RII_OCR[1]

2.\ .15x-x2 -11				dx.
	J (х - 1) (х2 + х - 2)
	15х - х2 -			11	d			~	15х - х2 - 11	d (8.9)
	~ ~ (x-I)(x2+x-2)					х=			(x-I?(x+2)	х=
	(8.9) С(_А_ +					В		+ _С_) dx		§8.б
		j	Х -	1	(х -		1)2		Х + 2
	15х-х2 -11 =A(x-l)(х+2)+В(х+2)+С(Х-l?,
§8.б	Х = 1		3=3В,					В= 1,
	Х= -2		-45=9С,					С= -5,
	х2		-1 =А+С, А=4
=		~(х- 1			(х-' 1)2 ,				х+2
			--+			1		--- dx=
			4						5 )
	=41nlx-ll- X~I						-51nlx+21 +С*.

Ответим, что для нахождения коэффициентов мы ис­

пользовали комбинированный метод: метод частных зна­

чений	и метод	неопределенных	коэффициентов .(см.
§ 8.6).	~
3.	I(x) =( х' -	8х3 + 2~x2 - 43х + 27	dx.
	j	(х - 2) (х - ·2х + 5)

... 'Так как подынтегральная функция является не­

правильной дробью, то путем деления числителя на зна­

менатель можно представить ее в виде суммы целого мно­

гочлена и правильной рациональной дроби:

I(x) = С(х..::..... 4 + ._2х2 + 3х -

13

) dx

§В.б х2

-4х +

)

(х +

2)(х2 -

2х.+ 5)

'.

2

. '

+ С(_А_ +

Вх+ С

)

dx=

) х - 2

х2

- 2х +

5

-2х2+зх~ 13==A(x2 -2х+5)+(Вх+С)(х-2),

- 15 =5А,

А =

-

3,

х=2

х2

-2=А +В, В = 1,

х

О

-13 = 5А -2С,С=.,...1

х2

~(

-3

+

х -

1

) d

х=

= - -4х+

- . -

2.

2х + 5

2

х - 2

х -

= -31n!x-2.! ++ln!x2 -2x+5! +С*. ~

133

~ ( 2х3 -			5х" + 8х - 22 dx =	\	2х - 5х2 + 8х - 22 d'x =
j	х4 + 9х2 + 20			J (х2 + 4) (х2 + 5)
			= ((АХ+В + CX+D)dx=
			J х2 +4	х2	+5
	2хЗ - 5х2 +8х - 22 = (Ах +В) (х2 +5) +
			+ (Сх + D) (х2 +4),
	х23		2=А + С,	}	А=О. В=-2,
	х		-5=B+D,
-	х		8 = 5А + 4С, С = 2, D = - 3
	х	О	-22=5B+4D,

=Г(-:=!- + 2X-3)dx= -arctg~ +ln(x2 +5)-

J х2

+4

х2

+5

2

-

:rs arctg ~ + С*. ~

5.

(

хг,dХ.

J 3 -

х-2

~ (

Х+ I

dx §8.7

-Ух

2=t, x-2=t2 ,

_

j 3-~

x=t2 +2, dx=2tdt

=

-2( (t2+3)/d/

=

-2((t2 +3t+ 12+~)dt=

j

/ - 3

j

/ - 3

= -2(+tз +-}t2+ 12t+361nlt-31)+C=

=

-

~-Y(X -

2? -

3(х -

2) -

24-УХ

2-

3

2 - з1 + С. ~

- 72 lnгvх

6

(4~+~dx.

. ) .fx=2+2Vx-2

~ ( 4.fx=2-~ dx §8.7

tm =

j

.fx=2+ 2Vx- 2

t6'1 =

§8.7

НОК(2, 3, 6) =

6, х -

2 =

-

х = tб

+

2, dx = 6t 5 dt

=

~

(4/3 _

/)б/5d/ =6 ~ 4/6 _

/4

dt=

/3 + 2/2

/ + 2 .

=

6~(4t5 -

8t4 + 15t3 -

30t2 +60t -

120 + t ~~ )dt =

134

= 6(~ t6 -

~ t 5+ ~ t4 -

10t3 + ЗОt2

-

120t +

3

5

4

~Ч.jГ--(х-2-)5 +

+ 240 ln It + 21) +

с = 4(х -

2) -

45]/

2

)2

-

~~

+

ГL3~

+ тУ (х -

60-у х

- 2

18v-y х -

2 -

-720.ух

2 +

1440 Inl.yx

2 + 21 +

с ~

7. (

dx

.

j 3 sin х - 2 cos х + 1

~ (

dx

(8.13)

j

3 sin х -

2 cos х + 1

х .

.

21

1-

t2

t=tg T

,

SIПХ=--2'

COSX=--2'

2dl

1+1

1+1

х=2 arctg t

dx= --

1 +

12 '

-2(

dl

+ 1 + t2

-2(

dl

-

) 6t - 2

+ 2t2

-

)

3t2

+ 6t - 1 -

2 (dl

2 (

dl

=

3) t2 + 2t -

1/3

=

3) (t + 1)2 - 4/3

-

= ~

-Vз In 11 + 1- 2/-131 +

с=

34 1+ 1+ 2/-Vз

=_1_ 1n l-Vзtg(Х/2)+ -Vз- 2/ + с. ~

2-Vз -Vзtg(х/2) + -Vз+ 2

8. (			dx
j 2 sin 2 х -		sin 2х + 3 cos2 Х
	~ r				dx			(8.14)
		j	2 sin 2 х - sin 2х + 3 cos 2 Х
	t=tgx, sin			2		х2	2	1
					Х=--2'		COS	Х=--2 '
(8.14)					1+1			1 +1
	sinxcosx=-_I-					dx=~
			1 r		1+е	'	1+12
(dl					dl		1 (	dl
= j 212 - 21 + 3		=	2" j 12 - 1+ 3/2 =				2" j	(1 _ +у + 5/4 =
=..!..._2_arctg 1-1/2					+С=_I_агсtg2tgх-1 +с. ~
2 .j5			.j5/2			.j5		.j5

135

9.

r

3

cos 4x dx.

J Vsin 4х

1sin 4х =

'1-i r (1 -

~ r cos3

4x

dx (8.15)

t,

/2)d/

_

J

Vsin

4х

(8.16)

dx = 4 cos 4xdx

-"4 J

VI

-

=.J.- r(ГJ/S _

t9/s)dt = .J.-(~ t 4/5 _

~ t\4 /5) + С =

4

J

4

4

14

=

156 .ysin4 4х - ~.ysin l4 4х + с. ~

8.10. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 1( гл. 8

Найти неопределенные интегралы.

1.

~ x 2-.J4

х2dx. (Ответ:

:

(х2 - 2)-.J4

х2

+

+ 2 arcsin ;

+

с)

2

r

dx

• ) (х2 + 4) -У4х2 + 1 .

(Ответ: - 1-ln Ix-[l5+2~.1 + с.)

4-[15

x-[l5--,-2~

3.

) (х+ l)-.Jх2 + 2xdx. (Ответ: ~ -.J(x2 + 3х)3 + с.)

4. )ln(x+-.Jl +x2)dX. (Ответ: xln(X+~)­

-~+c.)

5.

r arccos-J

х

dx. (Ответ: хarccos.J

х

+

J

х+1

х+1

+-fx -

arctg-fx +

с.)

6.

['

2xdx . · (Ответ:

Х;- 1

- ~ 'п !х + 1 r +

) (х+ I)(х2 +

1)2

2(x+l)

2

+ -{- 'п(l +х2) + с)

7.

r IW dx. (О'[:вет: 2vГx+!(ln!x+'1! -

2) + с.)

)

х+

1

.

2-\,Гх+2) + с.)

8. ) е1х dx.

(Ответ: зе1х(-\(х2-

&36

9~ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

9.1.ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. ВЫЧИСЛЕНИЕ

ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Пусть		функция у =		{(х) определена на отрезке [а;					Ь]. Разобьем
произвольным			образом	этот	отрезок		точками	а = хо < х]	< Х2 < ... <
<Хn = Ь	на		n частичных		отрезков		длиной	дх; = Х; - Xi-],		t = гп
Выберем	в	каждом из		них	точку 6;,		Xi_] < 6; < Xi (рис.		9.1)	Сумма
вида
						n
				Sn =		~ {(6;)/'J.xi
						i=J
называется		n-й интегральной				суммой функции у = {(Х)			на	отрезке

[а; Ь]. Геометрически сумма Sn представляет собой. алгебраическую сумму площадей прямоугольников, заштрихованных иа.рис. 9.1, в осно­

вании которых ле.жат частичные отрезки' /'J.Xi, а высоты равн-ы {(~

Ау

х

РИС.9.1

Предел интегральной суммы Sn, найденный при условии, что дли­

иа иаибольшего частичного отрезка стремится к нулю, называется

определяемым интегралом от функции у =		{(х) в пределах от Х =а дО Х= Ь
ь		.
И обозначается ~ {(x)dx, т е.	по определению
а
	n	Ь
lim	~ {(6;)/'J.Xi	= ~ {(x)dx.
тах Ах,-+О	i= I	а

ФункциЯ' {(х) иазывается nодьштегральной функцией, {(x)dx - noдын­ тегральным выражением, [а; Ь] - отрезком интегрирования, а и Ь-

137

соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, х - nе­

ременной интегрирования.

Теорема. Если функция у = {(х) непрерывна на отрезке [а; Ь],

то она интегрируема на [а; Ь], т е. предел интегральной суммы (9.1) существует и не зависит от способа разбиения отрезка [а, Ь] на частич­ ные отрезки !!.Х; и выбора на них точек Si.

Если {(х);;;;' О, х Е [а; Ь], то геометрически определенный интеграл выражает площадь фигуры, ограиичениой графиком функции у = {(х), осью Ох и двумя прямыми х = а, х = Ь Эта фигура называется

криВQлинейной трапецией. В общем случае, когда функция у = {(х)

на отрезке [а; Ь] принимает зиачения разных знаков, определенный интеграл выражает разность площадей криволинейных трапеций, рас­ положенных над осью Ох и под ней, так как площадям криволииейных трапеций, расположенных под осью Ох, присваивается знак «- ». Например, дЛя фуикции, график которой изображен на рис. 9.2,

имеем

ь

~f(x)dX = S, - S2 + Sз.

а

х

р и с 9.2

Перечислим основные свойства определенного ИJ:lтеграла (пред· полагаем, что фуикцни '(х) и !р(Х) интегрируемы на соответствующих

отрезках)

ь	ь	ь
') ~и(x) ± !p(x»dx =	~f(x)dx ±	{!p(x)dx;
а	а	&

ьь

2) ~ cf(x) = с ~f(x)dx (с = const);

аа

Ьа

3) ~f(x)dx= - ~f(x)dx;

аь

Ь

с

Ь

4) ~f(x)dx= ~f(x)dx+ ~f(x)dx;

а

а

с

5) если {(х);;;;' О на [а; Ь] и а < Ь, то

ь

~f(x)dx ;;;;. О;

а

6) если (jI(Х).о;;; {(х), х Е [а; Ь], и а < Ь, то

ьь

~ fP(x)dx ~ ~{(x)dx;

а	а
7) если т = min {(х), М =	тах {(х) и а < Ь, то
хЕ[а, Ь]	хЕ[а; Ь]

Ь

m(b-a)~ ~{(х)dх~М(Ь-а);

а

8) если Функция {(х) непрерывна на отрезке la, Ь], то на этом

отрезке существует хотя бы одна точка х = с, а ~ с ~ Ь, такая, что

верно равенство

ь

~f(x)dx = {(с) (о - а);

а
	х
9) если функция {(х) непрерывна	и Ф(х) = ~ {(I)dl, то имеет место
	а
равенство
Ф'(х) =	{(х),

т. е. производная определенного интеграла по перемеиномуверхнему

пределу х равна значению подынтегральной функции при том же х

Следовательно, Ф(х) явлиется первообразной для функции {(х),

10) если F(x) - какая-либо первообразная Функции {(х), то спра­

ведливо равенство

ь

~f(x)dx = F(b) - F(a) Е; F(x) '~,

а

которое называется формулой Ньютона - Лейбница или формулой двoUной nодетановки. Ее целесообразно использовать для вычисления

определенных интегралов в тех C.IIучаях, когда известна первоабраз­

ная F(x), нахождение которой при х = а и х = Ь		ие вызывает затруд­
нений.
		2
Пример 1.	Вычислить определенный интеграл	~ 3(х -	I? dx
		I
:2
~ ~з(x_I)2dx=(x_I?lf=(2_1)3_(I_I)3= I			~
I
	8
Пример 2.	Вычислить ~("j2;+Vx)dx.

о

=...!..	(2х)3/218	+ ~18 = ...!.. (16)3/2 + ~(8)4/3 = 33..!.. ~
2	3/2 ()	4/3 ()	3	4	3
			,,/2
Пример 3. ВЫЧИC.IIить			} sin 3 fPdq>.
			о

139

,,/2	,,/2
~ ~ sin 3 qxifP = - ~			(1	- COS 2 fP)d(cOS fP) =
о	о
·/2	COS 3 fP 1·/2			2
= -- cos 'Р о	+ --3-' о		= 3 ...
1
Пример 4.	Вычислить	2 2х- 1
			~	- 3 -- dx.
		I		х +х

.. Подыитегральная функция представляет собой правильную ра­ циональную дробь. Разложим ее на простейшие рациональные дроби

(см. § 8.6):

2х-I =~+ Вх+С, 2x-I==А(х2+1)+Вх2+Сх,
.х3 + 3	х		х2 + 1
	~~		1_?:: ~,+В,}
	х	о	2 = С,
откуда А = -1,	В = 1,		С = 2.

Следовательно,

2	2х _	1			2 (1				х		2)	'('	,
~--3			dx =		~	- -	Х	+ --2			+ --2	dx =	- 'п Ixl +
I	х +	х			I				1,+	х	1 + х	, ,
	1			2	)+2arctgx				) 12		1
+2"ln{l+x									1	=-lп2+2"lп5+2Dгсtg2-
-	1					,1			5,.		2(arctg 2 -	arctg 1)>:::: 0,38. <11
	2"ln 2 - 2 arctg 1 =2"ln"8 +

Пусть функция у == {(х) непрерывна на отрезке!а; bJ, функция х = fP(l) непрерывна вместе со своей производной и монотонна на

отрезке [а; IIJ, fP(a) = а, fP(jI) = ь и сложная функция f(<p(I» непре­

рывна на [а; IIJ. Тогда справедлива формула замены переменной для

определенного интеграла:

ь

1\

~ f(x)dx =

\ f(<p(t»fP'(t)dl.

, (9.2)

а'

сх

8

~3~

Пример 5.

Вычислить

xdx

.. Сделаем

замену

переменной

по

формуле

~=

1.

Тогда

х = е

- 1, dx =

21dl.

При, х = 3

получим

1 =

2 =

а, а ври

х =

8 1 =

= 3 =

11. Все перечисленные выше условия,

при

которых

верна

фор­

мула

(9.2),

выполнены. Следовательно,

3

=

2 ~ (е -

1~dl =

2

.

=

13

')\3

= 2(9 -

.

3) -

2

(8

2

)

32

<11

2( 3'""

- 1

2

3" -

= 3

140

,,/2

Пример 6. Вычислить					~			dx
							2 cos х + 3
					о		Тогда cos х = (1 - и2)/(1 + и~), dx =
~ Положим			tg(x/2) = и.
= 2du/(1 + и2),			а = tg О = о,			11	=	tg(л/4) = 1·	Следовательио,
,,/2				I					I
(		dx		(2аи/(I + и2)					( 2du
)	2cosx+3 =			J2(I-u 2 )/(I+u2 )+3 = }и2						+5 =,
О				О					О
	=	2		и		11		2	1	<11
		-!5 arctg		-!5		о	=	-!5 arctg	-!5 ~ 0,38.
Если функции и(х) и v(x) имеют непрерывные производные на
отрезке [а;	Ь],	то
			ь					ь
			~u(x)dv(x)=u(x)v(x) '~- \v(x)dU(x).							(9.3)
			а					а

Формула (9.3) называется формулой интегрирования по частям

для определенного интеграла. .

,,/2

Пример 7.

Вычислить

J х cos xdx

,,/2

~

(

х cos xdx = I d

и =

х. ddU =

dX,.

1= х sin х I~/2 -

'. )

v =

cos

х х,

v = SIП Х

.

о

,,/2

2

~

-

sinxdx= ;

sin

;

:-0 + cosxl:/ =

;

-1

<11

'о

е

Пример 8.

Вычислить

\х Iп2

xdx

I

~

(х Iп2 xdx =

и =

Iп2 х,

du =

2 Iп Х· - 1

dx,

1

х

)

dv = xdx,

х

2

I

v = 2"

= -} х2

Iп2 Х1: -

е

xdx =

и = Iп х, du = -1 dx

~х Iп

1

х

1

dv = xdx, v = 2" х2

е

1 2

-

(х2

1е

(1

2 1 )

1

2

-

1 2

= '2е

'2Iп х

1 -

)

'2х

'2dx

=

2" е

'2е

+

1

141

А3-9.1

Вычислить определенные интегралы.

2

24'.)

1.

~(2xZ + :. )dx. (Ответ:

I

4

2.

~-Vxdx. (Ответ: ~.)

е'

3.

~dX

• (OTBt;T: 2.)

I

х"j' + Iп х

I

4.

r

х

2

dx

. (Ответ: arctg -7' .)

)

+

4х+ 5

()

,,/2

5.

~

-Jcos х- cos3 xdx. (Ответ:

~.)

-,,/2

4

6.

r

dx

(Ответ:

2 -In 2.)

~

'+"j2х

+'.

.;з

x5-.j1 +х2dx. (Ответ:

7.

~

~~~)

2

__

8. ~-J4-X2dx. (Ответ: n.)

о

3

dx

(

7 + 2 -{i

)

9.

~I

Х"jх2

+ 5х + , .

Ответ:

lп

9

.

5

~. (Ответ: i ln 112.)

10.

~

.

02х+

Зх+l

Самостоятельная

работа

Вычислить определенные интегралы.

1.

а)

С("2Х+ _3 )dx; б)

r

-гх

dx.

"~

-гх

}-Гх- 1