RII_OCR[1]

~Согласно формуле (9.10), имеем

-J8			-J8
1 = ~-v1 + (-Гхуdx = ! .;I+;dx =
"f3	(1 + х)З/2		"f3
. _		1	·YS _ 34
-	3/2		-./з -3' ~

Пример 6 Вычислить длину одной арки циклоиды у = a(l - cos t),

х= a(t - siп ')

~Поскольку все арки циклонды одинаковы, рассмотрим первую ее

арку, вдоль которой параметр t изменяется от О до 2л Тогда, согласно формуле (9.11), имеем

		2"~ -..
	1=			/а2(1 - cos 1)2 + а2 siп2 tdt =
		о
	2"
=	~ а.у.! - 2 cos t + cos2 t + siп2 1dt =
	о						= 8а.~
= a2~.у2(1-cos t)dt = 2a2~siп ~dt = -4аcos ~ I:
							л

оо

Пример 7. Вычислить длину первого витка. логарифмической спи­

ралн р = e'/l.

~Из формулы (9.12) следует, что

1= 2"~ -../е2'/1 + е2'1'dЧ' = 2"~ ~е'/ldЧ' = -.j2e'/l !ZЛ =

оо

=-.J2cе2Л-·1)~ 108,16. ~

Вычисление объемов тел. Пусть в пространстве дано некоторое

тело, проектирующееся на ось Ох в отрезок [а; Ь]. Всякая плоскость,

перriенднкулярная к осн· Ох Н проходящая через точку х Е [а; Ь], в сеченни

с телом образует фнгуру площадью S(x) (рис. 9.13) Тогда объем ~

этого тела вычисляется по формуле

		ь
	V = ~S(x)dx			(9.13)
		а
В частности, прн вращенни вокруг осн Ох криволинейной трапе­
ции аАВЬ	(рис. 9.14) площади		поперечных сечений	равны; S(x)=
= л(f(х»'	Поэтому объем тела,	получениого вращением криволинейиой
трапеции вокруг осн Ох, выражается формулой
		ь
	Vx == л~(f(х»2dх			9 14
		а
Пример 8. Вычнслить объем			тела, ограииченного	поверхностью
	х2	у2	г2
	- + - + - =1
	а2	Ь2	с2

153

у

х

Рис. 9.13

у

в

х

Рис. 9.14

z

-Ь

у

х

Рис. 9.15

~ По даииому уравнению строим эллипсоид (рис. 9.15) Рассмотрим сечения эллипсоида плоскостями, перпендикулярными к оси Оу и про­

ходящими через произвольную точку УЕ[-Ь; bj. В сечении с по­

верхностью получим кривые

154

х2	Z2	у2
"2	+ 2" = 1 -	"2'У = сопst,
а	с	Ь

или, если 1 - у2/Ь2 > О,

т. е. эллипсы с полуосями a,=a-Vl-y2/b2, cl=c-Vl-y2/b2

Площади этих сечеиий	.
S(y) = лаlСI =	лас(1 - у2/Ь2).
Тогда из формулы (9.13) следует,	что

ЬЬ

V= ~ лаС(I-;:)dУ=2лаСНI-~:)dУ=

-Ь О

= 2лас(у_L)lbZ		="±'лаЬс ~
3b	о	3

Пример 9. Вычислить объем тела, получеиного вращением вокруг

оси Оу фигуры, лежащей в ПJlOскости Оху И ограниченной линиямн

у2 = 4 - х, х = О.

.

~Очевидно, что {рис. 9.16)

			d			2			2
Vy		= л~х2dУ = л ~ (4 - y2?dy = 2л~(4 _ y2?dy =
			с			- 2			О
		2		8		2+	2л(16у		~ уЗ+~5)1:
=	2л~		(16 -		у			_		=
						y')dy =

о

Рис 9.16

155

Вwчислеиие площади повеРХIIОСТИ тела вращения. Если дуга АВ кривой у = {(х), где функция {(х) непрерывно дифференцируема и А (а, {(а)), В(Ь, {(Ь)), вращается вокруг оси Ох, то площадь описанной

ею поверхности выражается формулой

ь
Qx = 2л ~ {(х)-У1 + (f'(x))2dx.	(9.15)

а

Пример 10. Найти площадь поверхности, образованной вращеиием

дугн параболы у2 = 2х + 1, заключениой между точкамн с абсциссами

х\ = 1, Х2= 7

у

х

					Рис.	9.17
	.. Как видно из рис. 9.17 и формулы (9.15), искомая площадь
поверхности вращения
			7'
		Qх=2Л~Fx+l-JI + (-i+тУdХ=
			I		.		2х+ 1
		7					7
		2л ~ -У2х + I + 1dx = 2л ~ -У2х + 2dx =
		I					I
		.	1 (2х + 2)3/217			2	о 11.2л	~
		=2л·	2	3/2	I =зЛ(64-:",)=-з-
					АЗ-9.3
...	J.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
у2 =		9х, У = 3х.	(Ответ: 0:5.)						:
	2.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
у =	х2 +4х, У -: Х +4. (Ответ: 125/6.)							.	.
	3.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
У= lAl +х2), У =х2/2.(Ответ: л/2 ~ 113.)....									.
	4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной замкну­
той линией у2 =			х2 -	х4 •	(Ответ:		4/3.)

156

5. ВМЧИСЛИТЬ площадь фигуры, ограниченной первой
,аркой циклоиды у =	а(1 -'-cos (),	Х = a(t - siп t) и осью Ох.
(Ответ: 3Ла2.)		,
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлей
линии x=3t 2,'	y=3t-tЗ .	(Ответ: 72-V3/5.)

7.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией

у= хе-х'/2 и ее асимптотой. (Ответ: 2.)

~<, 8.	Вычислнть площадь фнгуры, ограниченной кар­
диоидой р = а(1 - cos .-р). (Ответ: 3ла2/2.)
9.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
х2 +у2 = 4,		х2 +у2= 9,		у =	Х,	у =	-х/-[3.	(Ответ:
25л/24.)
		, Самостоятельная работа
V 1.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)	у2 =	Х +5, у2 =	-х	+4;	б)	р =	а cos 2.-р.	'
{Ответ: а) 9-/2; б) ла2/2.}								,
2. Вычислить площадь фигуры:						(х -	4?, у =	16 - х2 ;
а)	ограниченной		линиями		у =
б)	заключенной между' первым и вторым витками спи-
рали	Архимеда р = а.-р ~a > О).
(Ответ: а)		64/3; б) 8л аЗ.)

vз.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линнямн:
а)	4у=8х-х2, 4у=х+6;		,
б)	у = 4t2- 6t, х =	2t и осью	Ох.
(Ответ: а) ~: ~ 2,04; б)		9/2:)
		АЗ-9.4

1. Вычислить длнну дуги параболы у = 2";; между

точками f абсциссамн XI'=O и Х2=1. (Ответ:.[2+

+1п (1 +-/i) ~ 2,29.)

2.Вычислить длину астроиды Х = а соsЗ t, У = а sin3 t.

(Ответ: 6а.)						р = а(1 -
3.' Вычислить		длину		кардиоиды			cos .-р).
(Ответ: 8а.)					,	2 _ ~
/ 4;	Вычислить	длину	дуги		крнвой	Y=-'J(X -	lY от
точкн	С абсциссой ХI =		1	до	точки с	абсJИССОЙХ2 =9.

,(Ответ: 56/3.)

5.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностя-

ми z' : + ~Z, Z = 1. (Ответ: л-/2.)

157

6. Вычислить объем тела, полученного при вращении

вокруг оси Ох фигуры, лежащей в плоскости Оху и

ограниченной линиями у = х2, Х = у2. (Ответ: ЗлjlО.)

7. Вычислить объем тела, получеНIJОГО при вращении вокруг оси абсцнсс фигуры, ограниченной первой аркой

циклоиды

Х = a(t -

sin t),

у = а(1 -

cos t)

и

осью

Ох.

(Ответ: 5а2.n2.)

8. Вычислить площадь поверхности вращения, полу-

ченной при вращенни дуги кривой

у =

-4-";4х -

1

ОТ

точки ХI =

1 до точки Х2 =

9. (Ответ:

104л/3.)

9.. Вычислить площадь катенонда -

поверхности,

об-

разованной

вращением цепной линии

У =

а ch 2.

вокруг

а

оси Ох ОТ точки ХI = О до точки Х2 =

ла2

2

-

а.

( Ответ: т(е

-е-2 +4).)

.

Самостоятельная работа

1. 1. Вычислить

длину дуги кривой

У= +-

V(2x- 1)3

между точками М1

и М2

С абсциссами

Хl = 2

и

Х2 = 8.

(Ответ: 56/3.)

2. Найти площадь поверхности вращения, полученной

при вращении отрезка прямой У = 3х, заключенного между

точками с абсциссами ХI = О Н Х2 = 2, вокруг оси Ох.

(Ответ: 12-YWл.)

2.	1. Вычислить длину дуги кривой У =				~ Х,	заключен­
ной	между	точками	с аБGциссами	Хl =	2	и Х2 = 5.
(Ответ: 5.)				.
2.	Вычислить объем тела, ограннченного ПОВерХностя-
	х2	г2	.
ми У=т+т' У= 1.			(Ответ .n.)
3.	1. Найти длину дуги кривой У =			'П Х между точками

с абсциссами ХI =-vз и Х2 =-{8. (Ответ: 1 +~ 'П .~ ~

~1,2.)

2.Вычислить объем тела, полученного при вращении

вокруг оси Ох фигуры, лежащей в плоскости Оху и

ограниченной линиями У = 2х - х2 И У = О. ( Ответ:

16 )

ЕЛ'

158

9.4. ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ К РЕШЕНИЮ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Вычислеиие пройдеНllОГО пути по скорости. Если v = f(t)-

скорость движеиия матернальной точкн по иекоторой прямой, то путь

S, пройденный	ею	за	промежуток времеии	[t.; t 2J, вычисляется
по формуле
			/2
			S = ~f{/)dt.	(9.16)
			/,
Пример 1. Матернальная точка М движется прямолннейно со
скоростью v(t) =	3/2	+ 2t	+ 1 м/с. Найтн -путь,	пройденный точкой

за промежуток времени [О; 3J.

~Согласно формуле (9.16), имеем

3

S=&(3t2 +2t+ l)dt=(t3+t2 + t)I:=39 м. ~

Вычислеиие работы перемеиной силы. Пусть под действием силы F(s) материальная точка М движется по прямой Os. Работа этой СIIлына участке пути [а; Ь] определяется по формуле

ь

А = ~ F(s)ds.

а

Пример 2. Вычислпть работу, которую нужно затратить, чтобы

растянуть пружину			на	10 см, если		известио, что		для УДJlИнеяпя ее
на I см необходимо ПРИЛОЖИТЬ силу в I							к:Н.
~ Согласио закону Гука, снла F, растягивающая пружину, про­
перцнопальна ее растяжению, т. е. F =							kx, где х -	растяжение пру­
живы (в метрах), k -				коэффициеит пропорцнональности.
Так	как по условню прн х =				0,01 м		сила F = I	кН, то из равен­
ства 1 = {),Olk получаем: k= 100					и	F= IOOx. Следовательно, искомая
работа
			0,1
		А =	~	100xdx = 50х2		1&·· = 0,5 кДж.		~
			о
Пример		3. Котел,		нмеющий	форму		эллиптического параболоида
х2	у2		н = 4 м, заполнеи				жидкостью П"отностью 11 =
Z = 4 + "9		высотой

= 0,8 т/м3• ВычиCJШТЬ работу, которую нужио затратить на перека­

чнваиие жидкости через край котла.

~Выделим на высоте г, элемеитарный слой жидкости толщиной

1'J.z, (рнс. 9.18), Dбъем которого АVi=л..2,j;;.з,j;;Аzi, а масса

Аm. ;:::: бл.llz;I'J.z.; так как в горизонтальном сечеиин получается эллиnc

с полуосями а = 2,j;;, Ь= 3"';;;' Работа, ззтрачекнзя на перекачнваиие

жидкостн,

	n
n-+ 00	i=1 !6л.gIlZi(Н - 4)1'J.z; =
А = Нт	~

159

z

			у
	х
		Рис.	9.18
	rj 6лgбz(Н -	z)dz =	6лgб(Нтг2-:3г3)IоН=
	О
	= лбgН3 =	64gлб ~ 1575,53 кДж. ~
Вычисление силы давления жидкости иа пластинку. Метод решения
даиной задачи	покажем на	коикретиом примере.
Пример 4.	Треугольная пластиика с осиоваиием а = 3 м и			вы~отой
Н = 2 м погружена вертикально вершиной вииз в жидкость				так, что

осиование параллельно поверхности жидкости и иаходится иа расстояиии d = 1 м от поверхности. Плотность жидкостн б = 0,9 т/м3• Вычислить

силу давления жндкости на каждую из сторон пластиики.

.. Для определеиия силы давления жидкости воспользу~мся зако­

ном Паскаля, согласно которому давление др жидкости на площадку дs.

пorружениую на глубину h:

др= бghдS.

где' б - плотиость жидкостн; g - ускореиие свободного падения.

Прямымн, параллельиыми поверхиости жидкости, разобьем тре­

угольник на элемеитарные полоски шириной dy (рис. 9.(9), отстоя-

у

Рис. 9.19

160

щие.. ''01' поверхности жидкости на расст<Жнии у + d. Из подобия

треугольников А8С 11 А'181 С1 "меем:

IA~811=H;y, IA 181'1= ~(H-Y),

т. е. площадь выре.занноЙ полос){и

а

dS '7т Jf (11 т y)dy,.

а давление' на ка'ждую из сторон полоски треугольной пластииы

. . 0.' . ' ...

dp =. R6g(d.+,yJ (н - y)dy.

Интегрн'руя обе части последнего равеиства, получаем

н					2
Р= ~	~ &g(d + у)(Н-		y)dy =	~	&g ~ (7 +у- y2)dy =,
о	.				о
	3 (	у2	уЗ) 12		56g.~ 44,1:кН. ~
=2"&g		2у+'У -	3"'	о =

Вычисление моментов инерции. С помощью определениого иит,егра­

ла также можно вычислять моменты инерции плоских фигур.

Пример 5. Вычислить момент инерции однородного круга мас"Сой' м

и радиусом R относительио его центра.

.. Момент инерции материальной точки массой т относительно

точкн О равеи произведению массы ЭТОй точки на квадрат ее расстояиия до точки О. Момент инерции системы материальных точек равен сумме

момеитов инерции всех точек этой системы.

Коицентрическими окружностями с центром в точке О разобъем

круг на n колец шириной dr, площадь каждого из которых dS =

= 2лгdг, а масса dm = 2лгdг&, где плотность & = Мj(лR2) (рис. 9.20).

R х

Рис. 9.20'

Элементариые момеяты инерции выделенных колец dlo = 2л&г"dг.

Суммируя (интегрируя) элементарные моменты инерции, получаем

	R
1 =	r2л6гЗdг =	2л&Г ~IR =J....лR4~=J....МR2. ~
.	j	4 о	2	лR2

: о

Вычисление координат центра масс плоской фигуры. Рассмотрим

следующне случан.

6-2968

'161

t. Координаты центра масс с(хс, ус) шюской .материальноЙ дуги

АВ графика функции у = {(х), имеющей JlJtIleЙНУЮ 1tIЮтность li = б(х),

определяются по формулам (см. рис. 9.12):

ь

~хll(х)~'dx

а

хс= Ь	'	ус= ~b------
~1I(x)-Yl+7dx		~1I(х)"';1 +y"dx

аа

2, Если фигура ограничена снизу линией у '7{1 (х), а сверху­

у = {2(Х),	т. е. 11 \х) ~ {2(Х)	на	отрезке 'а; Ь} (ем. рис.	9.6), поверх·
ностная	плотность фигуры	11 =	11 (х), то вычисление ее	центра масс

С(х,., у с) выполняется по формулам:

Ь	1 ь
~хll(х) (f2(X) - {, (x»dx .	-2 ~ lI(х) ((~(x) - mx»dx

аа

хс = ---------

ус = ----------

(9.17)

ьь

~ lI(х) ({2(Х) - {, (x»dx		~ IIX(f2(X) - {, (x»dx
а	.	а

Пример 6. Найти коордииаты масс однородной дуги окружиости радиусом R с цеитральным углом 2а. .

~ Выберем снстему коордннат так, как IЮказано' на рнс. 9.21. Тогда, вследствие однородности и симметричности расЩ)ложения дуги,

имееМ Ус= О. HaXOДSM хс по формуле

у

а f---------	,...
	хс=-------

R х

	так как 11 =		сопst.
-af----~
	Рис.	9.21
Воспользуемся	параметрическимн	ур'авнеНИЯМIf окружиости х =
= R cos t, У = R siп t. Тогда
'"~ R2 cos tdt
хс= _-_"'____ =R siп tl~" = R siп а.			~
'"	t 1':."	а;
~ Rdt
-а
Пример 7. Вычислнть координаты центра				тяжестн	однородной
плоской фигуры, ограиичеиной лнииями у = 6 -				х2".у = 2.
~ Из одиородности И снмметричностн данной фигуры следует, что
хс = О (рис. 9.22)	Для определеиия	ус	воспользуемся		формуламн

162