RII_OCR[1]

11. ОБblКНОВЕННblЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

11.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. МЕТОД ИЗОКЛИН

Уравнение называется дифференциальным относительно неко~торой

искомой функции. если оно содержит хотя бы одну производную этОй

функции. Порядок дифференциального уравнения совпадает '(по опреде­ лению) с порядком наивысшей производной. входящей в 'это уравнение.

Если искомая функция у является функцией одного аргумента

х. то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если же

искомая функция зависит от нескольких аргументов. то дифференциаль­ lЮеуравнение называется уравнением в частных nроизводных. На­ пример. уравнение 2ху' - 3у = О. где у = у(х). является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. а и~ - и~ + ху + + 1 = О. где и = и(х. у).- дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка. (В этой главе рассматриваются только'

обыкновенные диффереНЦИflльные уравнения. поэтому в дальнейшем

для краткости слово ,«обыкновенные» будем опускать.)

В общем случае дифференциальное уравнение n-го порядка может'

быть записано в виде

Ф(х. у. у', у"• ...• ,/"-1). у.n)=о.	(11.1)
Если ypaBHeH!le (11.1) удается разрешить относительно наивысшей
производной. то получаем уравнение в нормальной форме:
Y(n)=f(x. у. у'. у" • ...• y.n-I).	(11.2)

Процесс нахождения решений днфференциального уравнения называет-

ся интегрированием уравнения.		.
Решением	(или интегралом) дифференциального уравнения (11.1)
(илн (11.2.)	называется любая	действительная функция у	= у(х).

определенная на некотором интервале (а; Ь) и вместе со своими про­

изводными обращающая данное дифференцнальное уравнение в тожде­

ство. (При	этом производные фУJlКЦИИ				у = у(х) предполагаются
существующими. )
Пример	1.	доказать.	что функцня	у =	хе2х, определенная на всеи
числовой 'оси.		является	решением	дифференциального уравнения
~-~+~=Q					.

у' =

4е

~Подставив в данное уравнение саму функцию и ее производные

+2х). у" = 4е2Х (1 +х). получим тождество:

+х) - 4e2X (l +2х) + 4хе2Х = 4e2X (l + х - 1 - 2х + х) """ о. ~2

Пример 2. Доказать. что функция у = у(х). заданная внеявном

виде:	F(x. у) """ Iп .J!.. -		5 + ху =	О. обращает дифференциальное урав­
		х
\Jение	(х +х2у)у' = У -		ху2 В тождество. т. е. является его решением.
~ действительно. согласно правилу дифференцировання неявной
функции F(x. у) =		О (см. формулу (10.6». имеем
у' = _ F~ =		_(у_ ..!..)/(х+..!..) =.!!.. I-xy =				l_ху2
	F~		х	У	х 1 + ху	х + х2у

243

Подставив. найденную произвоДную.у' в исходное дифференциаль­

ное уравнение, получим тождество.' ~

Если функция, являющаяся решением дифференциального уравне­

НИЯ,определена в неявном виде: F(x, у) = О, то F(x, у) = о называется

интегралом (а	не решением)	данного дифференциального
уравнения. Так, в	примерах 1 и 2	Имеем соответственно	решение
и интеграл заданных дифференциальных уравнений.			,
График решения (или интеграла) днфференциального уравнения
(11.1) (ИJ).И (11.2»	на плоскости Оху называется интегралышй линией.

Следова"Гельно, каждому решению или интегралу соответствует инте-

гральная линия. .

Вопрос о существовании и единствен,ности решения дифференцliаль­

ного уравнения	(11 .2) разрешает
Теорема 1 (Коши). Если правая часть уравнения (11.2) является
непрерывной функцией в окрестности значений
		(11.3)
то уравнение	(11.2) имеет	решение у = у(х) в некотором интервале
(а; Ь), содержащем хо, такое,		что
		(11A)

Если в указанной okpecmocTU непрерывны еЩf ичаСТН~lе nроизв;дные

этой функции по аргументам у, у', ..., y(n-I),		то решение у = у(х)­
единственное.
Числа	из совокупности (11.3) называются	начальными		данными,
а равенства	(11А) - начальными.услов.иями.	'	~
Задача	Коши для дифференциального уравнен'ия		n-го	порядка­

формулируется следующим образом. Найти решение у = у(х) дифферен­ циального уравнения (11.1) или (Jl.2), удовлетворяющее начальным данным (11.3), т. е. такое решение, чтобы выполнял,щ:ь нз"!зльные

условия (11,.4). . ..

. Любое диффереНЦЩlJlьное уравнение (1,1.2) в оола<;тн,уДОВ,(Iе'tво'

ряющей' теор.еМе .Кощи, и.меет· беСЧ)lсленное . множество . решщшЙ. Во' общего'воря, это справедливо и для дифференциального уравнения

(11.1).' Для описания· этих		множеств решений'		ВВОДИТСЯ'понятliе
общего ре.шения.	.'	.	" . '	. . .

...• Общим решениемдЦфф'ереНli,иального уjювнения (Il.1) или (1 J.~)

называется функция вида'у = ЧJ(Х, 01, е2, "', 'Сп) или короче iJ d: ЧJ(Х; с,);

где	e,(i = ~ - произвольные			постоянные, УДОВJIетворяющие следую-
щим .двум условиям:			.
	1) она	является	решеннем	дифференциального			уравнения (11.1)
или	(] 1.2)	при любых .:значениях		Ci ;	•• .		.
	2) для .любых .начальных данных Хо, Уо, Уо,					..., .Ybn - I >, .при. которы!{
дифференциа'лЬ\lое уравнение имеет					решение, мож'(ю указать значения
п()стоянных .С;,= е;о,			такие, что	б)'дут выполнены начальные				'условня
ЧJ(Хо, Со) =		Уа, ЧJ' (хо,	еiO) = Уа, ..., ЧJ(n- 1) (хо, е,о) = y~' -				1):. .	ei ) = О,.
.	·,Общее	рltшение,	ПОЛУЧенное в.		неявном	щще:	Ф(х,. у,

называется общим интегралом дифференциального. уравнения. Решение или интеграл, ПО.~ученные из Общего ~шения или общего

интеграла. при фикснр?ваНIН;,IХ Зllачениях ПРОИЗВOJlьных постоянных eii

называетсS! СООТветственно частным решением или частным интегралом

дифференциального уравнения.

244

3 а м е ч а н и е. У дифференциального уравнения может существо­

вать решение (интегf"llЛ), которое иевозМОЖНО'- получить из общего

решения ни при каких значеииих произвольных постоянных- С;. Такое решение (интеграл) -может оказаться особы'м 11 ТОМ 'смысле, что в любой

его точке нарушаются какие-либо услЬ8ия теоремы Коши. Например,

диффереНЦl!альное уравиение у" = ЗV(у' - 1)2 имеет общее решение

1	+ С2,	где С., С2	-
У = х + '4 (х + С.)4			- пронзвольные постоянные.
,Фуикция у = х + С, где С -		произвольная постояннаи, также является

реШением данного уравнения, но это решение не может быть получено

из общего ни при каких значениях С. и С2• Кроме того, у' = 1 для любой точки решения, что приводит к нарушению условия единственно­ сти из теоремы Коши, ибо частная производная правой части данного

уравнения по	у'	при у' = 1 разрывна.		Следовательно,	решение
у = х + С ивляется особым. В дальнейшем особые решения, как правило,
рассматриватьси не будут.			.
Отметим,	что	теория	неопределенноro	иитеграла по	существу

явлиется теорией класса простейших дифференциальных уравнений

вида у' = f(x), общее решение которых
у =	~f(x)dx = F(x) + С,
где F(x) - первообразиая	для функции	{(х),	т.	е. F'(x) = f(x);	С­
произвольная постоянная.
В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка
может быть записаио в виде
	F(x, у, у') =	о			(11.5)
или, если разрешить его относительно у',		в иормальиой форме
	у' = {(х, у).				(J 1.6)
Справедлива
TeopeAlll 2 (Коши). Если функция		'(х,	у)	непрерывна в	точке

Мо(Хо, уо) и в ее окрестности, то существует решение у = у(х) уравнения

(//.б), такое, что у(Хо) = уо. Если непрерывна также частная nроuзвод­

дl .

ная -д данной функции, то это решение единственно.

у .

Отметим, что иногда дифференциальное уравнеиие первого порядка удобно записывать в так называемой дифференциальной фОР'ме:

		Р(х, y)dx + Q(x, y)dy = О.				(11.7)
Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
имеет	следующую	формулировку. Найти	решение у	=	'р(Х) (интеграл
Ф(х,	у) = О) дифференциального уравнеиии (11 .5)				или	(11.6),
удовлетворяющее		начальному условию	'Р(Хо) = уо	(ф(хо,		уо) = О).

С геометрической точки зрения это означает, что среди всех интегральных

линий данного уравнеиии необходимо иайтн ту, котораи проходит через

заданную точку Мо(Хо, уо).

Геометрнческаи интерпретация дифференциального уравнеиии

(11.6) состоит в том, что оно в каждой точке М(х, у)' принаДJlежащей области D, в которой выполняются все условия теоремы 2 (Коши),

245

задает направленне у' =		tg а = k касательнО'й к едннственной ннтеграль­
нО'й лниии уравнении		(11.6), прохО'дящей через ТО'чку М(х, у)' т. е.
поле направлений в области D (рис. 11.1).
в области D для		уравиения (11.6) мо'жно' выделить О'днО'пара­
метрическое	семейство	линий {(х, У) =		k = сО'пst, каждая из		кО'тО'рых
иазывается	изоклиной.	Как	следует	из	О'пределения, вдоль	каждОЙ
ИЗО'клины пО'ле направлений			ПО'СТО'ЯННО',	т.	е. У' = k = сО'пst.

у

Рис. 11.1-

НахО'ждеиие изО'клин и иаправлеиий вдоль них пО'звО'ляет УПО'РЯДО'­ чить пО'ле направлений и приближенно пО'стрО'ить интегральные линии

даннО'гО' дифференциальнО'гО' уравнения, т. е. графически прО'интегри­

рО'вать этО' уравнение.

Пример 3. МетО'дО'м изО'клнн приближеинО' пострО'нть нитегральные

лннни днфференциальнО'гО' уравнення У' 7" -2yjx.

,

k

~Полагая -2yjx = k (k = сО'пst), иаходим нзО'клины у = -"2Х

даннО'гО' уравнення. Оня представляют сО'БО'й прО'хО'дящне через началО'

кО'О'рдннат прямые лнннн, ВДО'ль кО'торых поле направлений О'пределяется равенствО'м у' = k = tg а. Прндавая k разлнчные значення, нахО'днм

сО'О'тветствующяе изО'клнны, вдоль кО'торых направленне поля характерн­

зуется углО'м G: наклона к оси Ох касательнО'й к и:нтегралыl'йй линии. Необходимые вычислеиия запишем в Вl'lде таблицы (см. табл. 1).

Таблица /

k

О

1

±1

±-.j3

±2

±3

+ -

±оо

"...,. --f3

а

о

±зоо

±45 0 ,

::::;;±60 0

±64 0

::::;;±72 0

±90 0

У=

У=

у=

У=

у=

у=

k

~=o

х

1

-.j3

=+Х

3

!х=О

=-"2

Х

=± -

=+"2

Х

=+т

х

=+"2

Х

2-.j3

ПО' данным этО'й таблицы стрО'нм пО'ле направлений (рис. 11.2)

и за-'·

тем приближеино вычерчиваем интегральные линии. nО'лО'жительное или

О'трицательиое значение угла а уКазывает на ТО', ЧТО' О'н О'тсчитывается'

от О'СИ ОХ прО'тив хО'да или по хО'ду часовО'й стрелки сО'О'тветстВеИlЮ. •

246

y.xj(24/

0/..·-30·

х

Рис. 11.2

11.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С РА3ДЕЛЯЮЩИМИСЯ· ПЕРЕМЕННЫМИ.

ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

YpaBHeH~e вида
P(x)dx + Q(y)dy =	О	(11.8*)
называется дuфференцuальНbUI уравнением	с разделенными	nеремен­
HьtMи. Ег() общим интегралом будет
~P(x)dx+~Q(y)dy=C,		(11.8)
где С - произвольная постояиная.
Уравнение вида
M,(x)N, (y)dx +M 2 (x)N2 (y)dy = О		(11.9)
или
у'= ~~= ,,(х)/2(у),		(11 :10)

а также уравнения, которые с помощью алгебраических преобразова­ иий приводятся к уравнениям (11.9) или (11.1 О), называютси уравне­ ниямu с разделяющUAtuся neременными.

Разделение переменных в уравнениях (11.9), (11.10) выполняется

247

следуlOl:Ц_.ооразом. Предположим, что N1(y) =1= О, М2(х) =1= О и разделим

обе части уравнения	(11.9) на N 1(y)M 2(x). Обе части уравнения
(11.1 О) умножим на dx	и разделим на f2(y) =1= О. В результате получнм

уравнения с разделенными переменными ·(т. е. уравнения вида (11.8*»:

	М 1 (х)			N	2 (y)			dy
	М2(х)		dx+ - N()dy=O,				fl(X)dx--=О,
					I У			(2(У)
которые интегрируются, согласно формуле (11.10):
	rM1(x)dx +rNz(y) dy = С, r/I(x)dx _С								dy = С.
	) Mz(x)			) N1(y)			)	)	fz(y)
Пример 1. Найти общее решение								дифференциального уравнения
				(ху +	y)dx +	(ху +		x)dy = О.			(1)
.~ Предположив,				что	х =1= О,	у =1= О		и р'азделив обе		части	данного
уравнения	на ху,	получим уравнение						с разделенными		переменными:
			( 1 + ~ ) dx + ( 1 + ~)dy = О.
Интегрируя	его,	согласно			формуле		(11.8), последовательно				находим
(произвольную постоянную можно представить в виде 'п ICI):
	HI+; )dx+HI+ ~)dy=lnICI,
		х+lп Ixl +у+lп Iyl =Iп ICI,
	Iп Ixyl +lпеХ+У=lп ICI, хуеХ+У=С.
Последнее равенство является общим интегралом										уравнения (1).
При его нахождении				былн	приняты ограничения х =1= О,					у =1= О.	Однако

функции х = О и у = О также являются. решениями исходного уравне­

ния, что легко проверяется; с другой стороны,' они получаются из обще­ го интеграла при С = О. Следовательно, х = О, У = О - частные решения уравнення (1). ~

Пример 2. Найти частное решение уравнения

(1 + eZX)y2y' = е',

удовлетворяющее начальному условию у(О) = 1.

~ Запишем данное уравнение в дифференциально~ форме (см.

формулу (11.7»:

(1 +e2x )y2dy - eXdx = О.

Теперь разделим переменные:

		е	Х
	yZdy -				О.
		--- dx =
		1 +е2Х
Проинтегрируем последнее уравнение:
2dy _	ex		Су3		С
	--- dx = -			- -	arctg еХ =-.
~Y	~1+ eZX		3'	3	3 '

у = Ус+ 3 arctg еХ•

Получили общее решение исходного уравнения.

Использовав начальное условие, определим значение произвольной

постоянной:

248

I =Vc+ ~ Л, с=1- ~ л.

Следовательно, частное решение исходного уравнения имеет вид

y=V1- ~ л+3агсtgеХ• ~

Функция '(х, у) называется однородной функцией измерения а относительно аргументов х и у, если равенство f(tx, ty) = taf(x, у)

справедливо для любого t Е R, при котором функция ~(tx, ty) определена,
а = сопst.		Например, функция '(х,	у) = 3х4 - Х у2 + 5у' является
однородной четвертого измерения (а =			4), так как
f(tx,	ty) =	3· (tX)4 - (t4 (ty)2 + 5. (ty)4 = t'(З'х' - х2у2 + 5у4) = t 4f(x, у).
Функция f(x, у) = W- 2v:i+4W является однородной изме­
рения	а =	2/3, поскольку
f(tx,		ty) = w4- 2V(tx) (ty) + 4V(t;j = Чfеl;;- 2Vx;; +

+4W)=t2f3 f(x, у).

Если а = О, то функция будет однородной нулевого измерения.

Например, '(х, у)=		х-		у Iп(Х:+ 1) -				однородная функция нулевого
.		х+у			у
измерения, так	как								1) =
	f(tx			t) =	tx -	ty Iп ((t4
			,у		tx + ty			(ty)2 +
I(x -	у)	1п	(12X 2		)	Х -	у	(/	)	{(х, у),
= I(x + у)				12у2 + 1		= х +	у Iп \7		+ 1 =
где 1=1= О.
Дифференциальное уравнение в нормальной форме
					у' = dy = '(х			у)		(11.11)
						dx	'

назыRетсяя однородным относительно переменных х и у, если '(х, у)­

однородная функция нулевого измерения относительно своих аргу­

ментов, т. е.

f(lx, Iy) = IOf(x, у) = f(x, у).

(11.12)

Дифференциальное уравнение в дифференциальной форме

Р(х, y)dx + Q(x, y)dy = О

будет однородным в том и только в том случае, когда Р(х, у), Q(x, у)­

однородные функции одного и того		же измерения а, т. е. P(tx, Iy) =
= tap(x, у), Q(tx, Iy) =	taQ(I, у).	Действительно, переписав его в
нормальной форме:
,	Р(х,	у)	'(х, у),
у	= - Q(x,	у)

легко заключаем, что '(х, у) - однородная функция нулевого изме­

рения, поскольку

249

	f(tx, ty) =		P(tx,	ty)	= _ tap(x,		у) = {(	)
			Q(tx,	ty)	taQ(x,		у)	х, у.
	Так как однород'ное дифференциальное уравнение (11.11) в нормаль­
ной	форме всегда	можно записать в				виде	у' = {(х, й) =		f(tx,	ty),
то,	положив t = 1jx,		получим		L) =	qJ(L).
		у' = dy = '(1
			dx,		'х		х
	Следовательно,	уравнение		(11.11)		с помощью		замены	у = хu
(и = yjx, у' = u + хи') сводится				к уравнению			с разделяющимися			пере­

менными относительно х и новой функции и(х):

		du
	u +хи' = qJ(u), х dx = qJ(u) - и.
. Пример 3. Проинтегрировать дифференциальное уравнение 2х2у' =
= х2 + у2 И найти	его частное решение, удовлетворяющее начальному
условию у(l) = о.		и х2 + у2 -
~ Так как функции 2х2			однородные		второго изме­
рения, то данное	уравнение -	однородное.	Сделаем	замену у = хи,
у' = u + хи'. Тогда
2х2 (и + хи') = х2 + (хи)2, 2х2 (и + хи') = x2 (l				+	и2).

Предпо.лагая, что х =1= О, сокращаем обе части уравнения на х2•

Далее имеем:

Разделяя переменные, последовательно находим:

		du		dx
	1 + u 2 - 2и = 2х '
(du		(dx	(d(u-1)		1
j1+u 2 -2u=j2x'			j(u_1)2=2Iпlхl,
1	1				_ г,--;
- и-1 =2Iпlхl+lпС, 1=(I-u)lп(Сvlхl).
в последнее	ВЫj>ажение	вместо		u подставим значениеуjх.
По.лучим общий интеграл .
1 =( 1 -	~) Iп (с-..Б!),		х=	(х-	у) 1п (с-..Б!).

Разрешив его относительно у. найдем общее решение исходного диф-

ференциального уравиения:	х
у=х- Iп(С-..Б!).
Использовав начальное условие	y(J) = О, определим значеиие с:

0= 1 - Iп1С' Iп С = 1, С = е.

Следовательно, частное решение исходного уравнения имеет вид

х

у=х- 1+lп~. ~

250

АЗ-11.1

1. Является ли функция у(х, С), где С - произвольная

постоянная, решением (интегралом) данного дифферен­

циального ур,авнения:

-а)	у=х (1 +			Ce	1	X	2	у' +(1	2	;
					/	),	х		-2х)у=х
б) у= Се		Х	-е-х, ху" + 2у' - хц = О;
в)	х2 +у4	=		Су2,		xydx = (х2 -			y")dy?

(Ответ: а) да; б) нет; в) да.)

2. Методом изоклин построить поле направлений и при­

ближенно начертить интегральные линии каждого диффе­

ренциального уравнения:

а) у'=х+у; б) 2ху'=у2/х; в) ху'=I-у.

3. Найти общее или частное решение (общий или част­

ный интеграл ~ дифференциального уравнения: -

а) ху'=у +1;
б) (х +xy)dy + (у - xy)dx = О,	y(l)= 1;
в) Зу' = ~22 +9 ~ +9;
г) ху'=у+ух2 +у2, y(I)=O.
(Ответ: а) arctgy=ln ICxl; б)	y-x+ln 'хуl - О;

в) у=х-Зх/(С+lпlхl); г) y=~(x2_1»)

Самостоятельная работа

1. 1. Является ли функция у = Сх + 1/С решением дифференциального уравнения ху' - у + I/y = О? (Ответ:

нет.)

2. Найти общее решение дифференциал.ьного урав-

нения 4(х2у +y)dy+.J5+ y2dX =			О{Ответ: у= ±	/6(С-
- arctg х)2 -	5.)
З. Решить задачу Коши для дифференциального
уравнения	ху' =	х sin JL +у, у(2) = л. (Ответ:		у =
= 2х arctg (х/2).)		х
2. 1. Является ли функция у =			у(х), заданная неявно

уравнением еУ/Х = Су, интегралом' дифференциального уравнения хуу' - у2 = х2у'? (Ответ: да.)

2. Найти общий интеграл дифференциального урав-

нения ydx+(-V;Y--{l)dy· О. (Ответ: -Ух+-/У =

= '" с-/У (С>О).)

251

3. Решить задачу Коши для дифференциального

уравнения ydx +(-!iY- x)dy = О, y(.l) = 1. (Ответ: 2 -

-Iпlуl=~)

3. 1. Является ли функция у = ~t;: решением диффе­

ренциального уравнения- 2( 1 +х2у') = У - ху'? (Ответ:

да.)

2.Найти общее решение дифференциального урав­

нения (l +~)y'=yeX. (Ответ: у=С(1 +еХ).)

3.Решить задачу Коши для ДИфференциального

уравнения xy'=y(l +Iny-Inx), y(I)=e2 • (Ответ: У=

=хе2Х.)

11.3.ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ

Уравнение
у' + Р(х)у = Q(x),	(J 1.13)

линейное относительно неизвестной функции у и ее производной у'

(а также любое уравнение, с помощью алгебраических преобразо­ ваний приводящееся к виду (11.13», называется неоднородным линейным дифференцuальным уравнением первого порядка. Функции Р(х) Ф О и Q(x) ф о должны быть непрерывными в некоторой области, например иа отрезке [а; Ь], дЛЯ того, чтобы выполнялись условия

теоремы Коши существования и единственности решения (см. теорему 2

из § 11.1). Общее решение уравнения (11.13) всегда можно запнсать

ввиде

(11.14)

где С - произвольная постоянная. Таким образом, общее решение

уравнения (11.13) всегда представимо в квадратурах, т. е. выражается

через интегралы от известных фуикций Р(х), Q(x). Отметим, что

при нахождении интегралов из уравнения (11.14) произвольные по­

стоянные можно считать равными нулю или, что то же самое, считать

их включенными в произвольную постоянную С.

Если в уравнении (11.13) Q(x) "'" О или Р(х) "'" О, ТО получим

дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, общее

решение которых определяется из уравнения (11.14) при Q (х) == О

или Р(х) "'" О соответствеино. В случае, когда Q(x) "'" О, уравнение (11.13) называют однородным линейным дифференциальным уравне­

нием.

Пример 1. Найти общее решение уравнения (х2 - х)у' +у =

=х2 (2х-1)..

Решить задачу Коши при начальном условин у( -2) = 2.

~Приведем данное уравнение к виду (11.13), разделнв обе его

части на х2 - х =1= О. Получим

!J х2 (2х -1)

у' + х2 _х= х2 _х .

25%