RII_OCR[1]

~	x2dx
4.3.	--•.
	9-х
4.5. (	2 3х - 1 dx.
)	х -6х+ 10

~2х2+1 d

4.7.х3 +х2 +2х+2 х.

4.9.	(				dx			.
	)		3 siп х +			4 cos х
4.11. (				;Х-I			dx.
	)		5х -х+2
4.13. (			х	3	3~ -	7			dx.
	)				+х +4х+4
4.15.	~		siп3 х
		-.-dx.
			cos х
4.17. (5				-	~x.		.
	)				slП Х
4.19. ~					dx
			~~у3х+ 1-1 .
4.21.	~				dx
		- . -- .
			х		-16
4.23.	~	'			dx				.
					..
			4 slП Х +			3 cos х + 5
4.25.	~			2-х
			--- 3 dx.
			(7 -х)
4.27.	~				dx
					г,:----;:
			х-у2х - 9
4.29. ~					dx
			-_ухг;+-;1-+ 1.

5.1. ~

dx

~-i/1-2x

5.3.	~	1		cos х
			+sl.П х dx.
5.5.	~	х3		х+2	d	х.
				_ 2х2 + 2х

(	. dx
4.4. )	х3 + 4х - х2 - 4 .

. 4.10. \ х2 cos 6xdx.

4.12.( ~-I dx.

) х +8

4.14. ( х -	arct g 2хdx.
)	1 +4х2
4.16. (	2xdx	.

) (х + 1) (х2 + Х + 2)

4.20.\ WIп xdx.

4.22.( dx .

)Vx+-Vx

4.24. (	xdx .
) 2х2	+2х+5

~х2-2х+ 1

4.26.х3 +2х2 +х dx.

4.28. ~ dx

Х4 -6х3 +9х2'

4.30. \ siп (lп x)dx.

5

5.2. ~ dx siп3 х'

5.4.\ cos 3х cos xdx.

5.6.~~x3 _1'

343

5.7. ~~dx.

х

5.9.( xdx.

JVl +х

5.11. ~ lп2 xdx.

~еХ + 1

5.13. -- dx .

еХ_1

5.15. ~ х2 siп xdx.

5'.17. J dx .

-J(I + x 2i

5.19. ~(I - siп 2x?dx.

~xdx

5.23.-,--о

2х +5

. r.у2х.:....3·
5.25. J	х	dx.

5.27. ~ lп(х2 + I)dx.

( siп xdx

6.1.

J i/7 + 2 cos х.

6.3. ~ (х2 + 1). ЗХdх.

~ V;-I

6.5. -:-;::::---:-;:=-dx.

W+ifxз

6.7.~ cos 2х siп2 xdx.

~2х-I

6.9.r:;;====dx.

-Jx2 -4x+ 1

6.11. ~ siп 2х cos 5xdx.

5.8. (	2	.
	x dx

J -J(2 _ х2)3

5.10.~x5i/(I +X3)2dx.

5.12.~cos 2х COi;2 xdx.

5.14.~ х2еЗХdх.

5.16. (	dx	.
J siп2	Х cos2	Х

5.18. ~siп х siп 3xdx.

5.20. (				dx ..
	J ..;х _х2 + 1
5.22.	~ ctg' xdx.
5.24.	~		х'
		- , -- dx .
		х -16
	(			dx	х .
5.26. J		5 -		3 cos
5.28. ~		х-l
		_-у2~dx.х - 1
5.30. }			x2~ 3		dx.
		4		. 2
		х -5х +4
6
6.2.	( х' + 2х- 2
	J	х'		_ 1	d х.
6.4.	~";4 -			x 2 dx.
	(.;;
6.6.	J 1 +wX .
6.8.	.~ siпЗ		х cos 2 xdx.
6.10. (				dx	.
	J siп2		3х cos~ 3х

~х+ 1

6.12.~x.

3х+ 1

344

6.13.\х. 5x dx.

6.15.J(~х dx.

6.17.	~	5х3 -		8
		3		dx.
		х	-4х
6.19.	~	2х2 -		5х + 1
		х3	-2х2 +х dx.
6.21. rsin			3 \+ 1dx.
	J	cos		х

6.23. \ (х + l)eX dx.

6.25. \ (1 + sin' x)dx.

6.27. ~3 + 5 sl.		dx
		П Х + 3 cos х .
6.29.	dx
	- 3 - '
	~tg 3х

6.14. r 2 х + 1				dx.
	Jx +х+l
6.16. r		dx
	J Vl +X--..f1+7
6.18. r		d~	+ 2х			2 ..
	J	х' + 2х
6.20. ~		sin.5x cos 3xdx.
6.22.	~	х2 + 1				dx.
		3
		(х-l) (х+3)
6.24. \ sin 2 х cos' xdx.
		Ух.			dx.
6.26. ( . ;;
	J x ( х+ч;')
	r	sin 3 х
.6.28. J		1 + cos x dx.
6.30. r		dx				.
	J	2 sin х -	cos х

2. Контрольная работа «Дифференциальные уравнения» (2 часа)

Решить даииые диффереициальиые уравиения.

								1
1.1. у' - yjx -				lj(sin (yjx» =				О.
1.2. xdy-ydx=-)X2+y2dx.
1.3. х2у' = ху +					у2.	1.4.	xdy = (х' - 2y)dx.
1.5. у' + 3yjx -					2jx3 = О. .
1.6. x 2dy + y2dx =						з(х2 -	y2)dx.
1.7. у' =4 +yjx+(yjx)".
1.8. (х2 + y2)dx -					xydy =		О.		3
1.9.	ху' -	У = х2			cos Х.			1.10. у' -	-у = х.
	у' + 2ху = 2ху3.								х	+ Х + 1 = О.
l.i 1.								1.12. х3у' + х2у
1.13. у' +		2у./х = e-X'jx.						1.14. у'+2ху=хе-Х'.
1.15. ху + у2 =				(2х2 + ху)у'.				1.16. ху'	+ У =	sin х.
1.17. ху' -		У =		х tg (yjx).				1.18. у' -	yjx =	еУ/Х .
1.19. у' +		У tg х =				ljcos х.		1.20. у' cos х -		у sin х == sin х.
1.21. ху'=у+хеУ/Х.								1.22. у'+ху=х3 •
1.23. х Iп (xjy)dy -						ydx =2 ОX.
1.24. (хуеХ!У			+ y2)dx = x e !Ydy.
1.25. х2{ =			2ху + 3.					1.26. dy = (у + x 2)dx.,
1.27. (х -1)y'-xy=x3 -x.								1.28. у'-2ху=хе-х •
1.29. ху'=3у--,-х·у2.							.	1.30. у'_у=еХ.

2

2.1. у' COS 2 х + У =

tg х.

2.2. у' + У cos х =

cos х.

2.3.

ln cos ydx + х tg ydy =

О.

2.5. у' cos х In у =

2.4. у' =

tg х . tg у.

у.

2.6. e l +x '

е2Х

tg ydx = -- 1 dy.

2.8. (l +e2X )y2dy =

х-

2.7. у' = 2Х -У•

eXdx.

2.9.

3еХ tg ydx = (1

+ еХ) sec2 ydy.

2.10. уу'/х + е

У

2.11. у' + У =

Х

=

О.

е sin х.

2.12. (х +

y)dx + xdy = О.

2.13.

1 + (1 +

у')е

У

= О.

2.14. х cos .JL(ydx + xdy) =

х2

sin .JLdx.

х

х

2.15. y'+y/(x+I)+x2=0.

2.16. y 2dx = (xy-x 2)dy.

•

1 -

2х

2.18. У

,

4ху

1

2.17.

у' +--2-У= 1.

+-2--=-2--'

х

х+1

х+1

2.19. ху' = У -

ху.

2.20. (х2

- 2y 2)dx + 2xydy = О.

'

22

у

'

3

2

2..21 х+у=ху.

.2.

+-у=з.

х

х

2.23.у'х+у=-ху2. 2.24. xy'ln.JL=x+yln.JL.

хх

+хУ = хуу'. 2.26. У = у' ln у.

+у2 + ху2 = О.2.25.

2.28.3еХ tg ydx = (1 - еХ) sec2 ydy.

2.29.(1 + y2)dx - -Vxdy = О.

2.30.х + ху +у'(у +ху) = О.

3

3.1. у" cos2 х =			1.		3.2. у" tg У = 2 (у')2.
3.3. у" х ln х =			у'.		3.4. (1	+ х2)у" = 3.
3.5. у" + 2у(у')З = О.					3.6. у"	+ у' tg х = sin 2х.
3.7. у" = 4 cos 2х.					3.8. уу" +у,2 = О.
3.9. хЗу" + х2у' =				1.	3.10. хЗу'" = 6.
3.11. у'" sin 4 х =				sin 2х.	3.12. уу" + 1 =			у' '.
3.13. х2у'" = у"'.					3.14. у,2 + 2уу" = О.
3.15. у" = 2уу'.					3.16.2xY'y"=y"-I.
3.17. 2уу" =		1 + у".			3.18. у'"		=у,2 + 1.
3.19. ху" -		у' = х2еХ •			3.20. х2у" + у,2 = О.
3.21. х(у"	+ 1)		+ у' = О.		3.22. ху" = у' + х2 .
		1				2	у" = 4.
3.23. у" +-у' =0.					3.24. х
	х
3.25. у" =";1 - у".					3.26. уЗу" - 3 = О.
3.27. ху" + 2у' =				О.	3.28. 1 + у,2 + уу" = О.
3.29. уу"	= у,2.				3.30. у" = 2 -			у.
					4
4.1. у" -	5у' +		6у = х, у(О) =		О, у' (О) =		1.
4.2. 4у" -	8у' +			5у = 5 cos х,	у(О) = О,		у' (О) =	-1/13.

346

4.3.	у" + 6у' + 13у = 26х - 1,			у(О) = О, у'(0) = 1.
4.4.	2у"	-	у' = 1 + х, у(О) = О,	у' (О) = 1.
4.5.	у" -		4у = 2 - х. у(О) = 11/2, у'(О) = 1/4.
4.6.	у" -		У = cos 2х, у(О) = -1/5, у'(О) = 1.
4.7.	у"	-	2у' + 5у = 5х2 - 4х + 2, у(О) = О, у'(О) = 2.
4.8.	у"	+ 3у' - 10у = хг2', у(О) = О, у'(О) = О.
4.9.	у" -		2у' = е'(х2 + х - 3)'у(О) = 2, у' (О) = 2.

4.10.у" - 4у' + 4у = sin х, у(О) = О, у' (О) = О.

4.11.у" - 3у' + 2у = _г2', у(О) = 1, у'(О) = О.

4.12.у" + У = cos 3х, у(л/2) = 4, у'(л/2) = 1.

4.13.у" - у = е2', у(О) = 1, у' (О) = 2.

4.14.у" - 4у = 3хе-х, у(О) = О, у'(О) = О.

4.15.у" +4у = sin х, у(О) = О, у'(0) =0.

4.16.у" - 2у' + 2у = 2х, у(О) = О, у'(О) = О.

4.17.2у" + у' - у = 2е', у(О) = О, у'(О) = 1.

4.18.у" - 4у' + 3у = е5', у(О) = 3, у' (О) = 9.

4.19.у" + 4у =5ех, у(О) = О, у'(0) = 1.

4.20.у" + 6у' + 8у = зх2 + 2х + 1, у(О) = 17/64, у'(О) = О.

4.21.у" + У = хе", у(О) = 0,5, у'(О) = 1.

4.22.	у" - У = 2(1 -			х), у(О) = О, у' (О) = 1.
4.23.	у" -	у = 9хе2Х		,	ylO) = О,		у' (О) = - 5.	О.
4.24.	у" -	6у' + 9у		=	е3Х, у(О)		= 1, у'(О) =
4.25. у" +		4у = е- 2Х,			у(О) = О, у' (О) = О.
4.26. у" -		4у' +5у = хе2Х, у(О) = -1, у'(О) = О.
4.27. у" -		3у' -	4у = 17 sin х, у(О) = 4, у' (О) = О.
4.28. у" -		3у' +	2у = е3Х (3 -			4х), у(О) = О,		у' (О) = О.
4.29. у" +		2у' + у = 9е2Х + х,					у(О) = 1, у'(О) = 2.
4.30. у" +		у = sin 2х,			у(О) = О, у' (О) = О.
5.1. у" + 4у' + 4у =				е- 2Х /х3		•	5
5.2. у" + 3у' + 2у =					I/ex +	1.

5.3. Y"+4Y=~2.
		sln	Х
5.5.	у" + 5у' + 6у = -1_2'
		У = sh х.	1 +е Х
5.7.	у" -
5.9.	у" -	4у' + 5у	е2Х
			= --о
5.10.	у"	+ 4у = cos 2 Хcos.		х

5 4 " 1

.. y+y=-~.

-ycos 2х

5.6.у" + 4у = ctg 2х.

5.8.у" - 3у' + 2у = 2Х •

5.11.	" _ 6 ' + 9		=		9х2	+ 6х + 2	е3Х
у	у	у			х3(3х-2)
5.12. у" + 2у' + У =				3е-Х -Гх+!.
5.13. у" + у' =		tg х.				5.14. у" + 4у = - 1- .
							cos 2х
		е2Х				5.16. у" - 6у' + 9у = 36.J;еЗХ
5.15. у"-у=-­Х
		е - !
5.17. y"+y=_1- .						5.18.	y"+4y=2tgx
		cos 2х
5.19. y" _ y,= _ I _ .						5.20. у" + У = _.1-.
		1 +е		Х
							slП х

347

5		23		"+		= 2 + соs		З	х
	.		. у		у
						COS 2	Х		•

е'

5.22. у" - 2!1 + у = _ г;---;, . -у4 - х2

5.24. у" + у = tg2 х.

	1
5.25. у"- Зу +2у= 1 +--.Х
1	+е
5.26. у" + 4у= -.-12-·
SIП Х
е'·	1
5.27. у" - 2у' + у =-.	5.28. у" +у=-з-·
х	cos х
5.29. у" + У = ctg х.	5.30. у" + 4у' + 4у = е-2Х Iп х.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Учебники и учебиые пособия

1.Бермант А. Ф., Ара.манович и. г..КраткиЙ курс математического анализа.- М.: Наука, 1969.- 736 с.

2.Бугров я. с., Никольский с. М. Дифференциальное н интеграль· .

иое исчисление.- М.: Наука, 1988.- 432 с.

3.Бугров я. с., Никольский с.. М. Дифференцнальные уравнення.

Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного.- М.:

Наука, 1989.- 464 с.

4.Долгов Н. М. Высшая математнка.- Кнев: Вища шк., 1988.-

416с.

5.Жевняк Р. М., Карпук А. А. Высшая математика: В 5 ч.- Мн.:

Выш. шк., 1984.- 1988.- ч.	2.- 1985.- 221 с.; ч. 3.- 1985.- 208 с.
6. Зорич В. А. Математнческий анализ: В 2 т.- М.: Наука,
1981.- Т. 1.- 543 с.
7. Ильин В. А., Позняк	э. г. Основы математнческого анализа:

В 2 ч.- М.: Наука, 1971-1973.- ч. 1.- 1971.- 600 с.; ч. 2.- 1973.-

448с.

8.Краснов М. л. Обыкновенные днфференциальные уравнения.­

М.: Высш. шк., 1983.- 128 с.

9. Кудрявцев л. Д. Курс .математического анализа: В 3 т.- М.:

Высш. шк., 1988.- Т.	1.- 712 с.; Т. 2 - 576 с.
10. Курант Р. Курс дифференциального и интегральиого исчисле­
ния: В 2 т.- М.:	Наука, 1967.- 1970.- Т. 1.- 1967.- 704 с.;
Т. 2.- 1970.- 671 с.

11.Пискунов Н. с. ДНфференциальное н интегральное исчисления:

В2 т.- М.: Наука, 1985.- Т. 1.- 432 с.; Т. 2.- 576 с.

12.Федорюк М. В. Обыкновеиные дифференциальные уравнения.­

М.: Наука, 1980.- 350 с.

Сборники задач и упражнений

13.Берман г. Н. Сборник задач по курсу математнческого ана­ лиза.- М.: Наука, 1985.- 446 с.

14.Данко п. Е., Попов А. г., Кожевникова Т. я. Высшая матема­ тика в упражнениях н задачах: В 2 ч.- М.: Высш. шк., 1986.- ч. 1.-

446с.; ч. 2.- 464 с.

15.Демидович В. п. Сборннк задач и упражнений по математи­ ческому анализу.- М.: Наука, 1977.- 528 с.

16.Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов/Г. с. Бараненков, Б. п. Демидович, В. А. Ефнменко и др.;

Под ред. Б. п. Демндовнча.- М.: Наука, 1978.- 380 с.

17. Краснов М. л., Киселев А. и., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.- М.: Высш.

шк., 1978.- 288 с.

349

18.Кузнецов л. А. Сборник заданий по высшей математике:

Типовые расчеты.- М.: Высш. шк., 1983.- 176 с.

19.Лuхолетов Н. Н., Мацкевuч Н. п. Руководство к решеиию задач

по высшей математике, теории вероятностей и математической стати­ стнке.- Мн.: Выш. шк., 1976.- 456 с.

20.МаРОIl Н. А_ Дифференциальное и интегральное исчисленне в примерах и задачах: Функции одной переменноЙ.- М.: Наука, 1970.-

400с.

21.Сборник задач по курсу высшей математики/Г. и. Кручкович,

Н. и. Гутарниа, п. Е. Дюбюк И др.; Под ред. Г. и. Кручковнча.- М.:

Высш. шк., 1973.- 576 с.

22. Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра

и основы математнческого анализа: В 2 ч./В. А. Болгов, Б. п. Демидо­ вич, В. А. Ефимеико и др.; Под ред. А. В. Ефимова, Б. п. Демндовнча.­

М.: Ha~Ka, 1981.- ч. 2.- 368 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие .						3
~етоднческие рекомендацни						5
7.	Комплексные числа и действия			над ними
	7.1. Основные понятня. Операцин над комплекснымн чнслами					9
	7.2. Дополнительиые задачи к гл. 7					13
8.	Неопределенный интеграл
	8.1.	Первообразная функцин инеопределенный нитеграл				14
	8.2.	Непосредственное	ннтегрированне		функцнй	17
	8.3.	Интегрированне функцнй, содержащнх квадратный трехчлен				20
	8.4.	Интегрнрование заменой переменной (подстановкой)				24
	8.5.	Интегрированне	ПО частям			28
	8.6.	Интегрированне рацнональных функцнй				30
	8.7. Интегрирование некоторых иррациональных функций					36
	8.8. 'ИнтеГРИРQванне трнгонометрнческих выражений					40
	8.9.	Инднвндуальные домашнне задания к гл. 8				43
	8.10.	Дополннтельные	задачн	к гл.	8	136

9.Определенный интеграл

9.1. Понятие определенного интеграла. Вычнсление определенных

интегралов	137
9.2. Несобственные ннтегралы	143

9.3.Прнложение определенных и:пегралов к задачам геометрнн 149

9.4.Приложенне определенных ннтегралов к решенню фнзи-

	ческнх задач	159
9.5.	Ииднвндуальные домашние задания к гл. 9	164
9.6.	Дополннтельные задачн к гл. 9	206

10.Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

10.1.Понятне функцни несколькнх переменных. Частиые про-

нзводные	208
10.2. Полный дифференцнал. Дифференцирование сложных н	212
неявных функций
10.3. Частные производные высших порядков. Касательная плос-	216
кость и нормаль к поверхности
10.4. Экстремум функцни двух переменных	219
10.5. Инднвидуальные домашние задания к гл. 10	222
10.6. Дополнительные задачи к гл. 10	240
11. Обыкиовенные дифференциальные уравнения
11.1. Основные понятия. Днфференциальные уравнения первого	243
порядка. ~eTOД изоклин

351

11.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися пере-

меииыми. Однородные уравиеиия'			247
11.3. Линейные дифференциальиые уравнения первого порядка.			252
Уравиение Бернулли
11.4. Уравнения в полных дифференциалах			256
11.5. Дифференциальные уравнения высших порядков, допу-			259
скающие	понижение порядка
11.6. Линейные дифференциальные уравнения второго н высших			264
порядков
11.7. Системы	дифференциальных	уравнений	278
11.8. Индивидуальные домашние задания к гл. 11			29()
11.9. Дополиительные задачи к		гл. 11	.338'
Приложення .			340
Рекомендуемая литература			349

Учебное нздание

Рябуmко Аитон Петрович, Бархатов Виктор Владим'ирович, Державец Вера Владимировиа, lOpуть Иван Ефимович

	СБОРНИI(	ИНДИВИДУАЛЬНbIХ 3АДАНI:IR
.	ПО	ВbIСШЕR мАТЕМАТИКЕ	.

в трех частях

Часть 2

3авеДУlOЩmt pe~,,д_д. Духва/Юв. Редактор М.'с. ~Одчанова.

Младший редактор В. М. Кушuлевuч. Художник переплета И.жуд.о,жест­

вениый редактор Ю. С. Сергачев. Технический редактор М. .Н. Кислякова. Корректор В. П. Шкредова ,

ИБ N~ 2892

Сдано в	набор 05.10.89. Подписано в печать 21.12.90.	Формат
84 Х 108/32.	Бумага тип. N. 2. Гарннтура литературная. Высокая	печать.

Уел. печ. л. 18.48. Уел. кр.·отт. 18.48. Уч"нзд. л. 23.77. Тираж 36000 экз. Заказ 2960. Цена 1 р. 20 к.

Издательство «Вышэйшая ШI<QЛЗ> Государст,венного комитета веер по печати. 220048, МИНСК, проспект Машерова. 11.

МИНСКИЙ ордена Трудового Красного Знамени ПOJIнграфкомбииат МППО

ИМ. Я. Коласа.. 220005. Минск. ул. Красная. 23.