейной трапеции.

Но площадь всякой плоской фигуры можно рассматривать как сумму или разность площадей некоторых криволинейных трапеций. Это озна­

чает, что с помощью определенных интегралов можно вычислять пло­

щади различных плоских фигур.

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной. кривой

у = х2 -	2х, прямыми х =	-	1,	х = 1	и осью	Ох.
~	Вначале построим		фигуру,		ограииченную<		даиными линиями
(рис.					+ 1S21 = S 1 -		S2, поэтому
	О				1
	S = \	(х2	-	2x)dx -	\ (х2 -	2x)dx =
	- 1				О

149

В более общем случае, когда данная фигура ограничеиа двумя
кривыми у = [. (х), у = f2(X)	И двумя	вертикальиыми	прямыми х =: а,
х = Ь, причем f. (х)';;;; f2(X), Х Е [а; Ь1 имеем (рис. 9.6).
	ь
S = \(f2(X) -		f. (x»dx.		19.7)
	а
приме? 2. Вычислить	площадь	фигуры, ограничениой		лиииями
у=3х-х иу=-х.
~ Находим точки пересечения даиных кривых и строим искомую
фигуру (рис. 9.7):
у=3х-х2,} {у= -х,
у= -х,	=> -х=3х-х2•
Решая последнюю систему,	получаем:	х. = О, Х2 = 4,	у. = О,	У2 = -4.
Следовательно, согласно формуле (9.7), имеем
4		4
S = \(3Х - х2	- (-x»dx = \(4Х - x 2 )dx =

оо

= (2х2 _ ;) 1: = 3:.•

Если

кривая

АВ, ограничивающая криволинейную трапецию

(рис. 9.8), задана

параметрическими

уравнениями

х = lJ'(t),

У = 1jJ(t),

то площадь криволинейной трапеции

р

S = )1jJ(фр'(t)dt,

(9.8)

а

1jJ(f;\) =

(1jJ(t);;;;, О

где а. и ~ определяются из

уравнений ер(а) =

а и

Ь

на отрезке [а; ~}).

Пример 3.

Вычислить

площадь

фигуры,

ограничеииой

эллипсом

х2

у2

а2

+/}= 1.

~ Запишем

параметричеСКJIе

уравнения

эллипса:

х = а cos t,

У = Ь sin t.

С учетом

свойств симметрии фигуры

и

формулы (9.8)

получаем (рис. 9.9)

а

о

11/2

S = 4 \ ydx = 4 \ а siп t( -

Ь sin t)dt = 4аЬ \

sin 2 tdt =

о

1I~

О

1I/~

.~

=

4аЬ ~

1 -

~os2t dt = 2аь(t -

-} sin 2t) С2

=

лаЬ. •

о

В·случае; когда· иепрерыsная кривая задана в полярных .коорди-

натах уравнением

р =

p(IJ'),

площадь

криволинейlЮГО

сектора ОМ.М2

(рис. 9.10), ограниченного дугой кривой и двумя полярными радиусами

ОМ! и· ОМ2, соответствующими значениям ер. и !р2 ПОЛЯРИQГО угла,

выражается интегралом
'1'.
S =-}~(p(ep»2dep.	(9.9)

'1"

15Q

Рис. 9.5

Рис. 9.6

х

у в

ах

Рис 9.7

Рис. 9.8

у

у

ь

)(

Р и с 9.9

Рис. 9.10

151

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограиичеиной лемиискатой Бериулли (х2 +у2)2=а2 (х2 _ у2) (рис. 9.11).

~ Запишем уравнение даииой кривой в полярных координатах. Для этоro-Э'зменим х и у в исходиом уравиении выражеииями х = р COS q>,

у = р siп q>. Получим: р2 = а2 cos 2ч> или р = а-Ycos 2ф. С учетом свойств

симметрии фигуры искомая площадь S может быть вычислена по

формуле (9.9):

п/4
S = 4 . ~ r а2 COS 2q>dq> = 2а2	• ~sin 2q>1"/4 = а2		••
,2]	2	о

о

v

Вычислеиие длины дуги кривой. Пусть дуга АВ кривой задана уравн.ением у = ((х), где f(x) - непрерывно дифференцируемая фуикция.

v

Тогда длина дуги АВ (рис. 9.12)

ь
1= \ -!I+i'dx.	(9.10)

а

у '.

у

в

ах

							х
			Рис. 9.11			Рис. 9.12
	в	случае,		коrда кривая	задаиа	параметрическими	уравиеИИЯМJf
х = qi{t),			У = 1jJ(t}, где q>(t), ф(t}~ uепрерывно .!tнффереR'Цlфуемые- фуик--
ЦИИ,	длина дуги 1 вычисляе1'~				по-- формуле,		'.
					~	у;'dt.,
				1=	\ -vx;' +		(9.11)
					а
Здесь		0;,	~ -	зиачения параметра t,		соответствующие	концам дуги
А и	В.'
	Если гладкая кривая задаиа в поляриых координатах уравнением
р =	p(q»,		то д~ииа t дуги М';М2 выисляетсяя по формуле
							(9.12)
				'1"
где q>,		и q>z соответствуют коицам дуги М, и М2••					•

- Прнмер5. Вычислитьдлинудуги кривойу= ~ .j;з, абсци~сыконцов

которой х, = узи Х2 =..j8.

152