RII_OCR[1]

	'	ln x,du =+dx, I
~ ln xdx=	и =			х ln х -	r dx =
	dv = dх,		v =х		j

=хlпх-х+С.

Тогда

	е	е
S =~ ln xdx -~ In 2 xdx = (х ln х -						x)le - (xln 2x -
	1	1		е +1 -		1 ,
- 2х ln х+ 2x)1 е = е ln е -						(е In 2 е - 2е ln е+
	+2е)+ 2 =		3 -	е ~0,28."",
2.	Вычислить (с точностью до двух знаков после запя­
той)	длину дуги	линии	х =	(t2 -	2) sin t + 2t cos t, У =
= (2 -	t 2) cos t +	2t sin t	(о::;;;; t ::;;;;		п).

~Воспользуемся формулой (9.11):

Находим подынтегральную функцию:
~; =	2t sin t + (е,,- 2) cos t + 2 cos t -2t sin t =/2 cos t,
~~ = - 2t cos t - (2 -					е) siпt + 2 sin t +2/ cos t = t2 stn t, '
	-.J(~;y: +(~~)2 =../t4							cos2 t + t4	sin 2 t =	t2 •
Ькончательно имеем
	l =	"	2		t31"		=	2
		~	t	dt = -				~ ~ 10,32. ....
					3	о		3'	....
		о
3.	Вычислить		(с точностью до двух знаков							после за­

пятой) объем тела, полученного вращением вокруг оси

абсцисс плоской			фигуры, ограниченной параболами у =
= 3 - х2 И У = х2 + 1.
~ Находим точки пересечения парабол: Мl( -1, 2),
M 2 (1,	2).
Объем V данного тела получаем как разность объемов
V2 -	V 1, где,	согласно формуле (9.14),
		1	1
	V2 =	n ~	(3 - X2)2dx, VI = n ~ (х2 + 1)2dx.
		-1	-1

193

Таким образом,

1	1	+ 1? dx =
V = V2 - V = n ~ (3 - х2)2dx - n ~ (х2
-1	-1
1	1

= n ~ ((3 - х2)2 - (х2 + 1)2)dx = n ~ (8 - 8x2)dx =

-1	-1
= 8п(х_Х;)I~I =	16п(1 - {) ~33,50....

На рис. 9.24 изображены плоская фигура в плоскости

Оху и тело (из него вырезана четвертая часть), полу­

че~ное вращением данной фигуры вокруг оси Ох. .

у

3

Рис. 9.24 Рис. 9.25

4. Вычислить (с точностью до двух знаков после за­

пятой) площадь поверхности, полученной вращением окружности р = 1О sin ер вокруг полярной оси О!

(рис. 9.25.)

~ Воспользуемся формулами (9.15) (записанной в по­ лярной системе координат) и (9.12):

S = 2п~<jJ2Y--J р; + p2 dep,

<jJ,

194

где у = р. sin ер. Далее находим: p~ = 1О cos ер, у = р sin f"= = 10 sin 2 ер, ер! = О, ер2 = п,

	2п~ 1О sin 2 ep-J
S =		100 cos2 ер+ 100 sin 2 epdep =
	о
	n		n
=	200п~ sin 2 epdep =		200п~~-=- ~S 2qJ dep =

оо

=1ооп(ер- -} siп 2ер)1: ~ 985,96....

ИДЗ-9.3

1. Вычислить работу, которую необходимо затратить

на выкачивание воды из резервrара Р. Удельный вес воды принять равным 9,81 кН/м, n = 3,14. (Результат округлить до целого числа.)

1.1.Р: правильная четырехугольная пирамида со сто­

роной основания 2 м и высотой 5 м. (Ответ: 245 кДж.)

1.2.Р: правильная четырехугольная пирамида, обра­

щенная вершиной вниз. Сторона основания пирамиды равна 2 м, высота - 6 м. (Ответ: 118 кДж.)

1.3.Р: котел, имеющий форму сферического сегмента,

высота которого 1,5 м и радиус 1 м. (Ответ: 22 кДж.)

1.4.Р: полуцилиндр, радиус основания которого 1 м,

длина 5 м. (Ответ: 33 кДж.)

1.5.Р: усеченный конус, у которого радиус верхнего

основания равен 1 м, нижнего - 2 м, высота - 3 м. (Ответ:

393кДж)

1.6.Р: желоб, перпендикулярное сечение которого

является параболой. Длина желоба 5 м, ширина 4 м, глу­ бина 4 м. (Ответ: 837 кДж)

1.7.Р: цилиндрическая цистерна, радиус основания

которой 1 м, длина 5 м. (Ответ: 154 кДж)

1.8.Р: правильная треугольная пирамида с основа­

нием 2 м и высотой 5 м. (Ответ: 106 кДж)

1.9.Р: правильная треугольная пирамида, обращен­

ная вершиной вниз, сторона основания которой 4 м, высо­

та 6 м. (Ответ: 204 кДж)

1.10.Р: конус, обращенный вершиной вниз, радиус основания которого 3 м, высота 5 м. (Ответ: 578 кДж)

1.11.Р: усеченный конус, у которого радиус верхнего

основания равен 3 м, нижнего - 1 м, высота - 3 м.

(Ответ: 416 кДж)

195

1.12. Р: конус с радиусом основания 2 м и	высотой
5 м. (Ответ: 770 кДж)	-

1.13.Р: правильная четырехугольная усеченная пира­

мида, у которой сторона верхнего основания 8 м, нижне­

го - 4 м, высота - 2 м. (Ответ: 576 кДж)

1.14.Р: параболоид вращения, радиус основания ко­

торого 2 м, глубина 4 м. (Ответ: 329 кДж.)

1.15.Р: половина эллипсоида вращения, радиус осно­ вания которого 1 м, глубина 2 м. (Ответ: 31 кДж)

1.16.Р: усеченная четырехугольнаяпирамида, у .кото­

рой сторона	верхнего основанин равна 2 м,	нижнего-
4 м, высота -	1 м. (Ответ: 56 кДж)	,

. 1.17. Р: правильная шестиугольная пирамида со сто­ роной основания 1 м и высотой 2 м. (Ответ: 26 кДж.)

1.18. Р: 'правильная шестиугольная пирамида с вер­

шиной, обращенной ВНИЗ,' сторона основания которой 2 м, высота 6 м. (Ответ: 306 кДж.)

1.19.Р: цилиндр с радиусом осиования 1 м и высотой

3 м. (Ответ: 139 кДж)

1.20.Р: правильная усеченная шестиугольная пира­

мида, у которой сторона верхнего основания равна 1 м, нижнего - 2 М, высота - 2 м. (Ответ: 144 кДж.)

1.21.Р: желоб, в перпендикулярном'сечениикоторого

лежит полуокружность радиусом 1 м, длина же.(10ба 1О м.

(Ответ: 65	кДж.)	;	,	.	'
1.22. Р: правильная усеченная				'шесtиугольна51 пира­
мида, у которой сторона верхнего				рсновация равйа 2 м,
нижнего -	1 м, высота -		2 м. (Ответ: 93 кДж.)
1.23. Р:	полусфера	радиу{:ом 2		м. (OTBei: 123	кДж.)

Вычислить работу, затрачиваемую на преодоление си­

лы тяжести при построении 'сооружения Q из некоторого

материала, удельный вес которого у. (Результат округлить

до целого числа.)

.

1.24. Q: правильная усеченная четырехугольная пи­

рамида, сторона верхнего основания которой равна 2 м,

нижнего - 4 м, высота 2 м; У = 24 кН/м3• (Ответ:

352кДж.)

1.25.Q: правильная шестиугольная пирамида со сто­

роной основания 1 м и высотой 2 м; у = 24 кН/м3•

(Ответ: 21 кДж.)			.
1.26.	Q: правильная	четырехугольная		пирамида со
стороной	основания 2 м	и	высотой 4 м;	у = 24 кН/м3•
(Ответ: 128 кДж.)		.	" . '

1.27. Q: правильная шестиугольная усеченная пира­

мида, сторона верхнего основания которой Равна 1 м,

196

нижнего - 2 м, высота - 2 м; У = 24 кН/м") (итвет:

229кдж.)

1.28.Q: правильная треугольная пирамида со сто­

POHO~ основания 3 м и высотой 6 м; У = 20 кН/м3.

(Ответ: 234 кДж.)

1.29.Q: конусз радиус основания которого 2 м, высота

3 м; У = 20 кН/м . (Ответ: 188 кДж.)

1.30.Q: усеченный конус, радиус верхнего основания

которого равен 1 м, нижнего - 2 м, высота - 2 м;

У= 21 кН/м3. (Ответ: 88 кДж.)

2.Вычислить силу давления воды на пластину, верти­

кально погруженную в воду, считая, что удельный вес

воды равен 9,81 кН/м3• (Результат округлить до целого

числа.) Форма, размеры и расположение пластины указа­

ны на рнсунке.

2.1. Рис. 9.26. (Ответ: 98 кН.)

2.2.Рис. 9.27. (Ответ: 85 кН.)

2.3.Рис. 9.28. (Ответ: 248 кН.)

2.4.Рис. 9.29. (Ответ: 105 кН.)

2.5.Рис. 9.30. (Ответ: 167 кН.)

2.6.Рис. 9.31. (Ответ: 26 кН.)

2.7.Рис. 9.32. (Ответ: 131 кН.)

2.8.Рис. 9.33. (Ответ: 23 кН.)

2.9.Рис. 9.34. (Ответ: 523 кН.)

2.10.Рис. 9.35. (Ответ: 33 кН.)

2.11.Рис. 9.36. (Ответ: 31 кН.)

2.12.Рис. 9.37. (Ответ: 62 кН.)

2.13.Рис. 9.38. (Ответ: 24 кН.)

2.14.Рис. 9.39. (Ответ: 22 кН.)

2.15.Рис. 9.40. (Ответ: 239 кН.)

2.16.Рис. 9.41. (Ответ: 123 кН.)

2.17.Рис. 9.42. (Ответ: 78 кН.)

2.18.Рис. 9.43. (Ответ: 13 кН.)

2.19.Рис. 9.44. (Ответ: 52 кН.)

2.20.Рис. 9.45. (Ответ: 3 кН.)

2.21.Рис. 9.46. (Ответ: 23 кН.)

2.22.Рис. 9.47. (Ответ: 16 кН.)

2.23.Рис. 9.48. (Ответ: 251 kI-I.)

2.24.Рис. 9.49. (Ответ: 31 кН.)

2.25.Рис. 9.50. (Ответ: 13 кН.)

2.26.Рис. 9.51. (Ответ: 6 кН.)

2.21.Рис. 9.52. (Ответ: 6 кН.)

2.28.Рис. 9.53. (Ответ: 39 кН.)

2.29.Рис. 9.54. (Ответ: 20 кН.)

2.30.Рис. 9.55. (Ответ: 272 кН.)

197

Пароллмегромм

Рис. 9.26

Рабноооцная mрапеци>!

Рис. 9.28

Рис. 9.30

--- ~it==-

~-~~

Рабно50Чная трапеция

Рис. 9.32

Рабнооочная трапецuя

Рис. 9.27

РаБНООО<lная трапеция

Рис. 9.29

--		Рис.	9.31
	~-1-t-- r=
		о
--		=':---
-~		-	--
Чет8ерть кольца
		Рис.	9.33

	-		- -1.4 - - -
			_~M _ - _ -
-~-
			=-- {м. -~ _-=-
	~ м :::
-I~-- _			4Н_ __
			--------
- РабнооефеиныtJ тРВУi?Oльник			Ра8нооеа,ЬеНИЫlJ треугольник

Рис. 9.34

Рис. 9.35

Круг

Рис. 9.36

-~--

-- -	м	-
-		-
	ПОllукруг
	Рис.	9.38

ПОllукруг

Рис. 9.40

Рис. 9.42

-- - ПОllукруг

Рис. 9.44

Круг

--.Рис--. 9=.37 -

-c--~--

ПОllукруг

Рис. 9.39

Рис. 9.41

РабнооеiJренный mреугоllЬНUХ

Рис. 9.43

рабиобеt3реиf.lы u mреусольf.lUК

Рис. 9.45

ПРЯНОУСОllЬНЬ1й треугО!lbН/./Х		ПРЯНОУi?ОIlЬНЫU mperj?OllbHU!(
Рис. 9.46				Рис.	9.47
						(н-=-=-
						11'1--
						1м -
			ПарОllле/lOгранн
9.48				Рис.	9.49
~~~-=			-;z?~-
ПОЛУЭ/lЛUПС		ПряноугOllЬНЫЙ треугОllьник
Рис. 9.50				Рис.	9.51

ПрrlНоугольный mреУёмьни!(

Рис. 9.52

Рис. 9.53

Кбадраm

ПараБОllа

Рис. 9.54

Рис. 9.55

3. Найти координаты центра масс однородной плоской

кривой L.				.		х:? +у:? =	R Z,
3.1. L:		полуокружность						расположенная
над осью		ОХ. (Ответ: )Се = О, Ус = 2R/л.)
3.2.	L:	первая		арка	циклоиды		х =	a(t -	sin t),	У =
= а(1 -	cos t)		(о::;;;; t::;;;;		2л).	(Ответ:	хс = ла,		Ус = ~ а.)
3.3.	L:	дуга		астроиды		х2/3 +yZ/3 = aZ/ 3 ,			располо­
женная		в	третьем		квадранте.		(Ответ:		хс =	Ус =

=-0,4а.)

3А. L: дуга окружности радиусом R, стягивающая центральный угол а. (Ответ: центр масс находится на 9иссектрисе цеитрального угла, стягивающего дугу, на

расстоянии 2R sin (0:/2) от центра окружности.)

о:

3.5. L: дуга цепной линии У = а ch (х - а) (--"а::;;;; х::;;;;

::;;;;а). (Ответ: Хс=О; ус=: 2+:~~.)

3.6.

L: дуга

кардиоиды р = а(1

+cos <р)

(о::;;;; <р::;;;; л).

(Ответ:

хс = Ус = 4/5а.)

3.7.

L:

дуга логарифмической спнрали р= ае'l' (л/2::;;;;

::;;;; <р::;;;; л).

..

а

2е2" + е"

а е2" -

2§"

)

(

Ответ. хс

= --

/2'

Ус =-5

еЛ_еЛ

/2

•

5

еЛ_еЛ

3.8. L:

одна

арка

циклоиды

х = 3(t -

sin t),

У =

= 3(1 -

cos t). (Ответ: хс =

3л, Ус =

4.)

2 sin3 (t/4),

3.9.

L:

дуга

астроиды

х =

2 cos3 (t/4), У =

расположенная

в

первом

квадранте.

(Ответ:

хс = Ус =

= 4/5.)

кривой х = е/ sin t,

cos t

t =

3.10. L: дуга

У =

е/

(о::;;;;

.

хс

_

2е" + 1

_

е" - 2

)

= л/2). ( Ответ.

-

5(e"12 _ 1)' Ус -

5(еп/

2 _

1)'

3.11. L:

кардиоида

р =

2(1 +cos <р).

(Ответ:

хс =

1,6,

УС =0.)

р = 2 sin <р от

3.12. L:

кривая

точки

(О,

О)

дО

точки

(-{2, л/4).

(Ответ: хс =

2/л, Ус =

(л -

2)/л.)

х = a(cos t +

3.13

L:

дуга

развертки

окружности

+ t sin t),

У = alsin t -

t cos t)

(о::;;;; t::;;;;

л).

(Ответ:

хс =

= 2(лZ

+ 4)/(ал~), УС =

6а/л.)

.

3.14. L:

кривая

р =

2-/3 cos <р,

заключенная

между

лучами

<р=0

и

<р=л/4.

(Ответ:

хс=-/3(л + 2)/л,

Ус = 2-/3/л.)

201

3.15.

L:

кривая х=-/3t2,

У =

t -

t3 (о::;;;; t::;;;; 1). (Ответ:

хс = 7-/3/15,

ус =

1/4.)

Найти координаты центра масс плоской однородной

фигуры Ф, ограниченной данными линиями.

3.16. Ф -

треугольник,

стороны

которого лежат на

прямых х+у=а,

х=о

и

у=О. (Ответ: Хс=Ус=

=а/З.)

3.17. Ф ограничена эллипсом х2/а2 +у2/Ь2 =

1 и осями

координат

(х ~ О,

У ~'0).

(Ответ:

хс = 4а/(Зл),

ус =

= 4Ь/(Зл).)

.

3.18. Ф

ограничена

первой

аркой

циклоиды

х =

= p;(t -

sin t),

у =

а(1 -

cos t)

и

осью

Ох.

(Ответ:

хс = ла,

ус =

5а/б.)

3.19. Ф ограничена кривыми у = х2; У =-Vx. (Ответ:

хс = ус = 9/20.)

3.20.Ф ограничена дугой синусоиды у = sin х и отрез­

ком оси Ох (о::;;;; х::;;;; л). (Ответ: хс= л/2, Ус = л/8.)

3.21.Ф ограничена полуокружностью у = -vR2 - х2 И

осью Ох. (Ответ: хс = О, Ус = 4R/(Зл).)

3.22. Ф ограннчена дугой параболы у = b-{;ja (а> О,

Ь > О), осью Ох и прямой х =	Ь. (Ответ: хс =	За/5, ус =
= ЗЬj8.)
3.23. Ф ограничена дугой параболы у = b~ (а> О,
Ь > О), осью Оу и прямой	у = Ь. (Ответ:	хс = За/IО,

Ус = ЗЬ/4.)

3.24.Ф ограничена замкнутой линией у2 = ах3 _ х4•

(Ответ: хс = 5а/8, ус = О.)

3.25.Ф ограничена осями координат и дугой астроиды,

расположенной в первом квадранте. (Ответ: хс = Ус =

=25ба/(ЗI5л).)

3.26.Ф - сектор круга радиусом R с центральным

углом, равным 2а. (Ответ: центр масс лежит на оси

симметрии сектора на расстоянии ; R Si:a: от центра круга.

Если центр круга находится в начале		координат,	а ось
симметрии сектора -	на оси Оу, то хс =	2	Sina:)
		О, ус =зR-а:-'
3.27. Ф ограничена кардиоидой р =		а(1 +cos (j). (ОТ-
вет' хс = 5а/б, ус =	О.)	.

3.28. Ф ограничена первой петлей лем'нискаты Вернул-

ли р2= а2 cos 2(j). (Ответ: хс =-У2ла/8, ус = О.)

202